Lp範數

${\displaystyle L_{p}}$-范数（英语：${\displaystyle L_{p}}$-norm，亦称${\displaystyle \ell _{p}}$-范数、${\displaystyle p}$-范数)是向量空间中的一组范数。${\displaystyle L_{p}}$-范数与幂平均有一定的联系。它的定义如下：

${\displaystyle L_{p}({\vec {x}})=\lVert {\vec {x}}\rVert _{p}={\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}{\Bigr )}^{1/p},\qquad {\vec {x}}=\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\},\,p\geqslant 1.}$

${\displaystyle p}$ 的不同取值

 

图中的${\displaystyle q}$ 即是${\displaystyle L_{p}}$ 范数中的${\displaystyle p}$ 。这是当${\displaystyle p}$ 取不同值时，在${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 空间上的${\displaystyle L_{p}}$ -范数等高线的其中一条。该图展现了各${\displaystyle L_{p}}$ -范数的形状。

• ${\displaystyle p=-\infty }$ : ${\displaystyle \lVert {\vec {x}}\rVert _{\infty }=\lim _{p\to -\infty }{\Bigl (}\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}{\Bigr )}^{1/p}=\min _{i}|x_{i}|}$ 。^{[來源請求]}
• ${\displaystyle p=0}$ ：${\displaystyle \lVert {\vec {x}}\rVert _{0}=\sum _{i=1}^{n}\left[x_{i}\neq 0\right]}$ ，也就是所有${\displaystyle x_{i}}$ 中，不等于零的个数。注意，这里的${\displaystyle L_{0}}$ -范数并非通常意义上的范数（不满足三角不等式或次可加性）。^[1]
• ${\displaystyle p=1}$ ：${\displaystyle \lVert {\vec {x}}\rVert _{1}=\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|}$ ，即${\displaystyle L_{1}}$ -范数是向量各分量绝对值之和，又称曼哈顿距离。
• ${\displaystyle p=2}$ : ${\displaystyle \lVert {\vec {x}}\rVert _{2}={\sqrt {\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}}$ ，此即欧氏距离。
• ${\displaystyle p=+\infty }$ : ${\displaystyle \lVert {\vec {x}}\rVert _{\infty }=\lim _{p\to +\infty }{\Bigl (}\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}{\Bigr )}^{1/p}=\max _{i}|x_{i}|}$ ，此即无穷范数或最大范数，亦称切比雪夫距离。

在机器学习中的应用

主条目：正则化 (计算机科学)

在机器学习中，为了对抗过拟合、提高模型的泛化能力，可以通过向目标函数当中引入参数向量的${\displaystyle L_{p}}$ -范数来进行正则化。其中最常用的是引入${\displaystyle L_{1}}$ -范数的${\displaystyle L_{1}}$ -正则项和引入${\displaystyle L_{2}}$ -范数的${\displaystyle L_{2}}$ -正则项；前者有利于得到稀疏解，后者有利于得到平滑解。

参考文献

1. 但在 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$  当中，它就是欧氏距离；在${\displaystyle \mathbb {R} ^{0}}$ 当中，它是平凡的。