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三面形

一月 08, 2024

三面形（英語：Trigonal hosohedron、Triangular hosohedron或3-hosohedron[1]）是以三角形為基底的多面形，表示三個鑲嵌在球面上的球弓形（英语：Spherical lune），為球面三面體的一種[2]，由3個面、3條邊和2個頂點組成，在施萊夫利符號中利用{2,3}來表示[3]，其對偶多面體是三角形二面體。

三面形
類別多面形、均勻多面體、球面鑲嵌
對偶多面體三角形二面體
數學表示法
考克斯特符號
（英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施萊夫利符號{2,3}
威佐夫符號
（英语：Wythoff symbol）		3 | 2 2
性質
面3
邊3
頂點2
歐拉特徵數F=3, E=3, V=2 （χ=2）
組成與佈局
面的種類二角形
頂點佈局
（英语：Vertex_configuration）		23
對稱性
對稱群D3h, [2,3], (*223), 12階
旋轉對稱群
（英語：Rotation_groups）		D3, [2,3]+, (223), order 12

性質 编辑

三面形是一個退化的多面體，其無法擁有體積。三面形由3個二角形組成，每個頂點都是3個二角形的公共頂點。正三面形的每個面都是正二角形，且每個頂點都是3個正二角形的公共頂點，因此正三面形也可以視為一種正多面體，但是因為其已退化，因此不會與柏拉圖立體一同討論，但可以視為一種正則地區圖。[3]

三面形具有 D3h, [2,3], (*223) 的對稱性和 D3, [2,3]+ 的旋轉對稱性，且階數為12，在考克斯特符號中用     表示。

三面形可以經由一角形二面體透過截角變換而得[註 1][3]。

三面形可以截角為三角柱，也可以交錯截角為正四面體[4]。

皮特里三面形 编辑

三面形的皮特里多邊形是一種具有6條邊和6個頂點的退化扭歪多邊形[3]，其邊兩兩共用，六個頂點每三個互相共用。三面形的皮特里對偶由一個前述的六邊形組成，並且該六邊形在每個頂點的周圍，以正則地區圖的模式自我相鄰3次[5]，因此在施萊夫利符號中可以用{6,3}(1,1)來表示[3]。

三面形的皮特里對偶共由1個面、3條邊和2個頂點組成，可以視為一面體的一種，是一個可定向曲面[5]，作為正則地區圖可以具象化為一種環形多面體，在施萊夫利符號中表示為{6,3}1,0[7]。

環形多面體的展開圖
 
{6,3}1,0
由1個面、3條稜和2個頂點組成
(v:2, e:3, f:1)

對偶多面體 编辑

 
球面上的三角形二面體，三面形的對偶多面體

三面形的對偶多面體為三角形二面體（Triangular dihedron或Trigonal dihedron），又稱為雙三角形（di-triangle[8]），是一種多邊形二面體，由2個三角形面、三條邊和三個頂點組成。期兩個三角形已背對背的方式互相連接，與截半三面形類似，但沒有像截半三面形那樣在邊與邊的連接處存在兩角形（三角形二面體截半的結果也是截半三面形）。[8]

正三角形二面體是指由兩個正三角形背對背貼合所形成的幾何體，由於其組成面皆為正多邊形，且所有邊等長、所有角等角，因此可以視為一種退化的正多面體，其在施萊夫利符號中以{3,2}表示，代表由2個施萊夫利符號表示為{3}的正三角形組成。[9]

做為一個球面鑲嵌，球面的正三角形二面體由2個球形三角形組成，其在球面的大圓上共用3個相同的頂點；球面正三角形二面體的每個正三角形面都恰好填滿了一個半球。這兩個球面正三角形在球面的大圓赤道上等距地分布。

三角形二面體的皮特里對偶為六邊形二面體半形[8][10]，即六邊形二面體的多面體半形，這意味著三角形二面體的皮特里多邊形為六邊形[8]，該六邊形的頂點兩兩共用，或可以是圍繞三角形兩圈構成的六邊形[10]。

截半三面形 编辑

 
截半三面形

截半三面形是指三面形經過截半變換後的結果，即三面形節去所有頂點至邊的中點。所形成的立體由2個三角形截面和3個二角形原始面組成。2個三角形面以類似多邊形二面體的方式貼合，而3個二角形則位於貼合邊上，圍繞三角形面一圈，類似於一串香腸串的樣式[11]，因此又稱為三角香腸面形（3-lucanicohedron）[12]。

截半三面形共由5個面、6條邊和3個頂點組成，在其5個面中有2個三角形面和3個二角形面，其3個頂點皆為2個二角形和2個三角形的公共頂點。由於截半三面形由兩種面組成（二角形和三角形），因此其不算是正則地區圖，僅能算做擬正則地區圖。截半三面形也是三角形二面體經過截半變換後的結果。[12]

截角三角形二面體 编辑

截角三角形二面體是一個與截半三面形類似的幾何體，其同樣有3個二角形面，但兩個三角形面變為兩個六邊形面，六邊形面同樣背對背貼合，3個二角形面交錯地分布在六邊形的邊上的貼和處，無二角形面的六邊形-六邊形貼和處則是直接貼合，因此其頂點圖變為兩個六邊形和一個二角形的公共頂點。

 
截角三角形二面體 		 
截半三面形

相關多面體 编辑

三面形是三角形二面體的對偶多面體[3]，因此與三角形二面體具有相同的對稱性，其可以衍生出一些相關的多面體：

半正三角形二面體球面多面體
對稱群（英语：List of spherical symmetry groups）：[3,2], (*322) [3,2]+, (322)
                                               
             
{3,2}
（章節） 		t{3,2}
（章節） 		r{3,2}
（章節） 		2t{3,2}=t{2,3} 2r{3,2}={2,3} rr{3,2} tr{3,2} sr{3,2}
半正對偶
                                               
               
V32 V62 V32 V4.4.3 V23 V4.4.3 V4.4.6 V3.3.3.3
正多面形系列
球面鑲嵌 歐式鑲嵌
仿緊空間 		雙曲鑲嵌
非緊空間
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ... ∞ iπ/λ
一面形 二面形 三面形 四面形 五面形 六面形 七面形 八面形 九面形 十面形 十一面形 十二面形 無限面形 超無限面形
   
{2,1} 		     
{2,2} 		     
{2,3} 		     
{2,4} 		     
{2,5} 		     
{2,6} 		     
{2,7} 		     
{2,8} 		     
{2,9} 		      
{2,10} 		      
{2,11} 		      
{2,12} 		     
{2,∞} 		     
{2,iπ/λ}
                           

參見 编辑

註釋 编辑

  1. ^ 一角形二面體由2個一角形、1條邊和1個頂點組成，頂點圖為二角形，因此截角變換後會生成二角形面，並在與單一頂點相鄰的單一邊之兩側各形成一個頂點，將原有的2個一角形截角二角形，再加上截角產生的新二角形，其截角變換的像將會有3條邊、3個二角形和2個頂點，此結構即為三面形。

參考文獻 编辑

  1. ^ E. Alesci, M. Assanioussi, J. Lewandowski. Curvature operator for loop quantum gravity. Physical Review D. 2014-06-12, 89 (12) [2022-12-16]. ISSN 1550-7998. doi:10.1103/PhysRevD.89.124017. （原始内容于2022-12-16） （英语）. 
  2. ^ Teng-Teng Chen, Wan-Lu Li, Wei-Jia Chen, Xiao-Hu Yu, Xin-Ran Dong, Jun Li, Lai-Sheng Wang. Spherical trihedral metallo-borospherenes. Nature Communications. 2020-06-02, 11 (1) [2022-12-16]. ISSN 2041-1723. PMC 7265489  . PMID 32488008. doi:10.1038/s41467-020-16532-x. （原始内容于2022-12-16） （英语）. 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 The 3-hosohedron. weddslist.com. [2022-12-15]. （原始内容于2022-12-15）. 
  4. ^ Notes on operations on polyhedra. antitile.readthedocs.io. [2022-12-16]. （原始内容于2022-12-16）. 
  5. ^ 5.0 5.1 {3,6}(1,1). weddslist.com. [2022-12-15]. 
  6. ^ Coxeter, H. S. M.; Moser, W. O. J., Generators and Relations for Discrete Groups, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 14 4th, Springer Verlag, 1980, ISBN 978-0-387-09212-6 
  7. ^ Coxeter 1980[6], 8.4 Maps of type {3,6} or {6,3} on a torus.
  8. ^ 8.0 8.1 8.2 8.3 The di-triangle. weddslist.com. [2023-01-09]. （原始内容于2022-12-29）. 
  9. ^ Coxeter, H. S. M., Regular Polytopes 3rd, Dover Publications Inc.: 12, January 1973, ISBN 0-486-61480-8 
  10. ^ 10.0 10.1 The hemi-di-hexagon. weddslist.com. [2023-01-09]. （原始内容于2016-03-14）. 
  11. ^ glossary§lucanicohedron. weddslist.com. [2022-12-29]. （原始内容于2021-05-07）. 
  12. ^ 12.0 12.1 The 3-lucanicohedron. weddslist.com. [2022-12-29]. （原始内容于2022-12-29）. 

一月 08, 2024
三面形, 英語, trigonal, hosohedron, triangular, hosohedron或3, hosohedron, 是以三角形為基底的多面形, 表示三個鑲嵌在球面上的球弓形, 英语, spherical, lune, 為球面三面體的一種, 由3個面, 3條邊和2個頂點組成, 在施萊夫利符號中利用, 來表示, 其對偶多面體是三角形二面體, 類別多面形, 均勻多面體, 球面鑲嵌對偶多面體三角形二面體數學表示法考克斯特符號, 英语, coxeter, dynkin, diagram, 施萊夫利符號,. 三面形 英語 Trigonal hosohedron Triangular hosohedron或3 hosohedron 1 是以三角形為基底的多面形 表示三個鑲嵌在球面上的球弓形 英语 Spherical lune 為球面三面體的一種 2 由3個面 3條邊和2個頂點組成 在施萊夫利符號中利用 2 3 來表示 3 其對偶多面體是三角形二面體 三面形類別多面形 均勻多面體 球面鑲嵌對偶多面體三角形二面體數學表示法考克斯特符號 英语 Coxeter Dynkin diagram 施萊夫利符號 2 3 威佐夫符號 英语 Wythoff symbol 3 2 2性質面3邊3頂點2歐拉特徵數F 3 E 3 V 2 x 2 組成與佈局面的種類二角形頂點佈局 英语 Vertex configuration 23對稱性對稱群D3h 2 3 223 12階旋轉對稱群 英語 Rotation groups D3 2 3 223 order 12查论编 目录 1 性質 2 皮特里三面形 3 對偶多面體 4 截半三面形 4 1 截角三角形二面體 5 相關多面體 6 參見 7 註釋 8 參考文獻性質 编辑三面形是一個退化的多面體 其無法擁有體積 三面形由3個二角形組成 每個頂點都是3個二角形的公共頂點 正三面形的每個面都是正二角形 且每個頂點都是3個正二角形的公共頂點 因此正三面形也可以視為一種正多面體 但是因為其已退化 因此不會與柏拉圖立體一同討論 但可以視為一種正則地區圖 3 三面形具有 D3h 2 3 223 的對稱性和 D3 2 3 的旋轉對稱性 且階數為12 在考克斯特符號中用 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 表示 三面形可以經由一角形二面體透過截角變換而得 註 1 3 三面形可以截角為三角柱 也可以交錯截角為正四面體 4 皮特里三面形 编辑三面形的皮特里多邊形是一種具有6條邊和6個頂點的退化扭歪多邊形 3 其邊兩兩共用 六個頂點每三個互相共用 三面形的皮特里對偶由一個前述的六邊形組成 並且該六邊形在每個頂點的周圍 以正則地區圖的模式自我相鄰3次 5 因此在施萊夫利符號中可以用 6 3 1 1 來表示 3 三面形的皮特里對偶共由1個面 3條邊和2個頂點組成 可以視為一面體的一種 是一個可定向曲面 5 作為正則地區圖可以具象化為一種環形多面體 在施萊夫利符號中表示為 6 3 1 0 7 環形多面體的展開圖 nbsp 6 3 1 0由1個面 3條稜和2個頂點組成 v 2 e 3 f 1 對偶多面體 编辑 nbsp 球面上的三角形二面體 三面形的對偶多面體三面形的對偶多面體為三角形二面體 Triangular dihedron或Trigonal dihedron 又稱為雙三角形 di triangle 8 是一種多邊形二面體 由2個三角形面 三條邊和三個頂點組成 期兩個三角形已背對背的方式互相連接 與截半三面形類似 但沒有像截半三面形那樣在邊與邊的連接處存在兩角形 三角形二面體截半的結果也是截半三面形 8 正三角形二面體是指由兩個正三角形背對背貼合所形成的幾何體 由於其組成面皆為正多邊形 且所有邊等長 所有角等角 因此可以視為一種退化的正多面體 其在施萊夫利符號中以 3 2 表示 代表由2個施萊夫利符號表示為 3 的正三角形組成 9 做為一個球面鑲嵌 球面的正三角形二面體由2個球形三角形組成 其在球面的大圓上共用3個相同的頂點 球面正三角形二面體的每個正三角形面都恰好填滿了一個半球 這兩個球面正三角形在球面的大圓赤道上等距地分布 三角形二面體的皮特里對偶為六邊形二面體半形 8 10 即六邊形二面體的多面體半形 這意味著三角形二面體的皮特里多邊形為六邊形 8 該六邊形的頂點兩兩共用 或可以是圍繞三角形兩圈構成的六邊形 10 截半三面形 编辑 nbsp 截半三面形截半三面形是指三面形經過截半變換後的結果 即三面形節去所有頂點至邊的中點 所形成的立體由2個三角形截面和3個二角形原始面組成 2個三角形面以類似多邊形二面體的方式貼合 而3個二角形則位於貼合邊上 圍繞三角形面一圈 類似於一串香腸串的樣式 11 因此又稱為三角香腸面形 3 lucanicohedron 12 截半三面形共由5個面 6條邊和3個頂點組成 在其5個面中有2個三角形面和3個二角形面 其3個頂點皆為2個二角形和2個三角形的公共頂點 由於截半三面形由兩種面組成 二角形和三角形 因此其不算是正則地區圖 僅能算做擬正則地區圖 截半三面形也是三角形二面體經過截半變換後的結果 12 截角三角形二面體 编辑 截角三角形二面體是一個與截半三面形類似的幾何體 其同樣有3個二角形面 但兩個三角形面變為兩個六邊形面 六邊形面同樣背對背貼合 3個二角形面交錯地分布在六邊形的邊上的貼和處 無二角形面的六邊形 六邊形貼和處則是直接貼合 因此其頂點圖變為兩個六邊形和一個二角形的公共頂點 nbsp 截角三角形二面體 nbsp 截半三面形相關多面體 编辑三面形是三角形二面體的對偶多面體 3 因此與三角形二面體具有相同的對稱性 其可以衍生出一些相關的多面體 半正三角形二面體球面多面體 對稱群 英语 List of spherical symmetry groups 3 2 322 3 2 322 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 3 2 章節 t 3 2 章節 r 3 2 章節 2t 3 2 t 2 3 2r 3 2 2 3 rr 3 2 tr 3 2 sr 3 2 半正對偶 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp V32 V62 V32 V4 4 3 V23 V4 4 3 V4 4 6 V3 3 3 3正多面形系列 球面鑲嵌 歐式鑲嵌仿緊空間 雙曲鑲嵌非緊空間1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ip l一面形 二面形 三面形 四面形 五面形 六面形 七面形 八面形 九面形 十面形 十一面形 十二面形 無限面形 超無限面形 nbsp nbsp nbsp 2 1 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 2 2 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 2 3 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 2 4 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 2 5 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 2 6 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 2 7 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 2 8 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 2 9 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 2 10 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 2 11 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 2 12 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 2 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 2 ip l nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 參見 编辑多面形 三面體 三角形註釋 编辑 一角形二面體由2個一角形 1條邊和1個頂點組成 頂點圖為二角形 因此截角變換後會生成二角形面 並在與單一頂點相鄰的單一邊之兩側各形成一個頂點 將原有的2個一角形截角二角形 再加上截角產生的新二角形 其截角變換的像將會有3條邊 3個二角形和2個頂點 此結構即為三面形 參考文獻 编辑 E Alesci M Assanioussi J Lewandowski Curvature operator for loop quantum gravity Physical Review D 2014 06 12 89 12 2022 12 16 ISSN 1550 7998 doi 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glossary lucanicohedron weddslist com 2022 12 29 原始内容存档于2021 05 07 12 0 12 1 The 3 lucanicohedron weddslist com 2022 12 29 原始内容存档于2022 12 29 取自 https zh wikipedia org w index php title 三面形 amp oldid 80401187, 维基百科，wiki，书籍，书籍，图书馆，

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