策梅洛-弗兰克尔集合论

策梅洛-弗兰克尔集合论（英語：Zermelo-Fraenkel Set Theory），含选择公理時常简写为ZFC，是在数学基础中最常用形式的公理化集合论，不含選擇公理的則簡寫為ZF。它是二十世纪早期为了建构一个不会导致类似罗素悖论的矛盾的集合理论所提出的一个公理系统。

介绍

ZFC旨在构建自一个单一的基本本体论概念集合，和一个单一的本体论假定，就是在论域中所有的个体（就是所有数学对象）都是集合。有一个单一的基本二元关系集合成员关系；集合${\displaystyle a}$ 是集合${\displaystyle b}$ 的成员写为${\displaystyle a\in b}$ （通常读做"${\displaystyle a}$ 是${\displaystyle b}$ 的元素"）。ZFC是一阶理论，所以ZFC包括后台逻辑是一阶逻辑的公理。这些公理支配了集合的行为和交互。ZFC是标准形式的公理化集合论。使用ZFC的大量的正在进行中的普通数学推导请参见Metamath （页面存档备份，存于互联网档案馆）在线计划。

在1908年，恩斯特·策梅洛提出了第一个公理化集合论，即策梅洛集合论。然而，这个公理系统无法构建出序数的集合；而序数是许多集合论研究的根本工具。此外，Zermelo的分类公理中使用了被称作“明确性”的性质，而它的实际意义是有歧义的（此时一阶逻辑的概念还未被提出）。在1922年，亞伯拉罕·弗蘭克爾（英语：Abraham Fraenkel）和陶拉爾夫·斯科倫（英语：Thoralf Skolem）独立的提议了定义“明确性”为可以在一阶逻辑中公式化并原子公式仅包括集合的公式。他们还同时提出应该用替代公理取代分类公理，并在体系中添加正规公理（首先由 冯诺依曼提出），从而得到了被称作 ZF的公理体系。

再向ZF增加选择公理就诞生了ZFC。选择公理曾饱受争议，因为选择函数的存在性是非构造性的；选择公理确立了选择函数的存在，而不说明如何构造这些函数。所以使用选择公理构造的一些集合，尽管可以证明其存在，但可能无法详细、描述性地构造出。因此，当一个结论依赖于选择公理时，有时会被明确地指出。

ZFC一般由一阶逻辑写出，实际上包含了无穷多个公理，因为替代公理实际上是公理模式。Richard Montague证明了ZFC和ZF集合论二者都不能用有限个公理来公理化。在另一方面，冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论（Von Neumann–Bernays–Gödel, NBG）可以被有限公理化。NBG的对象同时包括集合和类；类是有含有元素但不在其他任何类中的实体。NBG和ZFC事实上是等价的，即所有不以任何方式提及类的定理在两个公理体系中同时可以证明或同时不能证明。

依据哥德尔第二不完备定理，ZFC的一致性不能在ZFC之内证明。ZFC的延展包括了通常意义上的大部分数学，所以ZFC的相容性不能在其他数学分支中证明。ZFC的相容性可从弱不可达基数的存在(独立于ZFC)而得出。几乎没有人怀疑ZFC有什么矛盾；通常认为，如果ZFC事实上不自洽，那相应的例子早就应该被发现了。可以肯定的是，ZFC避开了朴素集合论的三大悖论，罗素悖论、布拉利-福尔蒂悖论和康托尔悖论。

文献中讨论过的ZFC的缺陷包括：

• 它比几乎所有普通数学所要求的程度还要强（Saunders MacLane和所罗门·费弗曼这么认为）；
• 相对于其他集合论的公理化，ZFC相对要弱。例如，它不允许全集合（如新基础）或类（如NBG）的存在；
• Saunders MacLane（范畴论的缔造者之一）和其他人争论说任何公理化集合论对于实际上的数学工作方式而言都是不正当的。依据他的观点，数学不是关于抽象对象的搜集和它们的性质的学科，而是关于结构和结构保持的映射的学科。

公理

ZFC有許多等價的形式^[1]。下列的公理集合是由丘嫩於1980年提出的。公理本身以一階邏輯來敘述，之中的句子只是用來增加對邏輯描述的直覺概念。

1.外延公理

(Axiom of extensionality)

主条目：外延公理

兩個集合相等，若它們有相同的元素。

${\displaystyle \forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow x=y]}$ 。

這個公理的逆敘述可以由等式的代替性中得到。若背景邏輯不包含等式「=」，${\displaystyle x=y}$ 可以定義為如下公式的縮寫^[2]

${\displaystyle \forall z[z\in x\Leftrightarrow z\in y]\land \forall z[x\in z\Leftrightarrow y\in z]}$ 。

如此一來，外延公理可寫成：

${\displaystyle \forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow \forall z(x\in z\Leftrightarrow y\in z)],}$ 

若${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ 有相同的元素，則它們屬於同一個集合^[1]

2.正規公理

(Axiom of regularity / Axiom of foundation)

主条目：正規公理

每個非空集合${\displaystyle x}$ 都包含一個成員${\displaystyle y}$ ，使得${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ 不相交。

${\displaystyle \forall x[\exists a(a\in x)\Rightarrow \exists y(y\in x\land \lnot \exists z(z\in y\land z\in x))]}$ 。

3.分類公理

主条目：分類公理

設${\displaystyle z}$ 為一個集合，且${\displaystyle \phi \!}$ 為任一個描述${\displaystyle z}$ 內元素${\displaystyle x}$ 的特徵的性質，則存在${\displaystyle z}$ 的子集${\displaystyle y}$ ，包含${\displaystyle z}$ 內滿足這個性質的${\displaystyle x}$ 。這個「限制」可用來避免羅素悖論之類的悖論。更形式化地說，令${\displaystyle \phi \!}$ 為ZFC語言中的任一公式，具有${\displaystyle x,z,w_{1},\ldots ,w_{n}\!}$ 等自由變數（即${\displaystyle y}$ 在${\displaystyle \phi \!}$ 內不是自由變數），則

${\displaystyle \forall z\forall w_{1}\ldots w_{n}\exists y\forall x[x\in y\Leftrightarrow (x\in z\land \phi )]}$ 。

這個公理是Z的一部份，但在ZF中就顯得多餘，因為它可以由替代公理和空集公理中導出。

由分類公理構成的集合通常使用集合建構式符號來標記。給定一集合z和具有一自由變數${\displaystyle x}$ 的公式${\displaystyle \phi (x)\!}$ ，則由所有在${\displaystyle z}$ 內，滿足${\displaystyle \phi \!}$ 的${\displaystyle x}$ 所組成的集合，標記為

${\displaystyle \{x\in z:\phi (x)\}}$ 。

分類公理可以用來證明空集（標記為${\displaystyle \varnothing }$ ）的存在，只要至少已存在一個集合。通常的方法是找一個所有集合都沒有的性質。例如，設${\displaystyle w}$ 是一個已存在的集合，而空集可定義為

${\displaystyle \varnothing =\{u\in w\mid (u\in u)\land \lnot (u\in u)\}}$ .

若背景邏輯包含等式，也可定義空集為

${\displaystyle \varnothing =\{u\in w\mid \lnot (u=u)\}}$ .

因此，空集公理可由此處的九個公理中導出。外延公理還可證明空集是唯一的（不依賴${\displaystyle w}$ ）。通常會以定義性擴展，將符號${\displaystyle \varnothing }$ 加至ZFC語言中。

4.配對公理

(Axiom of pairing)

主条目：配對公理

若${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ 是集合，則存在一個集合包含${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ 。

${\displaystyle \forall x\forall y\exists z(x\in z\land y\in z)}$ 。

這個公理是Z的一部份，但在ZF中就顯得多餘，因為它可以由將替代公理應用至任意有兩個成員的集合上導出。此類集合的存在性可由將無窮公理或冪集公理應用兩次至空集上得到。

5.聯集公理

(Axiom of union)

主条目：並集公理

對任一個集合${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ，總存在一個集合${\displaystyle A}$ ，包含每個為${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 的某個成員的成員的集合。

${\displaystyle \forall {\mathcal {F}}\,\exists A\,\forall Y\,\forall x[(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\Rightarrow x\in A]}$ 。

6.替代公理

(Axiom schema of replacement)

主条目：替代公理

令${\displaystyle \phi \!}$ 是ZFC語言內的任意公式，其自由變數有${\displaystyle x,y,A,w_{1},\ldots ,w_{n}\!}$ ，但${\displaystyle B}$ 在${\displaystyle \phi \!}$ 　則不是自由的。則：

${\displaystyle \forall A\forall w_{1},\ldots ,w_{n}{\bigl [}\forall x(x\in A\Rightarrow \exists !y\,\phi )\Rightarrow \exists B\forall x{\bigl (}x\in A\Rightarrow \exists y(y\in B\land \phi ){\bigr )}{\bigr ]}}$ 。

較不形式地說，這個公理敘述：若一個可定義的函數${\displaystyle f}$ 的定義域為一集合，且對定義域的任一${\displaystyle x}$ ，${\displaystyle f(x)}$ 也都是集合，則${\displaystyle f}$ 的值域會是一個集合的子集。這個限制被需要用來避免一些悖論。

7.無窮公理

(Axiom of infinity)

主条目：無窮公理

令${\displaystyle S(x)\!}$ 為${\displaystyle x\cup \{x\}\!}$ ，其中${\displaystyle x\!}$ 為某個集合，則存在一個集合${\displaystyle X}$ ，使得空集${\displaystyle \varnothing }$ 為${\displaystyle X}$ 的成員，且當一個集合${\displaystyle y}$ 為${\displaystyle X}$ 的成員時，${\displaystyle S(y)\!}$ 也會是${\displaystyle X}$ 的成員。

${\displaystyle \exists X\left[\varnothing \in X\land \forall y(y\in X\Rightarrow S(y)\in X)\right]}$ 。

較口語地說，存在一個有無限多成員的集合${\displaystyle X}$ 。滿足無窮公理的最小集合${\displaystyle X}$ 為馮諾伊曼序數${\displaystyle \omega }$ ，這個序數也可想成是自然數的集合${\displaystyle \mathbb {N} }$ 。

8.冪集公理

(Axiom of power set)

主条目：冪集公理

令${\displaystyle z\subseteq x}$ 為${\displaystyle \forall q(q\in z\Rightarrow q\in x)}$ 。對任一個集合${\displaystyle x}$ ，皆存在一個集合${\displaystyle y}$ ，為${\displaystyle x}$ 的冪集的父集。${\displaystyle x}$ 的冪集為一個其成員為所有${\displaystyle x}$ 的子集的類。

${\displaystyle \forall x\exists y\forall z[z\subseteq x\Rightarrow z\in y]}$ 。

9.良序定理

(Well-ordering theorem)

主条目：良序定理

對任一集合${\displaystyle X}$ ，總存在一個可良好排序X的二元關係${\displaystyle R}$ 。這意指著，${\displaystyle R}$ 是${\displaystyle X}$ 上的全序關係，且${\displaystyle X}$ 內每個非空子集在${\displaystyle R}$ 下都有一個最小元素。

${\displaystyle \forall X\exists R(R\;{\mbox{well-orders}}\;X)}$ 。

若給定前八個公理，就可以找到許多個和第九個公理等價的敘述，最著名的則為選擇公理，其敘述如下：令${\displaystyle X}$ 為一非空集合，則存在一從${\displaystyle X}$ 映射至${\displaystyle X}$ 內成員的聯集的函數（稱為「選擇函數」），可使得對所有的${\displaystyle Y\in X}$ 都會有${\displaystyle f(Y)\in Y}$ 。因為當${\displaystyle X}$ 為有限集合時，選擇函數的存在性很容易由前八個公理中證出，所以選擇公理只在無限集合中有意義。選擇公理被認為是非結構的，因為它只聲明一個選擇集合的存在，但完全不講這個選擇集合是如何被「建構」出來的。

参见

• 康托尔定理
• 公理化集合论
• 策梅洛集合论
• 新基础集合论
• ZFC系統無法確定的命題列表

參考資料

1. 對這些等價的公式的一個豐富但有點過時的討論，請見Fraenkel et al. (1973)
2. Hatcher 1982, p. 138, def. 1

文献

• 亞歷山大·阿比安, 1965. The Theory of Sets and Transfinite Arithmetic. W B Saunders.
• Keith Devlin, 1996 (1984). The Joy of Sets. Springer.
• Abraham Fraenkel, Yehoshua Bar-Hillel, and Levy, Azriel, 1973 (1958). Foundations of Set Theory. North Holland.
• Hatcher, William, 1982 (1968). The Logical Foundations of Mathematics. Pergamon.
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.
• Suppes, Patrick, 1972 (1960). Axiomatic Set Theory. Dover.
• Tourlakis, George, 2003. Lectures in Logic and Set Theory, Vol. 2. Cambridge Univ. Press.
• Jean van Heijenoort, 1967. From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. Harvard Univ. Press. Includes annotated English translations of the classic articles by Zermelo, Frankel, and Skolem bearing on ZFC.

外部链接

• Metamath. （页面存档备份，存于互联网档案馆） An online project building a great deal of mathematics from first-order logic and ZFC. Principia Mathematica done right.
• Stanford Encyclopedia of Philosophy: Set Theory （页面存档备份，存于互联网档案馆） -- by Thomas Jech.