无穷公理, 在公理化集合论和使用它的逻辑, 数学和计算机科学中, 英語, axiom, infinity, 是策梅洛, 弗兰克尔集合论的公理之一, 目录, 形式陈述, 解释, 引用, 延伸阅读形式陈述, 编辑在, zermelo, fraenkel, 公理的形式语言中, 这个公理读作, displaystyle, exists, mathbf, varnothing, mathbf, land, forall, mathbf, implies, mathbf, 或用非形式化的語言陳述, 存在一个集合n, displ. 在公理化集合论和使用它的逻辑 数学和计算机科学中 无穷公理 英語 Axiom of infinity 是策梅洛 弗兰克尔集合论的公理之一 1 目录 1 形式陈述 2 解释 3 引用 4 延伸阅读形式陈述 编辑在 Zermelo Fraenkel 公理的形式语言中 这个公理读作 N N x x N x x N displaystyle exists mathbf N varnothing in mathbf N land forall x x in mathbf N implies x cup x in mathbf N 或用非形式化的語言陳述 存在一个集合N displaystyle mathbb N 使得空集在N displaystyle mathbb N 中 并且只要x displaystyle x 是N displaystyle mathbb N 的成员 则x displaystyle x 与它的单元素集合 x displaystyle x 此兩者的并集也是N displaystyle mathbb N 的成员 这种集合有时也叫做归纳集合 归纳集合是带有如下性质的集合X displaystyle X 对于所有x X displaystyle x in X x displaystyle x 的后继x displaystyle x 也是X displaystyle X 的一个元素 解释 编辑要理解这个公理 首先我们要定义x displaystyle x 的后继为x x displaystyle x cup x 注意配对公理允许我们形成单元素集合 x displaystyle x 后继是用来定义自然数的常用的集合论编码 在这种编码中 0是空集 0 displaystyle 0 varnothing 而1是0的后继 1 0 0 0 0 displaystyle 1 0 cup 0 varnothing cup 0 0 类似地 2 是1 的后继 2 1 1 0 1 0 1 displaystyle 2 1 cup 1 0 cup 1 0 1 如此类推 这个定义的推论是對於任何自然數n displaystyle n n displaystyle n 等同于由它的所有前驱 predecessor 組成的集合 我们希望可以形成包含所有自然数的一個集合 但是只使用其他ZF公理的話並不能做到這一點 因此 有必要加入无穷公理以假定这个集合的存在 它是通过类似于数学归纳法的方法完成的 首先假定有一个集合S displaystyle S 包含零 并接着規定对于S displaystyle S 的所有元素 这个元素的后继也在S displaystyle S 中 这个集合S displaystyle S 可以不只是包含自然数 還包含別的元素 但是我们可以应用分类公理模式来除去不想要的元素 留下所有自然数的集合N displaystyle mathbb N 通过外延公理可知这个集合是唯一的 应用分类 分离 公理的结果是 N n n N k n k n j k j n j n j k j k displaystyle exists mathbf N forall n n in mathbf N iff forall k in n bot lor exists k in n forall j in k j in n land forall j in n j k lor j in k land m n k m k n k m j k j m j m j k j k displaystyle forall m in n forall k in m bot lor exists k in n k in m land forall j in k j in m land forall j in m j k lor j in k 用非形式化的語言陳述 所有自然数的集合存在 这里的自然数要么是零 要么是一个自然數k的后继 并且k displaystyle k 的每个元素要么是0要么是k displaystyle k 的另外一个元素的后继 所以这个公理的本质是 有一个集合包含所有的自然数 无穷公理也是von Neumann Bernays Godel 公理之一 引用 编辑 Zermelo Untersuchungen uber die Grundlagen der Mengenlehre 1907 in Mathematische Annalen 65 1908 261 281 Axiom des Unendlichen p 266f 延伸阅读 编辑Paul Halmos 1960 Naive set theory Princeton NJ D Van Nostrand Company Reprinted 1974 by Springer Verlag ISBN 0 387 90092 6 Thomas Jech 2003 Set Theory The Third Millennium Edition Revised and Expanded Springer Verlag ISBN 3 540 44085 2 Kenneth Kunen 1980 Set Theory An Introduction to Independence Proofs Elsevier ISBN 0 444 86839 9 取自 https zh wikipedia org w index php title 无穷公理 amp oldid 70781687, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,