作代入(英语:Substitution (logic)): x={},y=a,我们得到 A 为 {a}。接着再作代入:x={a},y=b,我们得到 A 为 {a,b}。透過这种方式可以構造任意有限集合。而且這個公理可以用来生成所有继承有限集合,而不需使用并集公理。
引用编辑
Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.
十月 20, 2023
配对公理, 在公理化集合论和使用它的逻辑, 数学和计算机科学分支中, zermelo, fraenkel, 集合论的公理之一, 目录, 形式陈述, 解释, 一般化, 其他替代者, 引用形式陈述, 编辑在, zermelo, frankel, 公理的形式语言中, 这个公理读做, displaystyle, forall, forall, exists, forall, nbsp, 换句话说, 给定任何集合, 和任何集合, 有着一个集合, 使得, 给定任何集合, 的成员, 当且仅当, 等于, 或者, 等于, 解释, 编. 在公理化集合论和使用它的逻辑 数学和计算机科学分支中 配对公理是 Zermelo Fraenkel 集合论的公理之一 目录 1 形式陈述 2 解释 3 一般化 4 其他替代者 5 引用形式陈述 编辑在 Zermelo Frankel 公理的形式语言中 这个公理读做 x y A z z A z x z y displaystyle forall x forall y exists A forall z z in A iff z x lor z y nbsp 换句话说 给定任何集合 x 和任何集合 y 有着一个集合 A 使得 给定任何集合 z z 是 A 的成员 当且仅当 z 等于 x 或者 z 等于 y 解释 编辑这个公理实际说的是 给定两个集合 x 和 y 我们可以找到一个集合 A 它的成员就是 x 和 y 我们可以使用外延公理证明这个集合 A 是唯一的 我们可以叫这个集合 A 为 x 和 y 的对 并把A指示为 x y 所以这个公理的本质是 任何两个集合都有一个对 x x 简写为 x 叫做包含 x 的单元素集合 注意单元素集合是对的特殊情况 配对公理还允许定义有序对 对于任何集合 a displaystyle a nbsp 和 b displaystyle b nbsp 有序对的定义如下 a b a a b displaystyle a b a a b nbsp 注意这个定义满足条件 a b c d a c b d displaystyle a b c d iff a c land b d nbsp 有序的n 元组可以递归的定义如下 a 1 a n a 1 a n 1 a n displaystyle a 1 ldots a n a 1 ldots a n 1 a n nbsp 配对公理一般被认为是无可争议的 它或它的等价命題出现在任何可替代的集合论的公理化中 不过在 Zermelo Fraenkel 集合论的标准陳述裡 配对公理可以从幂集公理和替代公理模式中得出 所以它有时被省略 一般化 编辑与空集公理一起 配对公理可以一般化为如下模式 x 1 x n A y y A y x 1 y x n displaystyle forall x 1 ldots forall x n exists A forall y y in A iff y x 1 lor cdots lor y x n nbsp 就是说 给定任何有限数目的集合 x1 xn 有一个集合 A 它的成员就是 x1 xn 同樣地 通过外延公理可知这个集合 A 是唯一的 其指示为 x1 xn 当然 我们不能严格地指出何謂有限数目的一些集合 除非早就給定了一個有限集合 而上述的x1 xn都屬于這個集合 所以 这不是一个单一的陈述而是一个模式 英语 Logical form 对每个自然数 n 有一个单独的陈述 情况 n 1 是带有 x x1 而 y x1 的配对公理 情况 n 2 是带有 x x1 而 y x2 的配对公理 情况 n gt 2 可以透過多次使用配对公理和并集公理来证明 例如 要证明情况 n 3 使用配对公理三次 来生成对 x1 x2 单元素集合 x3 接着的对 x1 x2 x3 并集公理接着生成想要的结果 x1 x2 x3 我们可以扩展这个模式以包括 n 0 如果我们把这个情况詮釋为空集公理的話 所以 它可以作为公理模式来替代空集公理和配对公理 但是人们通常单独使用空集公理和配对公理 并把它作為一個定理模式來证明 注意接受这个模式为公理模式不会替代并集公理 在其他情况下仍需要并集公理 其他替代者 编辑另一个公理在給定空集公理时可以蕴涵配对公理 x y A z z A z x z y displaystyle forall x forall y exists A forall z z in A iff z in x lor z y nbsp 作代入 英语 Substitution logic x y a 我们得到 A 为 a 接着再作代入 x a y b 我们得到 A 为 a b 透過这种方式可以構造任意有限集合 而且這個公理可以用来生成所有继承有限集合 而不需使用并集公理 引用 编辑Paul Halmos Naive set theory Princeton NJ D Van Nostrand Company 1960 Reprinted by Springer Verlag New York 1974 ISBN 0 387 90092 6 Springer Verlag edition Jech Thomas 2003 Set Theory The Third Millennium Edition Revised and Expanded Springer ISBN 3 540 44085 2 Kunen Kenneth 1980 Set Theory An Introduction to Independence Proofs Elsevier ISBN 0 444 86839 9 取自 https zh wikipedia org w index php title 配对公理 amp oldid 76093974, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,