负数

负数（英文：Negative number），在数学上指小于0的实数，如−2、−3.2和−807.5，与正数相对。负數本身是一個不可數的無限集合。這個集合在数学上通常用粗體R⁻或${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$来表示。负数与0统称非正数。

负数的历史

负整数可以被认为是自然数的扩展，使得等式${\displaystyle x-y=z}$ 对任意${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ 都有意义。相对而言，其他数的集合都是从自然数通过逐步扩展得到的。

负数在表示小于 0 的值的时候非常有用。例如，在会计学上，它可以被用来表示負債，而且通常以紅色表示（若不帶負數符號則加上括號），所以又稱「赤字」。

自从漢代，中国数学家就已经了解負數和零的概念了。^[1] 公元1世纪的《九章算術》说“正負術曰：同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。”^[2]（這段話的大意是“减法：遇到同符号数字应相减其数值，遇到异符号数字应相加其数值，零减正数的差是負數，零减負數的差是正数。”）。以上文字里的“無入”通常被数学历史家认为是零的概念。

尽管中国古人首先发现并应用了负数，但却并没有从理性方面讨论负数存在的意义和本质，这可能是文化习惯导致的。对负数精确的定义，和其根本属性的讨论，是由近代西方数学家首先完成的。^[3]

西方最早在数学上使用负数的文獻紀錄，是由古印度數學家婆羅摩笈多於公元628年完成的《婆罗摩历算书（英语：Brāhmasphuṭasiddhānta）》。它的出现是为了表示负资产或债务。在很大程度上，欧洲数学家直到17世纪^{[來源請求]}才接受负数的概念。

符号函数

在实数上可以定义这样一个函数${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$ ，它对正数取值为 1，负数取值为 −1，0 取值为 0。这个函数通常被称为符号函数：

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)=\left\{{\begin{matrix}-1&:x<0\\\;0&:x=0\\\;1&:x>0\end{matrix}}\right.}$ 

当${\displaystyle x}$ 不为 0 时，则有：

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\frac {x}{|x|}}={\frac {|x|}{x}}={\frac {d{|x|}}{d{x}}}=2H(x)-1.}$ 

这里，${\displaystyle \left\vert x\right\vert }$ 为${\displaystyle x}$ 的绝对值，${\displaystyle H(x)}$ 为单位阶跃函数。请参见导数。

负数的四則運算

負數四則運算口訣

口訣	釋義
	加法	減法	乘法			除法
			被乘數	乘數	積	被除數	除數	商
正正得正	a + (+b) = a + b	－	正	正	正	正	正	正
正負得負	a + (−b) = a − b	－	正	負	負	正	負	負
負正得負	－	a − (+b) = a − b	負	正	負	負	正	負
負負得正	－	a − (−b) = a + b	負	負	正	負	負	正

負數四則運算口訣簡單版

兩個符號一樣	兩個符號不同
得正	得負

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加法

加上一个负数相当于减去其相反數：

${\displaystyle 6+({\color {Violet}-3})=6-{\color {Orange}3}=3\,}$ 

${\displaystyle -2+({\color {Violet}-5})=-2-{\color {Orange}5}=-7\,}$ 

减法

一个较大的正数减去一个较小的正数将得到一个正数

一个较小的正数减去一个较大的正数将得到一个负数：

${\displaystyle 6-3=3\,}$ 

${\displaystyle 4-6=-2\,}$ 

${\displaystyle 0-5=-5\,}$ 

任意负数减去一个正数总得到一个负数：

${\displaystyle -6-3=-(6+3)=-9\,}$ 

减去一个负数相当于加上相应的正数：

${\displaystyle 5-(-2)=5+2=7\,}$ 

${\displaystyle (-6)-(-3)=-(6-3)=-3\,}$ 

乘法

一个负数和一个正数相乘得到一个负数：${\displaystyle (-2)\times 3=-6}$ 。这里，乘法可以被看作是多次加法的重复：${\displaystyle (-2)\times 3=(-2)+(-2)+(-2)=-6}$ 。

两个负数相乘得到一个正数：${\displaystyle (-3)\times (-4)=12}$ 。这里，乘法不能再被看作是多次加法的重复了，而是为了使乘法满足分配律：

${\displaystyle {\bigg [}3+(-3){\bigg ]}\times (-4)=3\times (-4)+(-3)\times (-4).\,}$ 

等式的左边为${\displaystyle 0\times (-4)=0}$ 。等式的右边为${\displaystyle -12+(-3)\times (-4)}$ 。为了使两边相等，必须要${\displaystyle (-3)\times (-4)=12}$ 。

除法

除法和乘法类似。若被除数和除数有不同的符号，结果是一个负数：

${\displaystyle \;8\;\div \;(-2)=(-4)\,}$ 

${\displaystyle (-10)\;\div \;2=(-5)\,}$ 

若被除数和除数有相同的符号（就算他们均为负），结果是一个正数：

${\displaystyle (-6)\;\div \;(-3)=6\;\div \;3=2\,}$ 

参见

• 实数
• 超实数（Hyperreal number）
• 超現實數（Surreal Numbers）
• 負整數
• 科学计数法

參考資料及註釋

1. Wáng, Qīngxiáng, Sangi o koeta otoko (The man who exceeded counting rods), Tokyo: Tōyō Shoten, 1999, ISBN 4-88595-226-3 
2.   九章算術. 维基文库. 中国 （中文）. 
3. HPM通訊第二期. [2018-04-19]. （原始内容于2020-01-29）.