在幾何學 中，十二邊形 是指有十二條邊和十二個頂點 的多邊形 [1] [2] 對稱性 最高的是正十二邊形。其他的十二邊形依照其類角的性質可以分成凸十二邊形和非凸十二邊形，其中凸十二邊形代表所有內角角度皆小於180度。非凸十二邊形可以在近一步分成凹十二邊形和星形十二邊形 ，其中星形十二邊形表示邊自我相交的十二邊形。而一般的十字形為凹十二邊形常見的一個例子。
正十二邊形 编辑 正十二邊形是指所有邊等長、所有角等角的十二邊形，由十二條相同長度的邊和十二個相同大小的角構成，是一種正多邊形 。正十二邊形的內角是 5 π 6 {\displaystyle {\frac {5\pi }{6}}} 弧度 ，換算成角度是150度 。在施萊夫利符號 中用 { 12 } {\displaystyle \left\{12\right\}} 頂點 的正六邊形，即截角 的正六邊形 ，因此施萊夫利符號中也可以計為 t { 6 } {\displaystyle t\left\{6\right\}} 正六邊形 亦可以將正三角形 透過截角變換 來構造，即切去正三角形 的三個頂點，因此正十二邊形可以視為正三角形經過2次的截角變換的結果，在施萊夫利符號中亦可以寫為 t t { 3 } {\displaystyle tt\left\{3\right\}}
面積 编辑 若已知正十二邊形的邊長a，則正十二邊形的面積 為：
A = 3 cot ( π 12 ) a 2 = 3 ( 2 + 3 ) a 2 ≃ 11.19615242 a 2 {\displaystyle {\begin{aligned}A&=3\cot \left({\frac {\pi }{12}}\right)a^{2}=3\left(2+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\simeq 11.19615242\,a^{2}\end{aligned}}} 若已知內切圓 半徑 或邊心距 為r，則其面積為：
A = 12 tan ( π 12 ) r 2 = 12 ( 2 − 3 ) r 2 ≃ 3.2153903 r 2 {\displaystyle {\begin{aligned}A&=12\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)r^{2}=12\left(2-{\sqrt {3}}\right)r^{2}\\&\simeq 3.2153903\,r^{2}\end{aligned}}} 若已知外接圓 半徑為R，其面積為：[3]
A = 6 sin ( π 6 ) R 2 = 3 R 2 {\displaystyle A=6\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)R^{2}=3R^{2}} 三国 时代数学家 刘徽 计算出半径 为 r {\displaystyle r} 圆形 ，其内接正12边形的面积为 3 r 2 {\displaystyle 3r^{2}} [4] [5] 面积 等于最长对角线 平方的四分之三。
十二邊形的寬度是兩個平行 邊之間的距離，正好會等於兩倍的邊心距。因此已知正十二邊形的寬度和邊長也可以球出面積：
A = 3 a S {\displaystyle A=3aS} 也可以利用三角關係 進行驗證：
S = a ( 1 + 2 cos 30 ∘ + 2 cos 60 ∘ ) {\displaystyle S=a(1+2\cos {30^{\circ }}+2\cos {60^{\circ }})} 周長 编辑 若已知外接圓 半徑R，正十二邊形的周長 為[6]
p = 24 R sin ( π 12 ) = 12 R 2 − 3 ≃ 6.21165708246 R {\displaystyle {\begin{aligned}p&=24R\sin \left({\frac {\pi }{12}}\right)=12R{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}\\&\simeq 6.21165708246R\end{aligned}}} 若已知邊心距r，正十二邊形的周長 為：
p = 24 r tan ( π 12 ) = 24 r ( 2 − 3 ) ≃ 6.43078061835 r {\displaystyle {\begin{aligned}p&=24r\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)=24r(2-{\sqrt {3}})\\&\simeq 6.43078061835r\end{aligned}}} 該系數是已知邊心距求面積公式中系數的兩倍[7]
尺規作圖 编辑 尺規作圖 可先在圓形內製作正六邊形 ，再將各邊二等分線延伸至圓周以完成正十二邊形的頂點 。
以尺規作圖作出正12邊形。
分割 编辑 密鋪平面 编辑 有一些正多邊形鑲嵌圖 含有正十二邊形 ：
對稱性 编辑 一般的十二邊形對稱性以對邊和頂點的顏色顯示。約翰·何頓·康威 以字母來標記這些形狀的對稱性。[11] 正十二邊形具有Dih12 對稱性，階數為24.
有15個不同的子群二面體群和環狀對稱。每個子組對稱性允許一個或多個自由不規則形式。只有G12 子群沒有自由度，但可以看作是有向邊 。
不同對稱性的十二邊形
扭歪十二邊形 编辑 一個正扭歪十二邊形，位於六角反柱上 扭歪十二邊形，又稱不共面十二邊形，是指頂點並非完全共面的十二邊形。
皮特里多邊形 编辑 扭歪十二邊形經常出現在高維多胞體正交投影 的皮特里多邊形 。例如十一維正十二胞體的皮特里多邊形就是一個扭歪十二邊形，其具有A11 [310 ] 的考克斯特群 的對稱性[12]
高維度的扭歪十二邊形 E6 F4 2G2 (4D) 221 122 正二十四胞體 扭棱二十四胞體 六角六角錐體錐 六角六角柱體柱 A11 D7 B6 十一維正十二胞體 (411 ) 141 六維正軸體 六維超立方體
使用 编辑 澳大利亞元 的50分硬币形狀為正十二邊形。澳門幣 五圓和二毫的形状为正十二邊形二毫 和二元 港币 的形状为正十二邊形（严格地说，是每边向内凹陷的正十二边形）嵩岳寺塔的底為正十二邊形。 參見 编辑 參考文獻 编辑 ^ Weisstein, Eric W. (编). Dodecagon. at MathWorld Wolfram Research, Inc. （英语） . ^ Polygons – Dodecagon. coolmath.com. [2016-08-28 ] . （原始内容于2016-08-28）. ^ 柯謝克 . the Wolfram Demonstration Project. [2016-08-25 ] . （原始内容存档于2018-07-31）. ^ 《九章算術 》卷第一 - 大哉言數 ^ Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, pp. 56-57 and 137, 1991. ISBN 978-0140118131 ^ Plane Geometry: Experiment, Classification, Discovery, Application by Clarence Addison Willis B., (1922) Blakiston's Son & Company, p. 249 [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆 ）^ Elements of geometry by John Playfair, William Wallace, John Davidsons, (1814) Bell & Bradfute, p. 243 [2] （页面存档备份，存于互联网档案馆 ）^ " Doin' Da' Dodeca'". mathforum.org. [2017-06-08 ] . （原始内容于2016-09-17）. ^ Chavey, D. Tilings by Regular Polygons—II: A Catalog of Tilings. Computers & Mathematics with Applications. 1989, 17 : 147–165 [2016-08-28 ] . doi:10.1016/0898-1221(89)90156-9 . （原始内容于2016-06-16）. ^ . [2016-08-28 ] . （原始内容存档于2006-09-09）. ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon pp. 275-278) ^ Davis, Michael W., (PDF) , 2007 [2016-08-27 ] , ISBN 978-0-691-13138-2Zbl 1142.20020 , （原始内容 (PDF) 存档于2011-10-09） 外部連結 编辑 (Java) Dodecagon Matches Area Puzzle（页面存档备份，存于互联网档案馆 ） 埃里克·韦斯坦因 . Dodecagon. MathWorld . Kürschak's Tile and Theorem（页面存档备份，存于互联网档案馆 ） Definition and properties of a dodecagon（页面存档备份，存于互联网档案馆 ） With interactive animation
十二边形, 在幾何學中, 十二邊形是指有十二條邊和十二個頂點的多邊形, 其內角和為1800度, 十二邊形有很多種, 其中對稱性最高的是正十二邊形, 其他的十二邊形依照其類角的性質可以分成凸十二邊形和非凸十二邊形, 其中凸十二邊形代表所有內角角度皆小於180度, 非凸十二邊形可以在近一步分成凹十二邊形和星形十二邊形, 其中星形十二邊形表示邊自我相交的十二邊形, 而一般的十字形為凹十二邊形常見的一個例子, 正十二邊形一個正十二邊形類型正多邊形對偶正十二邊形, 本身, 邊12頂點12對角線54施萊夫利符號, 考克斯特符號. 在幾何學中 十二邊形是指有十二條邊和十二個頂點的多邊形 1 其內角和為1800度 2 十二邊形有很多種 其中對稱性最高的是正十二邊形 其他的十二邊形依照其類角的性質可以分成凸十二邊形和非凸十二邊形 其中凸十二邊形代表所有內角角度皆小於180度 非凸十二邊形可以在近一步分成凹十二邊形和星形十二邊形 其中星形十二邊形表示邊自我相交的十二邊形 而一般的十字形為凹十二邊形常見的一個例子 正十二邊形一個正十二邊形類型正多邊形對偶正十二邊形 本身 邊12頂點12對角線54施萊夫利符號 12 t 6 考克斯特符號 英语 Coxeter Dynkin diagram 對稱群二面體群 D12 order 2 12面積12 4 a 2 cot p 12 displaystyle frac 12 4 a 2 cot frac pi 12 11 196152422707 a 2 displaystyle approx 11 196152422707a 2 內角 度 150 內角和1800 特性凸 圓內接多邊形 等邊多邊形 等角多邊形 等邊圖形查论编 目录 1 正十二邊形 1 1 面積 1 2 周長 1 3 尺規作圖 1 4 分割 1 5 密鋪平面 2 對稱性 3 扭歪十二邊形 3 1 皮特里多邊形 4 使用 5 參見 6 參考文獻 7 外部連結正十二邊形 编辑正十二邊形是指所有邊等長 所有角等角的十二邊形 由十二條相同長度的邊和十二個相同大小的角構成 是一種正多邊形 正十二邊形的內角是5 p 6 displaystyle frac 5 pi 6 nbsp 弧度 換算成角度是150度 在施萊夫利符號中用 12 displaystyle left 12 right nbsp 來表示 由於正十二邊形可看作是截去所有頂點的正六邊形 即截角的正六邊形 因此施萊夫利符號中也可以計為 t 6 displaystyle t left 6 right nbsp 而因為正六邊形亦可以將正三角形透過截角變換來構造 即切去正三角形的三個頂點 因此正十二邊形可以視為正三角形經過2次的截角變換的結果 在施萊夫利符號中亦可以寫為 t t 3 displaystyle tt left 3 right nbsp 面積 编辑 若已知正十二邊形的邊長a 則正十二邊形的面積為 A 3 cot p 12 a 2 3 2 3 a 2 11 19615242 a 2 displaystyle begin aligned A amp 3 cot left frac pi 12 right a 2 3 left 2 sqrt 3 right a 2 amp simeq 11 19615242 a 2 end aligned nbsp 若已知內切圓半徑或邊心距為r 則其面積為 A 12 tan p 12 r 2 12 2 3 r 2 3 2153903 r 2 displaystyle begin aligned A amp 12 tan left frac pi 12 right r 2 12 left 2 sqrt 3 right r 2 amp simeq 3 2153903 r 2 end aligned nbsp 若已知外接圓半徑為R 其面積為 3 A 6 sin p 6 R 2 3 R 2 displaystyle A 6 sin left frac pi 6 right R 2 3R 2 nbsp 三国时代数学家刘徽计算出半径为r displaystyle r nbsp 的圆形 其内接正12边形的面积为3 r 2 displaystyle 3r 2 nbsp 4 5 正十二边形面积等于最长对角线平方的四分之三 十二邊形的寬度是兩個平行邊之間的距離 正好會等於兩倍的邊心距 因此已知正十二邊形的寬度和邊長也可以球出面積 A 3 a S displaystyle A 3aS nbsp 也可以利用三角關係進行驗證 S a 1 2 cos 30 2 cos 60 displaystyle S a 1 2 cos 30 circ 2 cos 60 circ nbsp 周長 编辑 若已知外接圓半徑R 正十二邊形的周長為 6 p 24 R sin p 12 12 R 2 3 6 21165708246 R displaystyle begin aligned p amp 24R sin left frac pi 12 right 12R sqrt 2 sqrt 3 amp simeq 6 21165708246R end aligned nbsp 若已知邊心距r 正十二邊形的周長為 p 24 r tan p 12 24 r 2 3 6 43078061835 r displaystyle begin aligned p amp 24r tan left frac pi 12 right 24r 2 sqrt 3 amp simeq 6 43078061835r end aligned nbsp 該系數是已知邊心距求面積公式中系數的兩倍 7 尺規作圖 编辑 尺規作圖可先在圓形內製作正六邊形 再將各邊二等分線延伸至圓周以完成正十二邊形的頂點 nbsp 以尺規作圖作出正12邊形 nbsp 分割 编辑 正十二邊形的分割 8 nbsp 正六邊形 正方形和正三角形 nbsp 圖型塊 英语 pattern blocks nbsp 六維超立方體 英语 6 cube 投影圖中的15個菱形 nbsp 15個菱形密鋪平面 编辑 有一些正多邊形鑲嵌圖含有正十二邊形 nbsp 截角六邊形鑲嵌3 12 12 9 10 nbsp 大斜方截半六邊形鑲嵌 4 6 12 nbsp 六角化大斜方截半六邊形鑲嵌 3 3 4 12 amp 3 3 3 3 3 3對稱性 编辑 nbsp 一般的十二邊形對稱性以對邊和頂點的顏色顯示 約翰 何頓 康威以字母來標記這些形狀的對稱性 11 正十二邊形具有Dih12對稱性 階數為24 有15個不同的子群二面體群和環狀對稱 每個子組對稱性允許一個或多個自由不規則形式 只有G12子群沒有自由度 但可以看作是有向邊 不同對稱性的十二邊形 nbsp r24 nbsp d12 nbsp g12 nbsp p12 nbsp i8 nbsp d6 nbsp g6 nbsp p6 nbsp d4 nbsp g4 nbsp p4 nbsp g3 nbsp d2 nbsp g2 nbsp p2 nbsp a1扭歪十二邊形 编辑 nbsp 一個正扭歪十二邊形 位於六角反柱上扭歪十二邊形 又稱不共面十二邊形 是指頂點並非完全共面的十二邊形 皮特里多邊形 编辑 扭歪十二邊形經常出現在高維多胞體正交投影的皮特里多邊形 例如十一維正十二胞體的皮特里多邊形就是一個扭歪十二邊形 其具有A11 310 的考克斯特群的對稱性 12 高維度的扭歪十二邊形E6 英语 E6 mathematics F4 英语 F4 mathematics 2G2 4D nbsp 221 英语 2 21 polytope nbsp 122 英语 1 22 polytope nbsp 正二十四胞體 nbsp 扭棱二十四胞體 英语 Snub 24 cell nbsp 六角六角錐體錐 英语 6 6 duopyramid nbsp 六角六角柱體柱 英语 6 6 duoprism A11 D7 B6 nbsp 十一維正十二胞體 nbsp 411 英语 7 orthoplex nbsp 141 英语 7 demicube nbsp 六維正軸體 英语 6 orthoplex nbsp 六維超立方體 英语 6 cube 使用 编辑澳大利亞元的50分硬币形狀為正十二邊形 澳門幣五圓和二毫的形状为正十二邊形 二毫和二元港币的形状为正十二邊形 严格地说 是每边向内凹陷的正十二边形 嵩岳寺塔的底為正十二邊形 參見 编辑十二邊形數 十二面體 面數和此多邊形的邊數一樣都是12 十二胞體 胞數和此多邊形的邊數一樣都是12 十二 此多邊形的邊數是12 正圖形列表參考文獻 编辑 Weisstein Eric W 编 Dodecagon at MathWorld A Wolfram Web Resource Wolfram Research Inc 英语 Polygons Dodecagon coolmath com 2016 08 28 原始内容存档于2016 08 28 柯謝克 英语 Jozsef Kurschak 的幾何證明 Kurschak s Dodecagon the Wolfram Demonstration Project 2016 08 25 原始内容存档于2018 07 31 九章算術 卷第一 大哉言數 Wells D The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry London Penguin pp 56 57 and 137 1991 ISBN 978 0140118131 Plane Geometry Experiment Classification Discovery Application by Clarence Addison Willis B 1922 Blakiston s Son amp Company p 249 1 页面存档备份 存于互联网档案馆 Elements of geometry by John Playfair William Wallace John Davidsons 1814 Bell amp Bradfute p 243 2 页面存档备份 存于互联网档案馆 Doin Da Dodeca mathforum org 2017 06 08 原始内容存档于2016 09 17 Chavey D Tilings by Regular Polygons II A Catalog of Tilings Computers amp Mathematics with Applications 1989 17 147 165 2016 08 28 doi 10 1016 0898 1221 89 90156 9 原始内容存档于2016 06 16 Uniform Tilings 2016 08 28 原始内容存档于2006 09 09 John H Conway Heidi Burgiel Chaim Goodman Strauss 2008 The Symmetries of Things ISBN 978 1 56881 220 5 Chapter 20 Generalized Schaefli symbols Types of symmetry of a polygon pp 275 278 Davis Michael W The Geometry and Topology of Coxeter Groups PDF 2007 2016 08 27 ISBN 978 0 691 13138 2 Zbl 1142 20020 原始内容 PDF 存档于2011 10 09 外部連結 编辑正12邊形分割再組合為正6邊形 Java 正12邊形組合為正方形 Dodecagon Matches Area Puzzle 页面存档备份 存于互联网档案馆 埃里克 韦斯坦因 Dodecagon MathWorld Kurschak s Tile and Theorem 页面存档备份 存于互联网档案馆 Definition and properties of a dodecagon 页面存档备份 存于互联网档案馆 With interactive animation 取自 https zh wikipedia org w index php title 十二边形 amp oldid 75145431 正十二邊形, 维基百科，wiki ，书籍，书籍，图书馆，
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