十二胞體

部分的十二胞體
五角六角柱體柱（四維）	截半五維正六胞體（五維）
過截角五維正六胞體（五維）	十一維正十二胞體（十一維）

在幾何學中，十二胞體是指有12個胞或維面的多胞體。若一個十二胞體的12個胞全等且為正圖形，且每條邊等長、每個角等角則稱為十二胞體，若其有不止一種胞，且該胞都是半正多胞形或正圖形，則稱為半正十二胞體。四維或四維以上的空間僅有兩個維度存在正十二胞體，六維和十一維，其中六維空間的正十二胞體是六維超立方體（英语：6-cube）為一種立方形，十一維空間的正十二胞體是十一維正十二胞體為一種單純形。

四維十二胞體

在四維空間中沒有正十二胞體，但有四種柱體柱：三角九角柱體柱（英语：3-9 duoprism）、四角八角柱體柱（英语：4-8 duoprism）和五角七角柱體柱（英语：5-7 duoprism）和六角六角柱體柱（英语：6-6 duoprism）^[1]，其中，六角六角柱體柱是由十二個全等的六角柱組成，但六角柱不是正圖形，因此不能算是正十二胞體。

名稱	考克斯特 施萊夫利	胞	圖像	展開圖
三角九角柱體柱		3個九角柱  9個三角柱
四角八角柱體柱		4個八角柱  8個立方體
五角七角柱體柱		5個七角柱  7個五角柱
六角六角柱體柱		12個六角柱

五維十二胞體

在五維空間中，十二胞體由12個四維多胞體組成，雖然沒有正十二胞體，但存在許多半正多胞體，例如四種經過一次康威變換的半正多胞體^[2]。

六維十二胞體

在六維空間中，十二胞體為由12個五維多胞體所組成的多胞體，而由十二個五维超正方体所組成的十二胞體稱為六維超立方體（英语：6-cube）。

十一維正十二胞體

正十二胞體
類型	正十一維多胞體
家族	單純形
維度	十一維
對偶多胞形	十一維正十二胞體（自身對偶）
數學表示法
考克斯特符號 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施萊夫利符號	{3,3,3,3,3,3,3,3,3,3} {3^10}
性質
十維胞	12個十維正十一胞體
九維胞	66個九維正十胞體（英语：9-simplex）
八維胞	220個八維正九胞體（英语：8-simplex）
七維胞	495個七維正八胞體
六維胞	792個六維正七胞體
五維胞	924個五維正六胞體
四維胞	792個正五胞體
胞	495個正四面體
面	220個正三角形
邊	66
頂點	12
歐拉示性數	2
特殊面或截面
皮特里多边形	正十二邊形
組成與佈局
顶点图	十維正十一胞體
對稱性
對稱群	A11 [3,3,3,3,3,3,3,3,3,3]
查 论 编

在十一維空間幾何學中，十一維正十二胞體（Dodecadakon或Dodeca-11-tope）又稱為11-單純形（11-simplex）是十一維空間的一種自身對偶的正多胞體，由12個十維正十一胞體組成，是一個十一維空間中的單純形^[3][4]。

性質

四維正十二胞體共有12個維面、66個維軸和220個維端，其各維度的的胞數分別為12個十維胞、66個九維胞、220個八維胞、495個七維胞、792個六維胞、924個五維胞、792個四維胞、495個三維胞、220個面、66條邊和12個頂點，其二面角為cos⁻¹(1/11)大約是84.78°^[5][6][7]。

頂點座標

邊長為2且幾何中心位於原點的十一維正十二胞體的頂點座標會落在：

${\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ {\sqrt {1/45}},\ 1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ {\sqrt {1/3}},\ \pm 1\right)}$ 

${\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ {\sqrt {1/45}},\ 1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ -2{\sqrt {1/3}},\ 0\right)}$ 

${\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ {\sqrt {1/45}},\ 1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ -{\sqrt {3/2}},\ 0,\ 0\right)}$ 

${\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ {\sqrt {1/45}},\ 1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ -2{\sqrt {2/5}},\ 0,\ 0,\ 0\right)}$ 

${\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ {\sqrt {1/45}},\ 1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ -{\sqrt {5/3}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$ 

${\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ {\sqrt {1/45}},\ 1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ -{\sqrt {12/7}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$ 

${\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ {\sqrt {1/45}},\ 1/6,\ -{\sqrt {7/4}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$ 

${\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ {\sqrt {1/45}},\ -4/3,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$ 

${\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ -3{\sqrt {1/5}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$ 

${\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ -{\sqrt {20/11}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$ 

${\displaystyle \left(-{\sqrt {11/6}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$ 

參見

• 十二面體
• 十二邊形

參考文獻

1. Olshevsky, George, Duoprism at Glossary for Hyperspace.
2. Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
3. Coxeter, Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8, p.296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n≥5)
4. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 26. pp. 409: Hemicubes: 1_n1)
5. (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
6. (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
7. (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]