外接圓, 在數學中, 一個二維平面上的多邊形的是一個使得該多邊形的所有頂點都在其上的圓形, 這時稱這個多邊形為圓內接多邊形, 的圓心被稱為該多邊形的外心, 三角形的垂直平分線會相交於的圓心, 一個多邊形至多有一個, 也就是說對於一個多邊形, 它的, 如果存在的話, 是唯一的, 並非所有的多邊形都有, 三角形和正多邊形一定有, 擁有的四邊形被稱為圓內接四邊形, 目录, 三角形的, 圓內接四邊形, 正多边形的外接圆, 参考资料, 延伸阅读三角形的, 编辑, 任何三角形都有, 三角形外心的位置在三角形的三條邊的垂直平分線. 在數學中 一個二維平面上的多邊形的外接圓是一個使得該多邊形的所有頂點都在其上的圓形 這時稱這個多邊形為圓內接多邊形 外接圓的圓心被稱為該多邊形的外心 三角形的垂直平分線會相交於外接圓的圓心 一個多邊形至多有一個外接圓 也就是說對於一個多邊形 它的外接圓 如果存在的話 是唯一的 並非所有的多邊形都有外接圓 三角形和正多邊形一定有外接圓 擁有外接圓的四邊形被稱為圓內接四邊形 目录 1 三角形的外接圓 2 圓內接四邊形 3 正多边形的外接圆 4 参考资料 5 延伸阅读三角形的外接圓 编辑 任何三角形都有外接圓 三角形外心的位置在三角形的三條邊的垂直平分線的交點上 到三個頂點的距離都相等 等於外接圓的半徑 而且 對於直角三角形 外心是斜邊的中點 外接圓半徑即斜邊長度的一半 這是泰勒斯定理的形式之一 對於鈍角三角形 外心在三角形外 靠近最長邊 對於銳角三角形 外心在三角形內 若以R表示三角形外接圓半徑 那麼根據正弦定理 a sin A b sin B c sin C 2 R displaystyle frac a sin A frac b sin B frac c sin C 2R 若以 S 表示三角形面积 由于S 1 2 a b sin C displaystyle S frac 1 2 ab sin C 整理得到 R a b c 4 S displaystyle R frac abc 4S 过三点圆的方程为 x 2 y 2 x y 1 x 1 2 y 1 2 x 1 y 1 1 x 2 2 y 2 2 x 2 y 2 1 x 3 2 y 3 2 x 3 y 3 1 0 displaystyle begin vmatrix x 2 y 2 amp x amp y amp 1 x 1 2 y 1 2 amp x 1 amp y 1 amp 1 x 2 2 y 2 2 amp x 2 amp y 2 amp 1 x 3 2 y 3 2 amp x 3 amp y 3 amp 1 end vmatrix 0 1 故三角形外心坐标为 x 1 2 y 1 2 y 1 1 x 2 2 y 2 2 y 2 1 x 3 2 y 3 2 y 3 1 2 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 x 1 x 1 2 y 1 2 1 x 2 x 2 2 y 2 2 1 x 3 x 3 2 y 3 2 1 2 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 displaystyle frac begin vmatrix x 1 2 y 1 2 amp y 1 amp 1 x 2 2 y 2 2 amp y 2 amp 1 x 3 2 y 3 2 amp y 3 amp 1 end vmatrix 2 begin vmatrix x 1 amp y 1 amp 1 x 2 amp y 2 amp 1 x 3 amp y 3 amp 1 end vmatrix frac begin vmatrix x 1 amp x 1 2 y 1 2 amp 1 x 2 amp x 2 2 y 2 2 amp 1 x 3 amp x 3 2 y 3 2 amp 1 end vmatrix 2 begin vmatrix x 1 amp y 1 amp 1 x 2 amp y 2 amp 1 x 3 amp y 3 amp 1 end vmatrix 圓內接四邊形 编辑主条目 圆内接四邊形 圓內接四邊形對角互補 其面積A可以用婆羅摩笈多公式求得 A s a s b s c s d displaystyle A sqrt s a s b s c s d 其中a b c d為四邊的長度 s為半周長 其外接圓半徑為 R a c b d a d b c a b c d 4 A displaystyle R frac sqrt ac bd ad bc ab cd 4A 邊長相等的四邊形中 以圓內接四边形最大 正多边形的外接圆 编辑所有的正多边形都有外接圆 外接圆的圆心和正多边形的中心重合 边长为a的n邊正多边形外接圆的半径为 R n a 2 sin p n a 2 csc p n displaystyle R n frac a 2 sin left frac pi n right frac a 2 csc left frac pi n right 面積为 A n p R n 2 p a 2 4 sin 2 p n p a 2 4 csc 2 p n displaystyle A n pi R n 2 frac pi a 2 4 sin 2 left frac pi n right frac pi a 2 4 csc 2 left frac pi n right 正n 边形的面积S n displaystyle S n 与其外接圆的面积A n displaystyle A n 之比为 r n S n A n n a 2 4 cot p n p a 2 4 csc 2 p n n p cos p n sin p n n 2 p sin 2 p n displaystyle rho n frac S n A n dfrac frac na 2 4 cot left frac pi n right frac pi a 2 4 csc 2 left frac pi n right frac n pi cos left frac pi n right sin left frac pi n right frac n 2 pi sin left frac 2 pi n right 故此 當n趨向無窮時 lim n r n lim n n 2 p sin 2 p n 1 displaystyle lim n to infty rho n lim n to infty frac n 2 pi sin left frac 2 pi n right 1 另外 其內切圓的面積s n displaystyle s n 與其外接圓的面積A n displaystyle A n 之比為 t n s n A n s n S n S n A n f n r n p n cot p n n p cos p n sin p n cos 2 p n displaystyle tau n frac s n A n frac s n S n cdot frac S n A n varphi n rho n left frac pi n cot left frac pi n right right left frac n pi cos left frac pi n right sin left frac pi n right right cos 2 left frac pi n right 参考资料 编辑 三角形的四心 延伸阅读 编辑内切圆 旁切圆 九点圆 最小外接圆 外接球 塔里點 取自 https zh wikipedia org w index php title 外接圓 amp oldid 75169171, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,