圆内接四边形

在几何中，圆内接四边形是四边形的一种。顾名思义，圆内接四边形的四个顶点都在同一个圆上。

四種圆内接四边形的例子（四点共圆）

性质

在一个圆内接四边形中，相对的两内角是互补的，它们度数之和为180度^[1]。与此等价的说法是，圆内接四边形的一个内角等于其相对面的角的外角。一個四邊形為圓內接四邊形的充分必要條件是其相对的两内角互补，即，圆内接四边形相对的两内角互补，且相对的两内角互补的四邊形是圓內接四邊形（四邊形四頂點共圓或說有四邊形有外接圓）。

 

如图，ABCD为圆内接四边形，托勒密定理指出：${\displaystyle {\begin{matrix}BD\cdot AC\\=AB\cdot CD+BC\cdot DA.\end{matrix}}}$ 

托勒密定理指出，圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积（如右图）。对于非退化的四边形，如果两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积，那么必定是圆内接四边形^[2]。

凸四边形的两条对角线将自身分成四个三角形。如果这个四边形是圆内接四边形，那么相对的两个三角形是相似的。如右图中，${\displaystyle P}$ 是圆内接四边形${\displaystyle ABCD}$ 的两对角线交点，则${\displaystyle \bigtriangleup ABP\sim \bigtriangleup DCP}$ ，${\displaystyle \bigtriangleup BCP\sim \bigtriangleup ADP}$ 。一个与此等价的说法是所谓的相交弦定理：设凸的圆内接四边形的两条对角线相交于一点(图中的${\displaystyle P}$ ），那么其中一条对角线被点${\displaystyle P}$ 所分成的两段的长度之乘积等于另一条对角线被点${\displaystyle P}$ 所分成的两段的长度之乘积：${\displaystyle AP\times CP=BP\times DP}$ 。相应的逆命题也成立：如果一个四边形ABCD的两条对角线交于点${\displaystyle P}$ ，且${\displaystyle \bigtriangleup ABP\sim \bigtriangleup DCP}$ （或${\displaystyle \bigtriangleup BCP\sim \bigtriangleup ADP}$ ，或${\displaystyle AP\times CP=BP\times DP}$ ），那么四边形${\displaystyle ABCD}$ 是圆内接四边形。

在四边形中，矩形、正方形都是圆内接四边形；鳶形和梯形可能是圆内接四边形。如果一个四边形既是平行四边形又是圆内接四边形，那么它是一个矩形。如果一个四边形既是梯形又是圆内接四边形，那么它是一个等腰梯形。如果一个鳶形是圆内接四边形，那么它至少有一对对角是直角。

面积

在已知四边的边长时，圆内接四边形的面积可通过婆羅摩笈多公式给出^[3]。若圆内接四边形的四边边长分别是${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ , ${\displaystyle c}$ , ${\displaystyle d}$ ，则其面积为：

${\displaystyle {\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}}$ 

其中${\displaystyle p}$ 為半周长：

${\displaystyle p={\frac {a+b+c+d}{2}}.}$ 

可以证明，在所有周长为定值${\displaystyle 2p}$ 的圆内接四边形中，面积最大的是正方形。

参见

• 圆内接多边形
• 婆羅摩笈多公式
• 婆羅摩笈多定理：关于对角线相互垂直的圆内接四边形的一个定理。
• 外接圆

参考来源

1. 欧几里得，《几何原本》第三章，命题22 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
2. 樂嗣康，托勒密(Ptolemy) 定理與“三弦定理”的關係 （页面存档备份，存于互联网档案馆），《數學傳播》26卷1期
3. 蔡聰明，談求面積的 Pick 公式. [2009-10-19]. （原始内容于2008-12-02）. 

外部链接

• （英文）体验圆内接四边形（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• （英文）关于圆内接四边形的一个定理（页面存档备份，存于互联网档案馆）