圓內接多邊形

在幾何學中，圓內接多邊形是指存在外接圓的多邊形，且該外接圓能使多邊形的所有頂點都位於該圓的邊界上，換句話說若這個多邊形的所有頂點都能位於同一個圓上，則可稱其為圓內接多邊形。所有的三角形都是圓內接多邊形，而四邊形以上的多邊形則不一定。若一四邊形的四個頂點都在同一個圓上則稱為圆内接四边形。

一個圓內接五邊形

圓內接多邊形的對偶多邊形為圓外切多邊形。此外，所有正多邊形都是圓內接多邊形。

性質

若一個奇數邊數的圓內接多邊形，若其所有角度都相等時，則其為正多邊形，反之亦然。而若圓內接多邊形的邊數為偶數，且其所有角度都相等時，則其稜會交錯相等，反之亦然^[1]。

圓內接五邊形

 

一個面積為7392的羅賓斯五邊形（英语：Robbins pentagon）。

若一圓內接五邊形的邊長和面積皆為有理數，該五邊形稱為羅賓斯五邊形（英语：Robbins pentagon）。目前已知的所有羅賓斯五邊形對角線長也皆為有理數^[2]。

圓內接四邊形

主条目：圓內接四邊形

在一个圆内接四边形中，相对的两内角是互补的，它们度数之和为180度^[3]。与此等价的说法是，圆内接四边形的一个内角等于其相对面的角的外角。相对的两内角互补是圓內接四邊形的充分必要條件，即，圆内接四边形相对的两内角互补，且相对的两内角互补的四邊形是圓內接四邊形（四邊形四頂點共圓或說有四邊形有外接圓）。

點到頂點頂點距離

設A為圓內接多邊形，其為一個n邊形，而其頂點分別為A₁ , ..., A_n，並位於單位圓上，則對位於弧A₁A_n上的任意點M，從頂點到M的距離滿足^{[4]:p.190,#332.10}：

${\displaystyle {\begin{cases}MA_{1}+MA_{3}+\dots +MA_{n-2}+MA_{n}<{\frac {n}{\sqrt {2}}}\quad {\text{if}}\,n\,{\text{is odd}};\\MA_{1}+MA_{3}+\dots +MA_{n-3}+MA_{n-1}\leq {\frac {n}{\sqrt {2}}}\quad {\text{if}}\,n\,{\text{is even}}.\end{cases}}}$ 

參見

• 圆内接四边形
• 雙心多邊形
• 圓外切多邊形

參考文獻

1. De Villiers, Michael. "Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons," Mathematical Gazette 95, March 2011, 102-107.
2. Buchholz, Ralph H.; MacDougall, James A., , Journal of Number Theory, 2008, 128 (1): 17–48 [2018-11-18], MR 2382768, doi:10.1016/j.jnt.2007.05.005, （原始内容存档于2018-11-12） .
3. 欧几里得，《几何原本》第三章，命题22 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
4. Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum”, [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）.

外部連結

• 埃里克·韦斯坦因. Cyclic Polygon. MathWorld.