泰勒斯定理

泰勒斯定理（英語：Thales' theorem）以古希腊思想家、科学家、哲学家泰勒斯的名字命名，其内容为：若A, B, C是圆周上的三點，且AC是该圆的直徑，那么∠ABC必然為直角。或者说，直径所对的圆周角是直角。该定理在欧几里得《几何原本》第三卷中被提到并证明^[1]。

泰勒斯定理：如果AC是直径，那么∠ABC是直角。

泰勒斯定理的逆定理同样成立，即：直角三角形中，直角的顶点在以斜边为直径的圆上。

證明

证法一

以下證明主要使用兩個定理：

• 三角形的內角和等於180°
• 等腰三角形的兩個底角相等

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  泰勒斯定理的动态演示图。
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  证明图。

設O為圓心，因為OA = OB = OC，所以△OAB和△OBC都是等腰三角形。因為等腰三角形底角相等，故有∠OBC = ∠OCB，且∠BAO = ∠ABO。設α = ∠BAO，β = ∠OBC。在△ABC中，因为三角形的内角和等于180°，所以有

${\displaystyle \alpha +\left(\alpha +\beta \right)+\beta =180^{\circ }}$ 

${\displaystyle {2}\alpha +{2}\beta =180^{\circ }}$ 

${\displaystyle {2}(\alpha +\beta )=180^{\circ }}$ 

${\displaystyle \therefore \angle ABC=\alpha +\beta =90^{\circ }.}$ 

证法二

泰勒斯定理也可以用三角学方法证明，证明如下：

令O =（0, 0）, A =（-1, 0）, C =（1, 0）。此时，B就是单位圆${\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta )}$ 上的一点。我们将通过证明AB与BC 垂直，即它们的斜率之积等于–1，来证明这个定理。计算AB和BC的斜率：

${\displaystyle m_{AB}={\frac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}}$ 

${\displaystyle m_{BC}={\frac {y_{B}-y_{C}}{x_{B}-x_{C}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta -1}}}$ 

并证明它们的积等于–1:

${\displaystyle {\begin{aligned}&m_{AB}\cdot m_{BC}\\=&{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\cdot {\frac {\sin \theta }{\cos \theta -1}}\\=&{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta -1}}\\=&{\frac {\sin ^{2}\theta }{-\sin ^{2}\theta }}\\=&-1\end{aligned}}}$ 

注意以上证明过程中运用了毕达哥拉斯三角恒等式${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1}$ 。

逆定理的證明

此證明使用兩線的向量形成直角三角形，若且唯若其內積為零。設有直角三角形ABC，和以AC為直徑的圓O。設O在原點，以方便計算。则AB和BC的內積為：

${\displaystyle (A-B)\cdot (B-C)=(A-B)\cdot (B+A)=|A|^{2}-|B|^{2}=0}$ 

${\displaystyle |A|=|B|}$ 

故A和B與圓心等距，即B在圆上。

一般化以及有关定理

泰勒斯定理是「同弧所对的圓周角是圓心角的一半」的一個特殊情況。

以下是泰勒斯定理的一个相关定理：

如果AC是一个圆的直径，则：

• 若B在圆内，则∠ABC > 90°
• 若B在圆上，则∠ABC = 90°
• 若B在圆外，则∠ABC < 90°

歷史

泰勒斯並非此定理的首名發現者，古埃及人和巴比倫人一定已知這特性，可是他們沒有給出證明。

参考文献

1. Heath, Thomas L. The thirteen books of Euclid's elements. New York, NY [u.a.]: Dover Publ. 1956: 61. ISBN 0486600890.