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希尔伯特的23个问题

一月 12, 2024

希尔伯特问题（德語：Hilbertsche Probleme）是德國數學家大衛·希爾伯特於1900年在巴黎舉行的第二届国际数学家大会上作了题为《数学问题》的演讲，所提出23道最重要的数学问题。希尔伯特问题对推动20世纪数学的发展起了积极的推动作用。在许多数学家努力下，希尔伯特问题中的大多数在20世纪中得到了解决。

希尔伯特问题中未能包括拓扑学、微分几何等领域，除数学物理外很少涉及应用数学，更不曾预料到电脑的发展将对数学产生重大影响。20世纪数学的发展实际上远远超出了希尔伯特所预示的范围。

希尔伯特问题中的1-6是数学基础问题，7-12是数论问题，13-18属于代数和几何问题，19-23属于数学分析。

问题解決進度 编辑

以下列出希尔伯特的23個問題，各问题的解答状况可参见各问题条目。

# 主旨 進展 說明
第1题 连续统假设 部分解决 1963年美国数学家保羅·柯恩以力迫法證明連續統假設不能由策梅洛-弗蘭克爾集合論（无论是否含选择公理）推導。也就是說，連續統假設成立與否無法由ZF/ZFC確定。
第2题 算术公理之相容性 部分解决 庫爾特·哥德爾在1931年證明了哥德爾不完備定理，但此定理是否已回答了希尔伯特的原始问题，数学界没有共识。
第3题 两四面體有相同体积之证明法 已解决 答案：否。1900年，希爾伯特的學生馬克斯·登（英语：Max Dehn）以一反例證明了是不可以的。
第4题 建立所有度量空间使得所有线段为測地線 已解决 滿足此性質的幾何很多，因而需要加以某些限制條件。在對稱距離情況下，問題獲解決。
第5题 所有连续群是否皆为可微群 已解决 1953年日本數學家山邊英彥证明在无“小的子群”情况下，答案是肯定的[1]；但此定理是否已回答了希尔伯特的原始问题，数学界仍有争论。
第6题 公理化物理 部分解决 希尔伯特后来对这个问题进一步解释，而他自己也进一步研究这个问题。柯尔莫哥洛夫对此也有贡献。然而，尽管公理化已经开始渗透到物理当中，量子力学中仍有至今不能逻辑自洽的部分（如量子场论），故该问题未完全解决。
第7题 若b是無理數、a是除0、1之外的代數數，那么ab是否超越數 已解决 答案：是。分別於1934年、1935年由苏联数学家亚历山大·格尔丰德與德国数学家特奥多尔·施耐德獨立地解決。
第8题 黎曼猜想及哥德巴赫猜想和孪生素数猜想 未解决 虽然分别有比较重要的突破和被解决的弱化情况，三个问题均仍未被解决。
第9题 任意代数数域的一般互反律 部分解决 1927年德国的埃米爾·阿廷证明在阿贝尔扩张的情况下答案是肯定的；此外的情况则尚未证明。
第10题 不定方程可解性 已解决 答案：否。1970年由苏联数学家尤里·马季亚谢维奇证明。
第11题 代数系数之二次形式 部分解决 有理數的部分由哈塞於1923年解決。
第12题 一般代数数域的阿贝尔扩张 未解决 埃里希·赫克于1912年用希尔伯特模形式研究了实二次域的情形。虚二次域的情形用复乘理论（英语：Complex multiplication）已基本解决。一般情况下则尚未解决。
第13题 以二元函數解任意七次方程 部分解决 1957年苏联数学家柯尔莫哥洛夫和弗拉基米尔·阿诺尔德證明对于单值解析函数，答案是否定的；然而希尔伯特原本可能希望证明的是代数函数的情形，因此该问题未获得完全解答。
第14题 证明一些函數完全系統（Complete system of functions）之有限性 已解决 答案：否。1962年日本人永田雅宜提出反例。
第15题 舒伯特演算（英语：Schubert calculus）之严格基础 部分解决 一部分在1938年由范德瓦爾登（英语：Bartel Leendert van der Waerden）得到嚴謹的證明。
第16题 代数曲线及表面之拓撲結構 未解决 此问题进展缓慢，即使对于度为8的代数曲线也没有证明。
第17题 把有理函數写成平方和分式 已解决 答案：是。1927年埃米爾·阿廷解决此问题，并提出實封閉域。[2][3]
第18题 非正多面體能否密铺空间、球體最紧密的排列 已解决 1911年比伯巴赫（英语：Ludwig Bieberbach）做出“n维欧氏几何空间只允许有限多种两两不等价的空间群”；莱因哈特（英语：Karl Reinhardt (mathematician)）证明不规则多面体亦可填满空间；托马斯·黑尔斯于1998年提出了初步证明，并于2014年8月10日用计算机完成了开普勒猜想的形式化证明，证明球体最紧密的排列是面心立方和六方最密两种方式。
第19题 拉格朗日系统（Lagrangian）之解是否皆可解析 已解决 答案：是。1956年至1958年恩尼奧·德喬吉（英语：Ennio de Giorgi）和约翰·福布斯·纳什分別用不同方法證明。
第20题 所有边值问题是否都有解 已解决 实际上工程和科研中遇到的边值问题都是适定的，因而都可以确定是否有解。[4]
第21题 证明有线性微分方程有給定的單值群（monodromy group） 已解决 此问题的答案取决于问题的表述：部分情况下是肯定的，部分情况下则是否定的。
第22题 将解析关系（analytic relations）以自守函数（英语：Automorphic function）一致化 部分解决 1904年由保罗·克伯（英语：Paul Koebe）和龐加萊取得部分解決。详见单值化定理。
第23题 變分法的长远发展 开放性问题 包括希尔伯特本人、昂利·勒贝格、雅克·阿达马等数学家皆投身于此。理查德·贝尔曼提出的动态规划可作为变分法的替代。

参阅 编辑

文獻 编辑

  • Gray, Jeremy J. The Hilbert Challenge. Oxford University Press. 2000. ISBN 0-19-850651-1. 
  • Yandell, Benjamin H. The Honors Class. Hilbert's Problems and Their Solvers. A K Peters. 2002. ISBN 1-56881-141-1. 
  • Thiele, Rüdiger. On Hilbert and his twenty-four problems. Van Brummelen, Glen (编). Mathematics and the historian’s craft. The Kenneth O. May Lectures. CMS Books in Mathematics/Ouvrages de Mathématiques de la SMC 21. 2005: 243–295. ISBN 0-387-25284-3. 
  • Dawson, John W. Jr. Logical Dilemmas, The Life and Work of Kurt Gödel. AK Peters, Wellesley, Mass. 1997: A wealth of information relevant to Hilbert's "program" and Gödel's impact on the Second Question, the impact of Arend Heyting's and Brouwer's Intuitionism on Hilbert's philosophy. 
  • Felix E. Browder (editor), Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics XXVIII (1976), American Mathematical Society. A collection of survey essays by experts devoted to each of the 23 problems emphasizing current developments.
  • Matiyasevich, Yuri. Hilbert's Tenth Problem. MIT Press, Cambridge, Massachusetts. 1993: An account at the undergraduate level by the mathematician who completed the solution of the problem. ISBN 0262132958. 
  • Nagel, Ernest; Newman, James R. Douglas Hofstadter , 编. Gödel's Proof: Edited and with a New Foreword by Douglas R. Hofstadter. New York University Press, NY. 2001. ISBN 0-8147-5816-9. 
  • Reid, Constance. Hilbert. Springer-Verlag, New York. 1996. ISBN 978-0387946740. 
Specific
  1. ^ Gotô, Morikuni; Yamabe, Hidehiko. On Continuous Isomorphisms of Topological Groups. Nagoya Mathematical Journal. 1950-06, 1: 109–111. ISSN 0027-7630. doi:10.1017/s0027763000022881. 
  2. ^ Artin, Emil. Über die Zerlegung definiter Funktionen in Quadrate. Emil Artin Collected Papers. New York, NY: Springer New York. 1965: 273–288. ISBN 9781461257189. 
  3. ^ Artin, Emil; Schreier, Otto. Algebraische Konstruktion reeller Körper. Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. 1927-12, 5 (1): 85–99. ISSN 0025-5858. doi:10.1007/bf02952512. 
  4. ^ Serrin, James. The solvability of boundary value problems (Hilbert’s problem 19). Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. 1976: 507–524. ISSN 2324-707X. doi:10.1090/pspum/028.2/0427784. 

外部链接 编辑

一月 12, 2024
希尔伯特的23个问题, 希尔伯特问题, 德語, hilbertsche, probleme, 是德國數學家大衛, 希爾伯特於1900年在巴黎舉行的第二届国际数学家大会上作了题为, 数学问题, 的演讲, 所提出23道最重要的数学问题, 希尔伯特问题对推动20世纪数学的发展起了积极的推动作用, 在许多数学家努力下, 希尔伯特问题中的大多数在20世纪中得到了解决, 希尔伯特问题中未能包括拓扑学, 微分几何等领域, 除数学物理外很少涉及应用数学, 更不曾预料到电脑的发展将对数学产生重大影响, 20世纪数学的发展实际上远远超. 希尔伯特问题 德語 Hilbertsche Probleme 是德國數學家大衛 希爾伯特於1900年在巴黎舉行的第二届国际数学家大会上作了题为 数学问题 的演讲 所提出23道最重要的数学问题 希尔伯特问题对推动20世纪数学的发展起了积极的推动作用 在许多数学家努力下 希尔伯特问题中的大多数在20世纪中得到了解决 希尔伯特问题中未能包括拓扑学 微分几何等领域 除数学物理外很少涉及应用数学 更不曾预料到电脑的发展将对数学产生重大影响 20世纪数学的发展实际上远远超出了希尔伯特所预示的范围 希尔伯特问题中的1 6是数学基础问题 7 12是数论问题 13 18属于代数和几何问题 19 23属于数学分析 目录 1 问题解決進度 2 参阅 3 文獻 4 外部链接问题解決進度 编辑以下列出希尔伯特的23個問題 各问题的解答状况可参见各问题条目 主旨 進展 說明第1题 连续统假设 部分解决 1963年美国数学家保羅 柯恩以力迫法證明連續統假設不能由策梅洛 弗蘭克爾集合論 无论是否含选择公理 推導 也就是說 連續統假設成立與否無法由ZF ZFC確定 第2题 算术公理之相容性 部分解决 庫爾特 哥德爾在1931年證明了哥德爾不完備定理 但此定理是否已回答了希尔伯特的原始问题 数学界没有共识 第3题 两四面體有相同体积之证明法 已解决 答案 否 1900年 希爾伯特的學生馬克斯 登 英语 Max Dehn 以一反例證明了是不可以的 第4题 建立所有度量空间使得所有线段为測地線 已解决 滿足此性質的幾何很多 因而需要加以某些限制條件 在對稱距離情況下 問題獲解決 第5题 所有连续群是否皆为可微群 已解决 1953年日本數學家山邊英彥证明在无 小的子群 情况下 答案是肯定的 1 但此定理是否已回答了希尔伯特的原始问题 数学界仍有争论 第6题 公理化物理 部分解决 希尔伯特后来对这个问题进一步解释 而他自己也进一步研究这个问题 柯尔莫哥洛夫对此也有贡献 然而 尽管公理化已经开始渗透到物理当中 量子力学中仍有至今不能逻辑自洽的部分 如量子场论 故该问题未完全解决 第7题 若b是無理數 a是除0 1之外的代數數 那么ab是否超越數 已解决 答案 是 分別於1934年 1935年由苏联数学家亚历山大 格尔丰德與德国数学家特奥多尔 施耐德獨立地解決 第8题 黎曼猜想及哥德巴赫猜想和孪生素数猜想 未解决 虽然分别有比较重要的突破和被解决的弱化情况 三个问题均仍未被解决 第9题 任意代数数域的一般互反律 部分解决 1927年德国的埃米爾 阿廷证明在阿贝尔扩张的情况下答案是肯定的 此外的情况则尚未证明 第10题 不定方程可解性 已解决 答案 否 1970年由苏联数学家尤里 马季亚谢维奇证明 第11题 代数系数之二次形式 部分解决 有理數的部分由哈塞於1923年解決 第12题 一般代数数域的阿贝尔扩张 未解决 埃里希 赫克于1912年用希尔伯特模形式研究了实二次域的情形 虚二次域的情形用复乘理论 英语 Complex multiplication 已基本解决 一般情况下则尚未解决 第13题 以二元函數解任意七次方程 部分解决 1957年苏联数学家柯尔莫哥洛夫和弗拉基米尔 阿诺尔德證明对于单值解析函数 答案是否定的 然而希尔伯特原本可能希望证明的是代数函数的情形 因此该问题未获得完全解答 第14题 证明一些函數完全系統 Complete system of functions 之有限性 已解决 答案 否 1962年日本人永田雅宜提出反例 第15题 舒伯特演算 英语 Schubert calculus 之严格基础 部分解决 一部分在1938年由范德瓦爾登 英语 Bartel Leendert van der Waerden 得到嚴謹的證明 第16题 代数曲线及表面之拓撲結構 未解决 此问题进展缓慢 即使对于度为8的代数曲线也没有证明 第17题 把有理函數写成平方和分式 已解决 答案 是 1927年埃米爾 阿廷解决此问题 并提出實封閉域 2 3 第18题 非正多面體能否密铺空间 球體最紧密的排列 已解决 1911年比伯巴赫 英语 Ludwig Bieberbach 做出 n维欧氏几何空间只允许有限多种两两不等价的空间群 莱因哈特 英语 Karl Reinhardt mathematician 证明不规则多面体亦可填满空间 托马斯 黑尔斯于1998年提出了初步证明 并于2014年8月10日用计算机完成了开普勒猜想的形式化证明 证明球体最紧密的排列是面心立方和六方最密两种方式 第19题 拉格朗日系统 Lagrangian 之解是否皆可解析 已解决 答案 是 1956年至1958年恩尼奧 德喬吉 英语 Ennio de Giorgi 和约翰 福布斯 纳什分別用不同方法證明 第20题 所有边值问题是否都有解 已解决 实际上工程和科研中遇到的边值问题都是适定的 因而都可以确定是否有解 4 第21题 证明有线性微分方程有給定的單值群 monodromy group 已解决 此问题的答案取决于问题的表述 部分情况下是肯定的 部分情况下则是否定的 第22题 将解析关系 analytic relations 以自守函数 英语 Automorphic function 一致化 部分解决 1904年由保罗 克伯 英语 Paul Koebe 和龐加萊取得部分解決 详见单值化定理 第23题 變分法的长远发展 开放性问题 包括希尔伯特本人 昂利 勒贝格 雅克 阿达马等数学家皆投身于此 理查德 贝尔曼提出的动态规划可作为变分法的替代 参阅 编辑大卫 希尔伯特 国际数学家大会 千禧年大獎難題 斯梅尔问题文獻 编辑Gray Jeremy J The Hilbert Challenge Oxford University Press 2000 ISBN 0 19 850651 1 Yandell Benjamin H The Honors Class Hilbert s Problems and Their Solvers A K Peters 2002 ISBN 1 56881 141 1 Thiele Rudiger On Hilbert and his twenty four problems Van Brummelen Glen 编 Mathematics and the historian s craft The Kenneth O May Lectures CMS Books in Mathematics Ouvrages de Mathematiques de la SMC 21 2005 243 295 ISBN 0 387 25284 3 Dawson John W Jr Logical Dilemmas The Life and Work of Kurt Godel AK Peters Wellesley Mass 1997 A wealth of information relevant to Hilbert s program and Godel s impact on the Second Question the impact of Arend Heyting s and Brouwer s Intuitionism on Hilbert s philosophy Felix E Browder editor Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems Proceedings of Symposia in Pure Mathematics XXVIII 1976 American Mathematical Society A collection of survey essays by experts devoted to each of the 23 problems emphasizing current developments Matiyasevich Yuri Hilbert s Tenth Problem MIT Press Cambridge Massachusetts 1993 An account at the undergraduate level by the mathematician who completed the solution of the problem ISBN 0262132958 Nagel Ernest Newman James R Douglas Hofstadter 编 Godel s Proof Edited and with a New Foreword by Douglas R Hofstadter New York University Press NY 2001 ISBN 0 8147 5816 9 Reid Constance Hilbert Springer Verlag New York 1996 ISBN 978 0387946740 Specific Goto Morikuni Yamabe Hidehiko On Continuous Isomorphisms of Topological Groups Nagoya Mathematical Journal 1950 06 1 109 111 ISSN 0027 7630 doi 10 1017 s0027763000022881 Artin Emil Uber die Zerlegung definiter Funktionen in Quadrate Emil Artin Collected Papers New York NY Springer New York 1965 273 288 ISBN 9781461257189 Artin Emil Schreier Otto Algebraische Konstruktion reeller Korper Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universitat Hamburg 1927 12 5 1 85 99 ISSN 0025 5858 doi 10 1007 bf02952512 Serrin James The solvability of boundary value problems Hilbert s problem 19 Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 1976 507 524 ISSN 2324 707X doi 10 1090 pspum 028 2 0427784 外部链接 编辑評 希爾伯特的23個數學難題 页面存档备份 存于互联网档案馆 希尔伯特23个问题及解决情况 永久失效連結 希尔伯特的23个问题 页面存档备份 存于互联网档案馆 希尔伯特的23个问题 简要 取自 https zh wikipedia org w index php title 希尔伯特的23个问题 amp oldid 78421768, 维基百科，wiki，书籍，书籍，图书馆，

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