機率公設

機率公理（英語：Probability axioms）是概率論的公理，任何事件發生的概率的定義均滿足概率公理。因其提出者为安德烈·柯尔莫果洛夫，也被人们熟知为柯尔莫果洛夫公理（Kolmogorov axioms）。

某个事件${\displaystyle E}$的概率${\displaystyle P(E)}$是定义在“全体”（universe）或者所有可能基础事件的样本空间${\displaystyle \Omega }$时，概率${\displaystyle P}$必须满足以下柯尔莫果洛夫公理。

也可以说，概率可以被解释为定义在样本空间的子集的σ代数上的一个测度，那些子集为事件，使得所有集的测度为${\displaystyle 1}$。这个性质很重要，因为这裡提出条件概率的自然概念。对于每一个非零概率A都可以在空间上定义另外一个概率：

${\displaystyle P(B\vert A)={P(B\cap A) \over P(A)}}$

这通常被读作“给定A时B的概率”。如果给定A时B的条件概率与B的概率相同，则A与B被称为是独立的。

当样本空间是有限或者可数无限时，概率函数也可以以基本事件${\displaystyle \{e_{1}\},\{e_{2}\},...}$定义它的值，这里${\displaystyle \Omega =\{e_{1},e_{2},...\}}$。

柯尔莫果洛夫公理

假设有一个基础集${\displaystyle \Omega }$ ，其子集的集合${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ 为σ代数，和一个给${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ 的元素指定一个实数的函数${\displaystyle P}$ 。${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ 的元素，称为“事件”。

第一公理（非负性）

对于任意一个集合${\displaystyle A\in {\mathfrak {F}}}$ ， 即对于任意的事件${\displaystyle P(A)\geq 0}$ 。

即，任一事件的概率都可以用${\displaystyle 0}$ 到${\displaystyle 1}$ 区间上的一个实数来表示。

第二公理（归一化）

${\displaystyle P(\Omega )=1}$ 。

即，整体样本集合中的某个基本事件发生的概率为1。更加明确地说，在样本集合之外已经不存在基本事件了。

这在一些错误的概率计算中经常被小看；如果你不能准确地定义整个样本集合，那么任意子集的概率也不可能被定义。

第三公理（可加性）

任意两两不相交事件${\displaystyle E_{1},E_{2},...}$ 的可数序列满足${\displaystyle P(E_{1}\cup E_{2}\cup \cdots )=\sum P(E_{i})}$ 。

即，不相交子集的并的事件集合的概率为那些子集的概率的和。这也被称为是σ可加性。如果存在子集间的重叠，这一关系不成立。

如想通过代数了解柯尔莫果洛夫的方法，请参照随机变量代数。

又發展成Boole不等式，證明時常使用此公式：${\displaystyle {\displaystyle P(\bigcup _{i}A_{i})\leq \sum _{i}P(A_{i})}}$ 。

概率论引理

从柯尔莫果洛夫公理可以推导出另外一些对计算概率有用的法则。

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)}$ ，

${\displaystyle P(\Omega -E)=1-P(E)}$ ，

${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\vert A)}$ ，

这一关系给出了贝叶斯定理。以此可以得出A和B是独立的当且仅当

${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)}$ 。

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外部链接