雙曲複數

雙曲複數乘法表

×	1	j
1	1	j
j	j	1

雙曲複數（英語：hyperbolic numbers或Split-complex number），是異於複數而對實數所做的推廣。

定義

考慮數${\displaystyle z=x+jy}$ ，其中${\displaystyle x,y}$ 是實數，而量${\displaystyle j}$ 不是實數，但${\displaystyle j^{2}}$ 是實數。

選取${\displaystyle j^{2}=-1}$ ，得到一般複數。取${\displaystyle +1}$ 的話，便得到雙曲複數。

定義雙曲複數的加法和乘法如下，使之符合交換律、結合律和分配律：

${\displaystyle (x+jy)+(u+jv)=(x+u)+j(y+v)}$ 

${\displaystyle (x+jy)(u+jv)=(x+jy)(u)+(x+jy)(jv)=xu+jyu+jxv+j^{2}yv=(xu+yv)+j(xv+yu)}$ 

共軛、範數

對於${\displaystyle z=x+jy}$ ，其共軛值${\displaystyle z^{*}=x-jy}$ 。對於任何雙曲複數${\displaystyle z,w}$ ，

${\displaystyle (z+w)^{*}=z^{*}+w^{*}}$ 

${\displaystyle (zw)^{*}=z^{*}w^{*}}$ 

${\displaystyle (z^{*})^{*}=z}$ 

可見它是自同構的。

定義內積為 ${\displaystyle \langle z,w\rangle =Re(zw^{*})=Re(zw^{*})=xu-yv}$  。若${\displaystyle \langle z,w\rangle =0}$  ，說${\displaystyle z,w}$ （雙曲）正交。

雙曲複數的平方範數就取自己和自己的內積，即自身和其共軛值之乘積（閔可夫斯基範數）：

${\displaystyle \lVert z\rVert =\langle z,z\rangle =zz^{*}=z^{*}z=x^{2}-y^{2}}$ 。

這個範數非正定，其Metric signature是(1,1)。它在乘法下不變：${\displaystyle \lVert zw\rVert =\lVert z\rVert \lVert w\rVert }$ 。

除法

除了0之外，也不是每個雙曲複數都有乘法逆元。

${\displaystyle z^{-1}={\frac {1}{z}}={\frac {z^{*}}{zz^{*}}}={\frac {z^{*}}{\lVert z\lVert }}}$ 

由此可見，雙曲複數可逆若且唯若其平方範數非零。其形式均為${\displaystyle k(1\pm j)}$ ，其中${\displaystyle k}$ 是實數。

基

雙曲複數的冪等元有：

列方程${\displaystyle (x+jy)^{2}=(x^{2}+y^{2})+2xyj}$ 。有四個解：${\displaystyle 1,0,s=(1-j)/2,s^{*}=(1+j)/2}$ 。

s和s^*都是不可逆的。它們可以作雙曲複數的基。${\displaystyle z=x+jy=(x-y)s+(x+y)s^{*}}$  。

若將${\displaystyle z=ae+be^{*}}$ 表示成${\displaystyle (a,b)}$ ，雙曲複數的乘法可表示成${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac,bd)}$  。因此，在這個基裏，雙曲複數的加法和乘法和直和R⊕R同構。

共軛可表示為${\displaystyle (a,b)^{*}=(b,a)}$ ，範數${\displaystyle \lVert (a,b)\rVert =ab}$ 。

幾何

有閔可夫斯基內積的二維實向量空間稱為1+1閔可夫斯基空間，表示為R^1,1。正如歐几里得平面R²的幾何學可以複數表示，閔可夫斯基空間的幾何學可以雙曲複數表示。

在R，對於非零的${\displaystyle a}$ ，點集 ${\displaystyle \{z:\lVert z\lVert =a^{2}\}}$  是雙曲線。左邊和右邊的會經過${\displaystyle a}$ 和${\displaystyle -a}$ 。${\displaystyle a=1}$ 稱為單位雙曲線。

共軛雙曲線是${\displaystyle \{z:\lVert z\lVert =-a^{2}\}}$  ，會分別經過${\displaystyle ja}$ 和${\displaystyle -ja}$ 。雙曲線和共軛雙曲線會被成直角的兩條漸近線 ${\displaystyle \{z:\lVert z\lVert =0\}}$  分開。

歐拉公式的相應版本是${\displaystyle e^{j\theta }=\cosh(\theta )+j\sinh(\theta )}$ 。

歷史

1848年James Cockle提出了双复数。1882年威廉·金頓·克利福德以雙曲複數表示自旋和。

20世紀，雙曲複數成為描述狹義相對論的勞侖茲變換的工具，因為不同參考系之間的速度變換可由雙曲旋轉表達。