十六元數, 在抽象代数中, 英語, sedenion, 是在實數上形成的16維非交換且非結合代數結構, 彷如八元數, 其乘法不符合交換律及結合律, 可以透過將八元數套用凯莱, 迪克森结构來構造, 然而, 与八元数不一样, 十六元数甚至不符合交错性, 尽管如此, 十六元数仍然符合幂结合性, 此外, 中存在零因子, zero, divisor, 例如, displaystyle, left, right, times, left, right, 這點與八元數截然不同, 因此, 無法構成整環, integral, dom. 在抽象代数中 十六元數 英語 Sedenion 是在實數上形成的16維非交換且非結合代數結構 彷如八元數 其乘法不符合交換律及結合律 十六元數可以透過將八元數套用凯莱 迪克森结构來構造 然而 与八元数不一样 十六元数甚至不符合交错性 尽管如此 十六元数仍然符合幂结合性 此外 十六元數中存在零因子 zero divisor 例如 e 3 e 10 e 6 e 15 0 displaystyle left e 3 e 10 right times left e 6 e 15 right 0 這點與八元數截然不同 因此 十六元數無法構成整環 integral domain 也無法構成除環 divisor ring 1 十六元數符號S displaystyle mathbb S 種類非结合代數單位e 0 displaystyle e 0 e 1 displaystyle e 1 e 2 displaystyle e 2 e 3 displaystyle e 3 e 4 displaystyle e 4 e 5 displaystyle e 5 e 6 displaystyle e 6 e 7 displaystyle e 7 e 8 displaystyle e 8 e 9 displaystyle e 9 e 10 displaystyle e 10 e 11 displaystyle e 11 e 12 displaystyle e 12 e 13 displaystyle e 13 e 14 displaystyle e 14 及e 15 displaystyle e 15 乘法單位元e 0 displaystyle e 0 主要性質冪結合性分配律常見的數字系統N displaystyle mathbb N 自然數Z displaystyle mathbb Z 整數Q displaystyle mathbb Q 有理數R displaystyle mathbb R 實數C displaystyle mathbb C 複數H displaystyle mathbb H 四元數 少見的數字系統八元數 O displaystyle mathbb O 十六元數 S displaystyle mathbb S 三十二元數查论编各种各样的数各种各样的数基本N Z Q R C displaystyle mathbb N subseteq mathbb Z subseteq mathbb Q subseteq mathbb R subseteq mathbb C 正數 R displaystyle mathbb R 自然数 N displaystyle mathbb N 正整數 Z displaystyle mathbb Z 小数有限小数无限小数循环小数有理数 Q displaystyle mathbb Q 代數數 A displaystyle mathbb A 实数 R displaystyle mathbb R 複數 C displaystyle mathbb C 高斯整數 Z i displaystyle mathbb Z i 负数 R displaystyle mathbb R 整数 Z displaystyle mathbb Z 负整數 Z displaystyle mathbb Z 分數單位分數二进分数規矩數無理數超越數虚数 I displaystyle mathbb I 二次无理数艾森斯坦整数 Z w displaystyle mathbb Z omega 延伸二元数四元數 H displaystyle mathbb H 八元数 O displaystyle mathbb O 十六元數 S displaystyle mathbb S 超實數 R displaystyle mathbb R 大實數上超實數 雙曲複數雙複數複四元數共四元數 英语 Dual quaternion 超复数超數超現實數其他質數 P displaystyle mathbb P 可計算數基數阿列夫數同餘整數數列公稱值 規矩數可定義數序数超限数p 進數數學常數 圓周率 p 3 14159265 displaystyle pi 3 14159265 自然對數的底 e 2 718281828 displaystyle e 2 718281828 虛數單位 i 1 displaystyle i sqrt 1 無窮大 displaystyle infty 查论编十六元數是由八元數套用凯莱 迪克森構造而成的 十六元數亦可以繼續進行凯莱 迪克森構造 若將十六元數套用凯莱 迪克森構造將會形成三十二元數 trigintaduonion 2 每一次的構造都會導致維數翻倍 3 45 並且構造結果同樣與十六元數類似 有著不符合交错性 符合幂结合性與存在零因子等特性 3 十六元數這個術語同時亦用於其他同為16維度的代數結構 例如兩個複四元數的張量積 實數上的4 4矩陣代數或喬納森 D H 史密斯於1995提出的一種代數結構 4 目录 1 算術 1 1 十六元數特性 1 1 1 反結合 1 2 四元子代數 2 應用 3 參見 4 參考文獻算術 编辑 立方八元數擴展到四維空間的視覺化 5 6 其展示了35個示例十六元數之實數 e 0 displaystyle e 0 頂點三元組所構成的超平面 唯一的例外是三元組 e 1 displaystyle e 1 e 2 displaystyle e 2 e 3 displaystyle e 3 不與 e 0 displaystyle e 0 形成超平面 十六元數的乘法和八元數一樣 不具備交換律及結合律 與八元數不同的是 十六元數不具備交错代数的特性 雖然如此 但十六元數仍然保有冪結合性 也就是說 對所有的十六元數集S displaystyle mathbb S 中的元素x 冪x n displaystyle x n 是可以明確定義的 同時 十六元數亦有柔性代數 英语 Flexible algebra 的特性 6 十六元數共有的16個單位 這16個單位十六元數是 7 e 0 displaystyle e 0 e 1 displaystyle e 1 e 2 displaystyle e 2 e 3 displaystyle e 3 e 4 displaystyle e 4 e 5 displaystyle e 5 e 6 displaystyle e 6 e 7 displaystyle e 7 e 8 displaystyle e 8 e 9 displaystyle e 9 e 10 displaystyle e 10 e 11 displaystyle e 11 e 12 displaystyle e 12 e 13 displaystyle e 13 e 14 displaystyle e 14 及e 15 displaystyle e 15 每個十六元數都是單位十六元數e 0 displaystyle e 0 e 1 displaystyle e 1 e 2 displaystyle e 2 e 3 displaystyle e 3 e 15 displaystyle e 15 的線性組合 並構成了十六元數向量空間的基 每個十六元數都可以用以下形式表示 7 x x 0 e 0 x 1 e 1 x 2 e 2 x 14 e 14 x 15 e 15 displaystyle x x 0 e 0 x 1 e 1 x 2 e 2 cdots x 14 e 14 x 15 e 15 十六元數的加法和減法是通過將相應十六元數單位之係數的加法或減法來定義的 而十六元數的乘法是對加法的分配 所以兩個十六元數的乘積可以通過對所有項的乘積求和來計算 1 十六元數和其他也由凯莱 迪克森结构來構造的代數結構一樣 其皆包含了依凯莱 迪克森结构構造來源的代數結構 例如十六元數可透過八元數代凯莱 迪克森结构來構造 八元數可透過四元數代凯莱 迪克森结构來構造 四元數可透過複數代凯莱 迪克森结构來構造 複數可透過實數代凯莱 迪克森结构來構造 因此 十六元數系包含了一個八元數系 由下方乘法表對應的e 0 displaystyle e 0 至e 7 displaystyle e 7 構造 亦包含了四元數系 由e 0 displaystyle e 0 至e 3 displaystyle e 3 構造 也包含了複數系 由e 0 displaystyle e 0 至e 1 displaystyle e 1 構造 和實數系 由e 0 displaystyle e 0 構造 8 十六元數具有乘法單位元素e 0 displaystyle e 0 和乘法逆元 但因為存在零因子因此無法構成可除代數 英语 Division algebra 換句話說 即十六元數的代數系統中 存在2個非零十六元數相乘為零 例如 e 3 e 10 e 6 e 15 0 displaystyle e 3 e 10 e 6 e 15 0 其他基於凯莱 迪克森结构構造的超複數系統中 維度大於16的超複數也都存在零因子 7 1 十六元數單元乘數表如下 8 e i e j displaystyle e i e j e j displaystyle e j e 0 displaystyle e 0 e 1 displaystyle e 1 e 2 displaystyle e 2 e 3 displaystyle e 3 e 4 displaystyle e 4 e 5 displaystyle e 5 e 6 displaystyle e 6 e 7 displaystyle e 7 e 8 displaystyle e 8 e 9 displaystyle e 9 e 10 displaystyle e 10 e 11 displaystyle e 11 e 12 displaystyle e 12 e 13 displaystyle e 13 e 14 displaystyle e 14 e 15 displaystyle e 15 e i displaystyle e i e 0 displaystyle e 0 e 0 displaystyle e 0 e 1 displaystyle e 1 e 2 displaystyle e 2 e 3 displaystyle e 3 e 4 displaystyle e 4 e 5 displaystyle e 5 e 6 displaystyle e 6 e 7 displaystyle e 7 e 8 displaystyle e 8 e 9 displaystyle e 9 e 10 displaystyle e 10 e 11 displaystyle e 11 e 12 displaystyle e 12 e 13 displaystyle e 13 e 14 displaystyle e 14 e 15 displaystyle e 15 e 1 displaystyle e 1 e 1 displaystyle e 1 e 0 displaystyle e 0 e 3 displaystyle e 3 e 2 displaystyle e 2 e 5 displaystyle e 5 e 4 displaystyle e 4 e 7 displaystyle e 7 e 6 displaystyle e 6 e 9 displaystyle e 9 e 8 displaystyle e 8 e 11 displaystyle e 11 e 10 displaystyle e 10 e 13 displaystyle e 13 e 12 displaystyle e 12 e 15 displaystyle e 15 e 14 displaystyle e 14 e 2 displaystyle e 2 e 2 displaystyle e 2 e 3 displaystyle e 3 e 0 displaystyle e 0 e 1 displaystyle e 1 e 6 displaystyle e 6 e 7 displaystyle e 7 e 4 displaystyle e 4 e 5 displaystyle e 5 e 10 displaystyle e 10 e 11 displaystyle e 11 e 8 displaystyle e 8 e 9 displaystyle e 9 e 14 displaystyle e 14 e 15 displaystyle e 15 e 12 displaystyle e 12 e 13 displaystyle e 13 e 3 displaystyle e 3 e 3 displaystyle e 3 e 2 displaystyle e 2 e 1 displaystyle e 1 e 0 displaystyle e 0 e 7 displaystyle e 7 e 6 displaystyle e 6 e 5 displaystyle e 5 e 4 displaystyle e 4 e 11 displaystyle e 11 e 10 displaystyle e 10 e 9 displaystyle e 9 e 8 displaystyle e 8 e 15 displaystyle e 15 e 14 displaystyle e 14 e 13 displaystyle e 13 e 12 displaystyle e 12 e 4 displaystyle e 4 e 4 displaystyle e 4 e 5 displaystyle e 5 e 6 displaystyle e 6 e 7 displaystyle e 7 e 0 displaystyle e 0 e 1 displaystyle e 1 e 2 displaystyle e 2 e 3 displaystyle e 3 e 12 displaystyle e 12 e 13 displaystyle e 13 e 14 displaystyle e 14 e 15 displaystyle e 15 e 8 displaystyle e 8 e 9 displaystyle e 9 e 10 displaystyle e 10 e 11 displaystyle e 11 e 5 displaystyle e 5 e 5 displaystyle e 5 e 4 displaystyle e 4 e 7 displaystyle e 7 e 6 displaystyle e 6 e 1 displaystyle e 1 e 0 displaystyle e 0 e 3 displaystyle e 3 e 2 displaystyle e 2 e 13 displaystyle e 13 e 12 displaystyle e 12 e 15 displaystyle e 15 e 14 displaystyle e 14 e 9 displaystyle e 9 e 8 displaystyle e 8 e 11 displaystyle e 11 e 10 displaystyle e 10 e 6 displaystyle e 6 e 6 displaystyle e 6 e 7 displaystyle e 7 e 4 displaystyle e 4 e 5 displaystyle e 5 e 2 displaystyle e 2 e 3 displaystyle e 3 e 0 displaystyle e 0 e 1 displaystyle e 1 e 14 displaystyle e 14 e 15 displaystyle e 15 e 12 displaystyle e 12 e 13 displaystyle e 13 e 10 displaystyle e 10 e 11 displaystyle e 11 e 8 displaystyle e 8 e 9 displaystyle e 9 e 7 displaystyle e 7 e 7 displaystyle e 7 e 6 displaystyle e 6 e 5 displaystyle e 5 e 4 displaystyle e 4 e 3 displaystyle e 3 e 2 displaystyle e 2 e 1 displaystyle e 1 e 0 displaystyle e 0 e 15 displaystyle e 15 e 14 displaystyle e 14 e 13 displaystyle e 13 e 12 displaystyle e 12 e 11 displaystyle e 11 e 10 displaystyle e 10 e 9 displaystyle e 9 e 8 displaystyle e 8 e 8 displaystyle e 8 e 8 displaystyle e 8 e 9 displaystyle e 9 e 10 displaystyle e 10 e 11 displaystyle e 11 e 12 displaystyle e 12 e 13 displaystyle e 13 e 14 displaystyle e 14 e 15 displaystyle e 15 e 0 displaystyle e 0 e 1 displaystyle e 1 e 2 displaystyle e 2 e 3 displaystyle e 3 e 4 displaystyle e 4 e 5 displaystyle e 5 e 6 displaystyle e 6 e 7 displaystyle e 7 e 9 displaystyle e 9 e 9 displaystyle e 9 e 8 displaystyle e 8 e 11 displaystyle e 11 e 10 displaystyle e 10 e 13 displaystyle e 13 e 12 displaystyle e 12 e 15 displaystyle e 15 e 14 displaystyle e 14 e 1 displaystyle e 1 e 0 displaystyle e 0 e 3 displaystyle e 3 e 2 displaystyle e 2 e 5 displaystyle e 5 e 4 displaystyle e 4 e 7 displaystyle e 7 e 6 displaystyle e 6 e 10 displaystyle e 10 e 10 displaystyle e 10 e 11 displaystyle e 11 e 8 displaystyle e 8 e 9 displaystyle e 9 e 14 displaystyle e 14 e 15 displaystyle e 15 e 12 displaystyle e 12 e 13 displaystyle e 13 e 2 displaystyle e 2 e 3 displaystyle e 3 e 0 displaystyle e 0 e 1 displaystyle e 1 e 6 displaystyle e 6 e 7 displaystyle e 7 e 4 displaystyle e 4 e 5 displaystyle e 5 e 11 displaystyle e 11 e 11 displaystyle e 11 e 10 displaystyle e 10 e 9 displaystyle e 9 e 8 displaystyle e 8 e 15 displaystyle e 15 e 14 displaystyle e 14 e 13 displaystyle e 13 e 12 displaystyle e 12 e 3 displaystyle e 3 e 2 displaystyle e 2 e 1 displaystyle e 1 e 0 displaystyle e 0 e 7 displaystyle e 7 e 6 displaystyle e 6 e 5 displaystyle e 5 e 4 displaystyle e 4 e 12 displaystyle e 12 e 12 displaystyle e 12 e 13 displaystyle e 13 e 14 displaystyle e 14 e 15 displaystyle e 15 e 8 displaystyle e 8 e 9 displaystyle e 9 e 10 displaystyle e 10 e 11 displaystyle e 11 e 4 displaystyle e 4 e 5 displaystyle e 5 e 6 displaystyle e 6 e 7 displaystyle e 7 e 0 displaystyle e 0 e 1 displaystyle e 1 e 2 displaystyle e 2 e 3 displaystyle e 3 e 13 displaystyle e 13 e 13 displaystyle e 13 e 12 displaystyle e 12 e 15 displaystyle e 15 e 14 displaystyle e 14 e 9 displaystyle e 9 e 8 displaystyle e 8 e 11 displaystyle e 11 e 10 displaystyle e 10 e 5 displaystyle e 5 e 4 displaystyle e 4 e 7 displaystyle e 7 e 6 displaystyle e 6 e 1 displaystyle e 1 e 0 displaystyle e 0 e 3 displaystyle e 3 e 2 displaystyle e 2 e 14 displaystyle e 14 e 14 displaystyle e 14 e 15 displaystyle e 15 e 12 displaystyle e 12 e 13 displaystyle e 13 e 10 displaystyle e 10 e 11 displaystyle e 11 e 8 displaystyle e 8 e 9 displaystyle e 9 e 6 displaystyle e 6 e 7 displaystyle e 7 e 4 displaystyle e 4 e 5 displaystyle e 5 e 2 displaystyle e 2 e 3 displaystyle e 3 e 0 displaystyle e 0 e 1 displaystyle e 1 e 15 displaystyle e 15 e 15 displaystyle e 15 e 14 displaystyle e 14 e 13 displaystyle e 13 e 12 displaystyle e 12 e 11 displaystyle e 11 e 10 displaystyle e 10 e 9 displaystyle e 9 e 8 displaystyle e 8 e 7 displaystyle e 7 e 6 displaystyle e 6 e 5 displaystyle e 5 e 4 displaystyle e 4 e 3 displaystyle e 3 e 2 displaystyle e 2 e 1 displaystyle e 1 e 0 displaystyle e 0 十六元數特性 编辑 從上表可得到 對所有的i displaystyle i 有e 0 e i e i e 0 e i displaystyle e 0 e i e i e 0 e i e i e i e 0 for i 0 displaystyle e i e i e 0 text for i neq 0 且e i e j e j e i for i j with i j 0 displaystyle e i e j e j e i text for i neq j text with i j neq 0 反結合 编辑 十六元數並非完全反結合 選擇任意四個生成元i j k displaystyle i j k 和l displaystyle l 對於乘積i j k l displaystyle ijkl 有五種添加括號的方法 假如反結合律總是成立 則五者之間應有以下關係 i j k l i j k l i j k l i j k l i j k l i j k l displaystyle ij kl ij k l i jk l i jk l i j kl ij kl 從而 i j k l 0 displaystyle ij kl 0 矛盾 所以 某兩者之間不滿足反結合律 特別地 代入e 1 e 2 e 4 displaystyle e 1 e 2 e 4 和e 8 displaystyle e 8 時 利用上列乘法表 可得最後兩式滿足結合律 e 1 e 2 e 12 e 1 e 2 e 12 e 15 displaystyle e 1 e 2 e 12 e 1 e 2 e 12 e 15 四元子代數 编辑 在下表列出了構成這個特定十六元數乘法表的35個三元組 用於使用凯莱 迪克森结构構造之十六元數的7個八元數三元組 以粗體表示 每個三元組中 三個數的二進制表示 按位異或的結果為0 1 2 3 1 4 5 1 7 6 1 8 9 1 11 10 1 13 12 1 14 15 2 4 6 2 5 7 2 8 10 2 9 11 2 14 12 2 15 13 3 4 7 3 6 5 3 8 11 3 10 9 3 13 14 3 15 12 4 8 12 4 9 13 4 10 14 4 11 15 5 8 13 5 10 15 5 12 9 5 14 11 6 8 14 6 11 13 6 12 10 6 15 9 7 8 15 7 9 14 7 12 11 7 13 10 84組由十六元數單位組成的零因子數組 e a e b e c e d displaystyle e a e b e c e d 列舉如下 其中 e a e b e c e d 0 displaystyle e a e b circ e c e d 0 1 a 6 c gt a 9 b 15 9 d 15 9 d 15 e 1 e 10 e 5 e 14 e 1 e 10 e 4 e 15 e 1 e 10 e 7 e 12 e 1 e 10 e 6 e 13 e 1 e 11 e 4 e 14 e 1 e 11 e 6 e 12 e 1 e 11 e 5 e 15 e 1 e 11 e 7 e 13 e 1 e 12 e 2 e 15 e 1 e 12 e 3 e 14 e 1 e 12 e 6 e 11 e 1 e 12 e 7 e 10 e 1 e 13 e 6 e 10 e 1 e 13 e 7 e 14 e 1 e 13 e 7 e 11 e 1 e 13 e 3 e 15 e 1 e 14 e 2 e 13 e 1 e 14 e 4 e 11 e 1 e 14 e 3 e 12 e 1 e 14 e 5 e 10 e 1 e 15 e 3 e 13 e 1 e 15 e 2 e 12 e 1 e 15 e 4 e 10 e 1 e 15 e 5 e 11 e 2 e 9 e 4 e 15 e 2 e 9 e 5 e 14 e 2 e 9 e 6 e 13 e 2 e 9 e 7 e 12 e 2 e 11 e 5 e 12 e 2 e 11 e 4 e 13 e 2 e 11 e 6 e 15 e 2 e 11 e 7 e 14 e 2 e 12 e 3 e 13 e 2 e 12 e 5 e 11 e 2 e 12 e 7 e 9 e 2 e 13 e 3 e 12 e 2 e 13 e 4 e 11 e 2 e 13 e 6 e 9 e 2 e 14 e 5 e 9 e 2 e 14 e 3 e 15 e 2 e 14 e 3 e 14 e 2 e 15 e 4 e 9 e 2 e 15 e 3 e 14 e 2 e 15 e 6 e 11 e 3 e 9 e 6 e 12 e 3 e 9 e 4 e 14 e 3 e 9 e 7 e 13 e 3 e 9 e 5 e 15 e 3 e 10 e 4 e 13 e 3 e 10 e 5 e 12 e 3 e 10 e 7 e 14 e 3 e 10 e 6 e 15 e 3 e 12 e 5 e 10 e 3 e 12 e 6 e 9 e 3 e 14 e 4 e 9 e 3 e 13 e 4 e 10 e 3 e 15 e 5 e 9 e 3 e 13 e 7 e 9 e 3 e 15 e 6 e 10 e 3 e 14 e 7 e 10 e 4 e 9 e 7 e 10 e 4 e 9 e 6 e 11 e 4 e 10 e 5 e 11 e 4 e 10 e 7 e 9 e 4 e 11 e 6 e 9 e 4 e 11 e 5 e 10 e 4 e 13 e 6 e 15 e 4 e 13 e 7 e 14 e 4 e 14 e 7 e 13 e 4 e 14 e 5 e 15 e 4 e 15 e 5 e 14, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,