Schafer, Richard D. An Introduction to Nonassociative Algebras. New York: Dover Publications. 1995. ISBN 0-486-68813-5.
十月 28, 2023
交错代数, 在抽象代数中, 是乘法不满足结合性, 仅满足交错性的代数, 也就是说, 我们有, displaystyle, displaystyle, 对于所有代数中的x和y, 每一个结合代数都显然是交错的, 但有些严格的非结合代数, 例如八元数, 也是交错的, 另一方面, 十六元数则不是交错的, 目录, 结合子, 性质, 应用, 参考文献结合子, 编辑之所以这样命名, 是因为它们正好是结合子交错的代数, 结合子是一个三线性映射, 由下式给出, displaystyle, nbsp, 根据定义, 一个多线性映射是交错. 在抽象代数中 交错代数是乘法不满足结合性 仅满足交错性的代数 也就是说 我们有 x x y x x y displaystyle x xy xx y y x x y x x displaystyle yx x y xx 对于所有代数中的x和y 每一个结合代数都显然是交错的 但有些严格的非结合代数 例如八元数 也是交错的 另一方面 十六元数则不是交错的 目录 1 结合子 2 性质 3 应用 4 参考文献结合子 编辑交错代数之所以这样命名 是因为它们正好是结合子交错的代数 结合子是一个三线性映射 由下式给出 x y z x y z x y z displaystyle x y z xy z x yz nbsp 根据定义 一个多线性映射是交错的 如果只要两个自变量相等 映射便为零 一个代数的左交错和右交错恒等式等价于 x x y 0 displaystyle x x y 0 nbsp y x x 0 displaystyle y x x 0 nbsp 两个恒等式在一起 便意味着结合子是完全斜对称的 也就是说 x s 1 x s 2 x s 3 sgn s x 1 x 2 x 3 displaystyle x sigma 1 x sigma 2 x sigma 3 operatorname sgn sigma x 1 x 2 x 3 nbsp 对于任何置换s 于是可以推出 x y x 0 displaystyle x y x 0 nbsp 对于所有的x和y 这等价于所谓的柔性恒等式 x y x x y x displaystyle xy x x yx nbsp 因此结合子是交错的 反过来 任何一个结合子交错的代数显然是交错代数 根据对称性 任何一个代数 只要满足以下三个恒等式中的两个 左交错恒等式 x x y x x y displaystyle x xy xx y nbsp 右交错恒等式 y x x y x x displaystyle yx x y xx nbsp 柔性恒等式 x y x x y x displaystyle xy x x yx nbsp 这个代数便是交错的 因此三个恒等式都满足 一个交错的结合子总是完全斜对称的 反过来也成立 只要基域的特征不是2 性质 编辑阿廷定理说明 在交错代数中 由任何两个元素生成的子代数是结合的 反过来 任何满足这个条件的代数显然是交错的 于是可以推出 在交错代数中 只含有两个变量的表达式可以不用括号写出 而又没有歧义 阿廷定理的一个推广说明 如果交错代数中的三个元素x y z displaystyle x y z nbsp 是结合的 也就是说 x y z 0 displaystyle x y z 0 nbsp 那么由这些元素所生成的子代数是结合的 阿廷定理的一个推论是 交错代数都是幂结合的 也就是说 由一个元素所生成的子代数是结合的 反过来不一定成立 十六元数是幂结合的 但不是交错的 穆方恒等式 a x a y a x a y displaystyle a x ay axa y nbsp x a y a x a y a displaystyle xa y a x aya nbsp a x y a a x y a displaystyle ax ya a xy a nbsp 在任何交错代数中都成立 在一个单式交错代数中 如果乘法逆存在 那么它一定是唯一的 更进一步 对于任何可逆的元素x displaystyle x nbsp 和所有的y displaystyle y nbsp 都有 y x 1 x y displaystyle y x 1 xy nbsp 这等于是说 对于所有这类的x displaystyle x nbsp 和y displaystyle y nbsp 结合子 x 1 x y displaystyle x 1 x y nbsp 都是零 如果x displaystyle x nbsp 和y displaystyle y nbsp 是可逆的 那么x y displaystyle xy nbsp 也是可逆的 其乘法逆为 x y 1 y 1 x 1 displaystyle xy 1 y 1 x 1 nbsp 因此 所有可逆的元素所组成的集合在乘法运算下封闭 并形成了一个穆方圈 在交错环或代数中 这个单位元素圈与结合环或代数中的单位元素群是类似的 应用 编辑任何交错的除环上的射影平面都是穆方平面 参考文献 编辑Schafer Richard D An Introduction to Nonassociative Algebras New York Dover Publications 1995 ISBN 0 486 68813 5 取自 https zh wikipedia org w index php title 交错代数 amp oldid 68100229, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,