三十二元數

在數學中，三十二元數（英語：Trigintaduonion）是指32個維度的代數系統^[2]。較常見的定義是透過將十六元數套用凱萊-迪克森構造生成的32維代數系統^[3]。這種代數系統不是可除代數，且不具備交換律和結合律。^[1]

三十二元數
符號	${\displaystyle \mathbb {T} }$^[1]
種類	非结合代數
單位	${\displaystyle e_{0}}$、 ${\displaystyle e_{1}}$、......、 ${\displaystyle e_{30}}$ 及${\displaystyle e_{31}}$
乘法單位元	${\displaystyle e_{0}}$
主要性質	冪結合性 含零因子
常見的數字系統
${\displaystyle \mathbb {N} }$ 自然數 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 整數 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 有理數 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 實數 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 複數 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 四元數 少見的數字系統 八元数 (${\displaystyle \mathbb {O} }$) 十六元數 (${\displaystyle \mathbb {S} }$) 三十二元數
查 论 编

性質

以凱萊-迪克森構造生成的三十二元數本身包含了十六元數、八元數、四元數、複數和實數，也就是說實數包含於複數、複數包含於四元數、四元數包含於八元數、八元數包含於十六元數、十六元數包含於三十二元數。

${\displaystyle \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {O} \subset \mathbb {S} \subset \mathbb {T} \subset \cdots }$ 

其中${\displaystyle \mathbb {T} }$ 為三十二元數。後面仍能持續推廣為六十四元數、一百二十八元數等。^[1]

乘法表

高維超複數的乘法表可以透過低維超複數的乘法表推廣以產生，因此三十二元數的乘法表有一部份與十六元數、八元數的乘法表相同，其餘部分能透過推廣的方式計算得出，甚至六十四元數、一百二十八元數的乘法表也皆是已知的。^[4]這些乘法表中的元素通常是單位，可稱為基元，基元的數量則決定了超複數的維度^[5]:89

三十二元數的乘法表十分龐大，可以參見文獻中的附表^[4][1]。具體執行三十二元數乘法的過程需要1024次實數乘法和992次實數加法。^[6]

高維代數結構

三十二元數之上還有六十四元數、一百二十八元數等，其維數皆是二的次方。^[4]

六十四元數

六十四元數共有1個實元素和63個虛元素單位。其乘法表的結構可以以這63個虛元素單位作為點，形成651個三元組。^[7]如同八元數的法诺平面（英语：Fano plane）7個虛元素單位構成7條線，六十四元數的651個三元組都可以看做一條線，每條線通過3個頂點，每個點連接31條線，並同構於PG(5,2)。^[8]:20

參見

查看维基词典中的词条「en:trigintaduonion」。

• 凯莱-迪克森结构
• 十六元數
• 超複數

參考文獻

1. Raoul E. Cawagas, et al. (2009)., , [2022-04-25], （原始内容存档于2022-04-24） 
2. Weng, Zihua. Compounding Fields and Their Quantum Equations in the Trigintaduonion Space. arXiv. 2007 [2022-05-28]. doi:10.48550/ARXIV.0704.0136. （原始内容于2022-01-31）. 
3. Kübra Gül. On k-Fibonacci and k-Lucas Trigintaduonions (PDF). International Journal of Contemporary Mathematical Sciences. 2018, 13 (1) [2022-05-28]. doi:10.12988/ijcms.2018.71134. （原始内容 (PDF)于2022-06-16）. 
4. 穆大禄. . 信陽師范學院學報（自然科學版）. 2017年4月, 第30卷 (第2期) [2022-04-26]. doi:10.3969/j.issn.1003-0972.2017.02.001. （原始内容存档于2022-04-27） （中文（简体））.  (PDF). [2022-04-27]. （原始内容 (PDF)存档于2022-04-27）. 
5. Liu Shaoxue. Modern algebra foundation. Beijing: Higher Education Press. 2000. 
6. Aleksandr Cariow & Galina Cariowa. An algorithm for multipication of trigintaduonions. Journal of Theoretical and Applied Computer Science. 2014, 8 (1) [2022-05-28]. （原始内容于2022-05-28）. 
7. Saniga, Metod and Holweck, Frédéric and Pracna, Petr. From Cayley-Dickson algebras to combinatorial Grassmannians (PDF). Mathematics (Multidisciplinary Digital Publishing Institute). 2015, 3 (4): 1192–1221 [2022-05-28]. doi:10.3390/math3041192. （原始内容 (PDF)于2022-06-16）. 
8. Saniga, Metod and Holweck, Frédéric and Pracna, Petr. (PDF). arXiv preprint arXiv:1405.6888. 2014 [2022-04-28]. doi:10.48550/arXiv.1405.6888. （原始内容 (PDF)存档于2022-04-28）.