代數整數

在數學裡，代數整數（algebraic integer）是複數中的一类。一个複数α是代数整数当且仅当它是某个個整系數的首一多項式${\displaystyle P(x)}$的根。其中首一（英文：monic）意謂最高冪次項的系數是1。

因此，所有代數整數都是代數數，但並非所有代數數都是代數整數。所有代数整数构成一个环，通常记作${\displaystyle \mathbb {A} }$。

如果${\displaystyle P(x)}$是整係數本原多項式（即系數的最大公因数是1的多项式），但非首一多項式，則${\displaystyle P}$的根都不是代數整數。

定义

以下是代数整数四种相互等价的定义。设K为代数数域（有理数域${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 的有限扩张）。根据本原元定理，K可以写成${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\theta )}$ 的形式。其中${\displaystyle \theta \in \mathbb {C} }$ 是某个代数数。设有${\displaystyle \alpha \in K}$ ，则α是代数整数当且仅当以下命题之一成立：

1. 存在整系数多项式：${\displaystyle P=X^{m}+a_{1}X^{m-1}+\cdots +a_{m-1}X+a_{m}\in \mathbb {Z} [X]}$ ，使得${\displaystyle P(\alpha )=0}$ 。
2. α在${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 上的极小首一多项式是整系数多项式。
3. ${\displaystyle \mathbb {Z} [\alpha ]}$ 是有限生成的${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -模。
4. 存在有限生成的${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -子模：${\displaystyle M\subset \mathbb {C} }$ ，使得${\displaystyle \alpha M\subseteq M}$ 。

例子

• 有理数域${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 中的代数整数就是整数。换句话说，${\displaystyle \mathbb {A} }$ 和${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 交集是整数环${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 。这可以用整系数多项式的一个简单性质证明。如果一个整系数多项式

${\displaystyle P(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{m}x^{m}}$ 

有一个根是有理数：${\displaystyle \scriptstyle r={\frac {p}{q}}}$ ，其中p、q是互素的整数，那么必然有：分母q 整除${\displaystyle a_{m}}$ ，以及分子p 整除${\displaystyle a_{0}}$ 。因此，由于代数整数是某个首一多项式的根，如果它是有理数，那么它的分母整除多项式的最高冪次項，也就是说整除1。所以这个有理数的分母是1，即是说它是整数。反过来，所有的整数n都是整系数首一多项式${\displaystyle \displaystyle x-n}$ 的根，所以是代数整数。

• 一个给定的代数数域${\displaystyle \mathbb {K} }$ 与${\displaystyle \mathbb {A} }$ 的交集称为这个数域的（代数）整数环，记作${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ 。这个整数环中的代数整数不再只是整数。比如说，给定一个数域：${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ ，那么对应的整数环中不仅有整数，还有${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ，因为${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 是首一多项式${\displaystyle \scriptstyle x^{2}-2}$ 的根。

• ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ 不是代数整数。这是因为${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ 在有理数域上的最小多项式是${\displaystyle \scriptstyle 2x^{2}-1}$ ，不是一个首一多项式。

• ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ 是一个代数整数。它是多项式${\displaystyle \scriptstyle x^{2}-x-1}$ 的根。一般来说，如果整数${\displaystyle \scriptstyle d}$ 除以4余1，那么${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1+{\sqrt {d}}}{2}}}$ 也是代数整数，因为它是多项式${\displaystyle \scriptstyle x^{2}-x-{\frac {d-1}{4}}}$ 的根。

• 给定素数p，p次单位根${\displaystyle \zeta _{p}}$ 也是一个代数整数，因为是首一多项式${\displaystyle \displaystyle x^{p}-1=0}$ 的根。实际上，p次分圆域${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})}$ 的整数环就是${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{p}]}$ 。

性质

• 兩個代數整數的和是一個代數整數，他們的差及積也是。這時它們滿足的首一多項式可以用結式表達；但他們的商就不一定是代數整數。
• 一個以代數整數為系數的首一多項式的根也是代數整數。換句話說，代數整數構成一個環，並且在任何代數擴張下是整閉的。
• 任何從整數出發，透過和、積與开方得到的數都是代數整數，但並非所有代數整數都可依此構造，例如，大多數的五次代數整數都無法透過這種方式構造。
• 代數整數是裴蜀整环。

參見

• 整性
• 高斯整數
• 艾森斯坦整數
• 單位根
• 狄利克雷單位理論
• 基本单位 (数论)

参考来源

• Daniel A. Marcus, Number Fields（数域）, third edition, Springer-Verlag, 1977