本原元定理

在数学中，本原元定理精确刻画了什么时候对于一个域扩张E/F，E可以表示为${\displaystyle F(\alpha )}$的形式，即E可以由单个元素生成。

定理

一个有限扩张E/F有本原元，即存在${\displaystyle \alpha }$ 使得${\displaystyle E=F(\alpha )}$ ，当且仅当E和F之间只有有限个中间域。

证明

如果${\displaystyle F}$ 是有限域，由于${\displaystyle E/F}$ 是有限扩张，推得${\displaystyle E}$ 也是有限域。但是由于有限域的乘法群是循环群，任取这个乘法群的一个生成元，${\displaystyle E}$ 可以由这个生成元生成。所以在${\displaystyle F}$ 是有限域的情况下，定理左右两边恒为真。

如果${\displaystyle F}$ 是无限域，但是只有有限个中间域。 先证明一个引理：假设${\displaystyle E=F(\alpha ,\beta )}$ 并且${\displaystyle E}$ 和${\displaystyle F}$ 之间只有有限个中间域，那么存在一个${\displaystyle \gamma \in E}$ 使得${\displaystyle E=F(\gamma )}$ 。引理的证明如下：当${\displaystyle c}$ 取遍${\displaystyle F}$ 的时候，对于每一个${\displaystyle c}$ 可以做一个中间域${\displaystyle F(\alpha +c\beta )}$ 。但是由假设，只有有限个中间域，因此必定存在${\displaystyle c_{1},c_{2}\in F,c_{1}\neq c_{2}}$ 使得${\displaystyle F(\alpha +c_{1}\beta )=F(\alpha +c_{2}\beta )}$ 。由于${\displaystyle \alpha +c_{1}\beta ,\alpha +c_{2}\beta }$ 都在这个域里，推得${\displaystyle (c_{1}-c_{2})\beta }$ 也在这个域里。由于${\displaystyle c_{1}\neq c_{2}}$ ，推得${\displaystyle \beta }$ 在这个域里，于是${\displaystyle \alpha }$ 也在这个域里，因此${\displaystyle E=F(\alpha ,\beta )\subseteq F(\alpha +c_{1}\beta )\subseteq F(\alpha ,\beta )}$ ，于是${\displaystyle E=F(\alpha +c_{1}\beta )}$ 。引理证毕。

由于有限扩张总是有限生成的，推得${\displaystyle E=F(\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n})}$ （对于${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}\in E}$ ）。利用归纳法以及引理可以得出，如果${\displaystyle E/F}$ 之间只有有限个中间域，那么${\displaystyle E}$ 可以由单个元素生成。

而如果${\displaystyle E=F(\alpha )}$ ，假设${\displaystyle f(x)=irr(\alpha ,F,x)}$ 是${\displaystyle \alpha }$ 在${\displaystyle F}$ 上的极小多项式，${\displaystyle K}$ 是任意一个中间域，${\displaystyle g_{K}(x)=irr(\alpha ,K,x)}$ 是${\displaystyle \alpha }$ 在${\displaystyle K}$ 上的极小多项式。显然${\displaystyle g_{K}(x)|f(x)}$ 。由于域上的多项式环是唯一分解环，${\displaystyle f(x)}$ 只有有限个因子。而对于每一个${\displaystyle g_{K}(x)|f(x)}$ ，如果${\displaystyle g_{K}(x)}$ 写作${\displaystyle g_{K}(x)=\sum _{k=0}^{n}c_{i}x^{i}}$ ，并令${\displaystyle K_{0}=F(c_{1},c_{2},...,c_{n})}$ 。显然${\displaystyle K_{0}}$ 是${\displaystyle K}$ 的一个子域，因此${\displaystyle g_{K}(x)}$ 在${\displaystyle K_{0}}$ 上依然是不可约的。而同时${\displaystyle E=F(\alpha )=K(\alpha )=K_{0}(\alpha )}$ ，因此可以得到${\displaystyle [E:K]=[E:K_{0}]=deg(g_{K})=n}$ 。这样立即推${\displaystyle K_{0}=K}$ ，于是任何一个中间域${\displaystyle K}$ 对应唯一的一个${\displaystyle f(x)}$ 的因子${\displaystyle g_{K}}$ 。于是中间域个数小于因子的个数。但因子个数是有限的，因此中间域个数有限。证毕。

推论

• 由于有限可分扩张只有有限个中间域，由本原元定理立刻推出这个扩张有单个生成元

参见

• 可分扩张
• 有限扩张
• 极小多项式

参考文献

• Serge Lang. Algebra. Springer-Verlag. 2002. ISBN 978-0-387-95385-4.