基本单位 (数论)

在代数数论，基本单位，是数域中代数整数环的生成元（即模单位根），可理解为单位群模其扭子群是个无限循环群。狄利克雷单位定理表明：rank=1的有实二次域，复三次域，完全四元数域。

随时代发展，当对rank ≥1*基本单位也被有些作者叫基本单位系，rank=1时的才基本单位，这只是基本单位系的一个系元.^[1]

实二次域

实二次域${\displaystyle K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$ （d无平方因子），如果Δ表示代数数域K的判别式，则基本单位是：

${\displaystyle \epsilon ={\frac {a+b{\sqrt {\Delta }}}{2}}}$ 

其中 (a, b) 是下面佩尔方程的最小正整数解^[2]

${\displaystyle x^{2}-\Delta y^{2}=\pm 4}$ 

上面的佩尔方程可通过${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}}$ 的连分数展开获得。这个不定方程现在得出一些结论：

• ${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}}$ 连分数展开是奇周期的。
• 有概率表明Δ如果能整除一个3mod4的同余的素数，那麽K有範为-1的单位概率较大。如d=34就为反例，1990年，Peter Stevenhagen 提出个概率模型，专找反例。特别的，当 Δ < X ，对如果能整除一个3mod4的同余的素数的D(X)，其共轭D⁻(X)有範为-1的单位概率为^[3]：

${\displaystyle \lim _{X\rightarrow \infty }{\frac {D^{-}(x)}{D(x)}}=1-\prod _{j\geq 1{\text{ odd}}}\left(1-2^{-j}\right).}$ 。

也就是这种特例下有42%反例，至2012年3月，最近对这个猜想的结果^[4] 为可有33％~59％的反例。

三次域

如果“K”是只有一个实嵌入的复三次域，且在嵌入中基本单位ε赋值满足|ε| > 1 ，判别式赋值|Δ| ≥ 33，^[5] 则：

${\displaystyle \epsilon ^{3}>{\frac {|\Delta |-27}{4}}.}$ 

例：${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$ 基本单位的${\displaystyle 1+{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt[{3}]{2^{2}}}}$  的三次方≈ 56.9, ，判别式= −108 则：

${\displaystyle {\frac {|\Delta |-27}{4}}=20.25.}$ 

脚注

1. Alaca & Williams 2004，§13.4
2. Neukirch 1999，Exercise I.7.1 harvnb error: no target: CITEREFNeukirch1999 (help)
3. Stevenhagen 1993，Conjecture 1.4
4. Fouvry & Klüners 2010
5. Alaca & Williams 2004，Theorem 13.6.1

参考文献

• Alaca, Şaban; Williams, Kenneth S., Introductory algebraic number theory, Cambridge University Press, 2004, ISBN 978-0-521-54011-7 
• Duncan Buell. Binary quadratic forms: classical theory and modern computations. Springer-Verlag. 1989: 92–93. ISBN 0-387-97037-1. 
• Fouvry, Étienne; Klüners, Jürgen, On the negative Pell equation, Annals of Mathematics, 2010, 2 (3): 2035–2104, MR 2726105 
• Stevenhagen, Peter, The number of real quadratic fields having units of negative norm, Experimental Mathematics, 1993, 2 (2): 121–136, MR 1259426