佩尔方程, 此條目没有列出任何参考或来源, 2020年9月10日, 維基百科所有的內容都應該可供查證, 请协助補充可靠来源以改善这篇条目, 无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除, 若一個丢番图方程具有以下的形式, 佩爾方程的動畫, displaystyle, 且n, displaystyle, 为正整数, 则称此二元二次不定方程为, 英文, pell, equation, 德文, pellsche, gleichung, 以英國數學家約翰, 佩爾, 英语, john, pell, mathematician, . 此條目没有列出任何参考或来源 2020年9月10日 維基百科所有的內容都應該可供查證 请协助補充可靠来源以改善这篇条目 无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除 若一個丢番图方程具有以下的形式 佩爾方程的動畫 x 2 n y 2 1 displaystyle x 2 ny 2 1 且n displaystyle n 为正整数 则称此二元二次不定方程为佩尔方程 英文 Pell s equation 德文 Pellsche Gleichung 以英國數學家約翰 佩爾 英语 John Pell mathematician 命名 若n displaystyle n 是完全平方数 则这个方程式只有平凡解 1 0 displaystyle pm 1 0 实际上对任意的n displaystyle n 1 0 displaystyle pm 1 0 都是解 对于其余情况 拉格朗日证明了佩尔方程总有非平凡解 而這些解可由n displaystyle sqrt n 的連分數求出 目录 1 佩爾方程的解 2 例子 2 1 标准型 2 2 非标准型 3 与代数数论的联系 4 与切比雪夫多项式的联系 5 佩尔方程的最小解佩爾方程的解 编辑设p i q i displaystyle tfrac p i q i nbsp 是n displaystyle sqrt n nbsp 的连分数表示 a 0 a 1 a 2 a 3 displaystyle a 0 a 1 a 2 a 3 ldots nbsp 的渐近分数列 由连分数理论知存在i displaystyle i nbsp 使得 pi qi 为佩尔方程的解 取其中最小的i displaystyle i nbsp 将对应的 pi qi 称为佩尔方程的基本解 或最小解 记作 x1 y1 则所有的解 xi yi 可表示成如下神蹟 x i y i n x 1 y 1 n i displaystyle x i y i sqrt n x 1 y 1 sqrt n i nbsp 或者由以下的遞迴關係式得到 x i 1 x 1 x i n y 1 y i displaystyle displaystyle x i 1 x 1 x i ny 1 y i nbsp y i 1 x 1 y i y 1 x i displaystyle displaystyle y i 1 x 1 y i y 1 x i nbsp 例子 编辑标准型 编辑 x 2 7 y 2 1 displaystyle displaystyle x 2 7y 2 1 nbsp 首先根据根号7的渐进连分数表示 找出前几项 察看 分子 分母 是否是一组解 第一项 h k 2 1 displaystyle tfrac h k tfrac 2 1 nbsp h 2 7 k 2 3 displaystyle h 2 7k 2 3 nbsp 不是解 第二项 h k 3 1 displaystyle tfrac h k tfrac 3 1 nbsp h 2 7 k 2 2 displaystyle h 2 7k 2 2 nbsp 不是解 第三项 h k 5 2 displaystyle tfrac h k tfrac 5 2 nbsp h 2 7 k 2 3 displaystyle h 2 7k 2 3 nbsp 不是解 第四项 h k 8 3 displaystyle tfrac h k tfrac 8 3 nbsp h 2 7 k 2 1 displaystyle h 2 7k 2 1 nbsp 是解 于是最小解是 8 3 计算x 1 y 1 n displaystyle x 1 y 1 sqrt n nbsp 的各次乘方 或者用递推公式 不能直接得出某一项 就可以得到接下来的各组解x n 8 3 7 n 8 3 7 n 2 y n 8 3 7 n 8 3 7 n 2 7 displaystyle x n frac 8 3 sqrt 7 n 8 3 sqrt 7 n 2 y n frac 8 3 sqrt 7 n 8 3 sqrt 7 n 2 sqrt 7 nbsp x y 8 3 127 48 2024 765 32257 12192 514088 194307 8193151 3096720 130576328 49353213 非标准型 编辑 对于方程x 2 n y 2 k displaystyle x 2 ny 2 k nbsp 利用婆罗摩笈多 斐波那契恒等式找出方程解 x 1 2 N y 1 2 x 2 2 N y 2 2 x 1 x 2 N y 1 y 2 2 N x 1 y 2 x 2 y 1 2 x 1 x 2 N y 1 y 2 2 N x 1 y 2 x 2 y 1 2 displaystyle x 1 2 Ny 1 2 x 2 2 Ny 2 2 x 1 x 2 Ny 1 y 2 2 N x 1 y 2 x 2 y 1 2 x 1 x 2 Ny 1 y 2 2 N x 1 y 2 x 2 y 1 2 nbsp 例如x 2 7 y 2 2 displaystyle x 2 7y 2 2 nbsp 有解 3 1 r 2 7 s 2 1 displaystyle r 2 7s 2 1 nbsp 时 有2 3 r 7 s 2 7 3 s r 2 3 r 7 s 2 7 3 s r 2 displaystyle 2 3r 7s 2 7 3s r 2 3r 7s 2 7 3s r 2 nbsp r s 8 3 127 48 2024 765 32257 12192 514088 194307 8193151 3096720 130576328 49353213 x y 3 1 45 17 717 271 11427 4319 182115 68833 2902413 1097009 46256493 17483311 对于方程a x 2 b y 2 c displaystyle ax 2 by 2 c nbsp 两边乘上a 求出 a x 2 a b y 2 a c displaystyle ax 2 aby 2 ac nbsp 的解 例如5 x 2 2 y 2 3 displaystyle 5x 2 2y 2 3 nbsp 有解 1 1 设z 5 x displaystyle z 5x nbsp 5 x 2 10 y 2 z 2 10 y 2 15 displaystyle 5x 2 10y 2 z 2 10y 2 15 nbsp r 2 10 s 2 1 displaystyle r 2 10s 2 1 nbsp 时 有15 5 r 10 s 2 10 5 s r 2 5 r 10 s 2 10 5 s r 2 displaystyle 15 5r 10s 2 10 5s r 2 5r 10s 2 10 5s r 2 nbsp r s 19 6 721 228 27379 8658 1039681 328776 39480499 12484830 z y 5 1 35 11 155 49 1325 419 5885 1861 50315 15911 223475 70669 x y 1 1 7 11 31 49 265 419 1177 1861 10063 15911 44695 70669 与代数数论的联系 编辑佩尔方程与代数数理论有紧密联系 因为公式x 2 n y 2 x y n x y n displaystyle x 2 ny 2 x y sqrt n x y sqrt n nbsp 给出了环Z n displaystyle mathbb Z sqrt n nbsp 即二次域Z n displaystyle mathbb Z sqrt n nbsp 上的范数 因此 x y 是佩尔方程的解当且仅x y n displaystyle x y sqrt n nbsp 的范数是一 即是域上的一个单元 根据狄利克雷单位定理 Z n displaystyle mathbb Z sqrt n nbsp 的所有单元都可以表示为同一个基本单元的乘方形式 这就是说一个佩尔方程的所有的解都是一个基本解的乘方 单元总可以通过解一个类似佩尔方程而得到 但这时的基本解并不一定就是基本单元 与切比雪夫多项式的联系 编辑佩尔方程和切比雪夫多项式有内在的联系 若Ti x 和Ui x 分别是第一类和第二类切比雪夫多项式的相应项 那么它们是佩尔形式方程T i 2 x 2 1 U i 1 2 1 displaystyle T i 2 x 2 1 U i 1 2 1 nbsp 的解 于是第一类和第二类切比雪夫多项式可以通过展开基本解的乘方得到 T i U i 1 x 2 1 x x 2 1 i displaystyle T i U i 1 sqrt x 2 1 x sqrt x 2 1 i nbsp 进一步有 如果 xi yi 是佩尔方程的第i个解 那么 xi Ti x1 yi y1Ui 1 x1 佩尔方程的最小解 编辑n x y n x y n x y n x y1 33 23 4 65 129 16 97 62809633 63773522 3 2 34 35 6 66 65 8 98 99 103 2 1 35 6 1 67 48842 5967 99 10 14 36 68 33 4 100 5 9 4 37 73 12 69 7775 936 101 201 206 5 2 38 37 6 70 251 30 102 101 107 8 3 39 25 4 71 3480 413 103 227528 224198 3 1 40 19 3 72 17 2 104 51 59 41 2049 320 73 2281249 267000 105 41 410 19 6 42 13 2 74 3699 430 106 32080051 311589011 10 3 43 3482 531 75 26 3 107 962 9312 7 2 44 199 30 76 57799 6630 108 1351 13013 649 180 45 161 24 77 351 40 109 158070671986249 1514042445510014 15 4 46 24335 3588 78 53 6 110 21 215 4 1 47 48 7 79 80 9 111 295 2816 48 7 1 80 9 1 112 127 1217 33 8 49 81 113 1204353 11329618 17 4 50 99 14 82 163 18 114 1025 9619 170 39 51 50 7 83 82 9 115 1126 10520 9 2 52 649 90 84 55 6 116 9801 91021 55 12 53 66249 9100 85 285769 30996 117 649 6022 197 42 54 485 66 86 10405 1122 118 306917 2825423 24 5 55 89 12 87 28 3 119 120 1124 5 1 56 15 2 88 197 21 120 11 125 57 151 20 89 500001 53000 121 26 51 10 58 19603 2574 90 19 2 122 243 2227 26 5 59 530 69 91 1574 165 123 122 1128 127 24 60 31 4 92 1151 120 124 4620799 41496029 9801 1820 61 1766319049 226153980 93 12151 1260 125 930249 8320430 11 2 62 63 8 94 2143295 221064 126 449 4031 1520 273 63 8 1 95 39 4 127 4730624 41977532 17 3 64 96 49 5 128 577 51 取自 https zh wikipedia org w index php title 佩尔方程 amp oldid 78808397, 维基百科，wiki，书籍，书籍，图书馆，
