巴拿赫-阿勞格魯定理

泛函分析和鄰近數學分支中，巴拿赫-阿勞格魯定理或阿勞格魯定理（英語：Banach–Alaoglu theorem或Alaoglu's theorem）斷言，任意賦範向量空間的連續對偶空間中，閉單位球在弱*拓撲中為緊。^[1]常見證明將弱*拓撲中的單位球看成一系列緊集之積的閉子集。根據吉洪诺夫定理，該些緊集的積拓撲空間仍為緊，故該球亦然。

定理在量子力學方面有應用。系統的可觀測量是某個C*代數中的自伴算子，而量子態則是該代數上的線性泛函。此框架下，定理可以推出，每個量子態皆是純態的凸線性組合。

歷史

納里奇（Narici）與貝肯斯坦（Beckenstein）書中，稱阿勞格魯定理為「非常重要的結果——也許是關於弱*拓撲唯一（the）最重要的事——迴響傳遍泛函分析。」^[2]1912年，赫利（Helly）證明，閉區間上連續函數的空間${\displaystyle C([a,b])}$ ，其連續對偶空間的單位球，為弱*可數緊（英语：countably compact）。^[3]1932年，斯特凡·巴拿赫證明，任何可分賦範向量空間的連續對偶中，閉單位球必為弱*序列緊（他僅考慮了序列紧）。^[3] 一般情況的證明，是由列奧尼達·阿勞格魯（英语：Leonidas Alaoglu）於1940年發表。納里奇與貝肯斯坦書中，引述Pietsch [2007]指，至少有12個數學家可以主張自己證明此定理或某個重要前身。^[2]

布爾巴基-阿勞格魯定理（英語：Bourbaki–Alaoglu theorem）是尼古拉·布尔巴基將原定理推廣^[4][5]到局部凸空間（英语：locally convex space）的對偶拓撲（英语：dual topology）的結果。此定理亦稱為巴拿赫-阿勞格魯定理或弱*緊定理（英語：weak-* compactness theorem），也常簡稱為阿勞格魯定理（英語：Alaoglu theorem）。^[2]

敍述

一般敍述

参见：拓撲向量空間 § 對偶空間、對偶系（英语：Dual system）和極集（英语：Polar set）

對於域$\mathbb {K}$ 上的向量空間$X$ ，以${\displaystyle X^{\#}}$ 表示其代數對偶（所有線性泛函組成的空間）。兩者由雙線性求值映射${\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle :X\times X^{\#}\to \mathbb {K} }$ 所聯繫，該映射由

${\displaystyle \left\langle x,f\right\rangle :=f(x)}$ 

定義。所以，三元組${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }$ （兩個空間及一個映射）組成對偶系（英语：dual system），稱為典範對偶系。

若$X$ 進一步具有拓撲，即為拓撲向量空間（TVS），則可分辨其上的函數連續與否，並定義其連續對偶${\displaystyle X^{\prime }}$ 為代數對偶${\displaystyle X^{\#}}$ 中，連續泛函組成的子集。以${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$ 表示${\displaystyle X^{\#}}$ 上的弱*拓撲。類似有${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ 是${\displaystyle X^{\prime }}$ 上的弱*拓撲。

弱*拓撲又稱逐點收斂拓撲，因為給定映射$f$ 和一網映射${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}}$ ，網${\displaystyle f_{\bullet }}$ 在弱*拓撲中收斂至$f$ ，當且僅當對定義域中每點$x$ ，函數值組成的網${\displaystyle \left(f_{i}(x)\right)_{i\in I}}$ 收斂到$f(x)$ 。

阿勞格魯定理^[3]

設$X$ 為任意拓撲向量空間（無需豪斯多夫或局部凸（英语：locally convex）），${\displaystyle X^{\prime }}$ 為其連續對偶，則對於$X$ 中原點的任何鄰域$U$ （${\displaystyle 0\in U\subseteq X}$ ），其極集（英语：Polar set）

${\displaystyle U^{\circ }=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup _{x\in U}\left|x^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}\subseteq X',}$ 

在${\displaystyle X^{\prime }}$ 上的弱*拓撲（英语：weak topology）^{[註 1]}${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ 中，必為緊集。

此外，${\displaystyle U^{\circ }}$ 亦是$U$ 相對於典範對偶系${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }$ 的極集，在拓撲空間${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$ 同樣為緊。

賦範特例

若$X$ 為賦範向量空間，則原點鄰域的極集，在對偶空間中為閉，且其範數有上界。特別地，若$U$ 為$X$ 的開（或閉）單位球，則$U$ 的極集為連續對偶空間${\displaystyle X^{\prime }}$ 的閉單位球（對偶空間配備平常的對偶範數）。此時，定理化為以下特例：

巴拿赫-阿勞格魯定理

若$X$ 為賦範空間，則連續對偶空間${\displaystyle X^{\prime }}$ 中，算子範數的閉單位球，為弱*拓撲中的緊集。

當$X$ 的連續對偶${\displaystyle X^{\prime }}$ 是無窮維賦範空間時，${\displaystyle X^{\prime }}$ 中的閉單位球，不可能是平常範數拓撲的緊集。原因是，範數拓撲的閉單位球為緊，當且僅當空間為有限維（見F·里斯定理（英语：F. Riesz theorem））。此定理顯示出，在同一個向量空間上，考慮不同的拓撲，到㡳有何用。

但注意，巴拿赫-阿勞格魯定理並不推出弱*拓撲為局部緊，因為僅知閉單位球在強拓撲（英语：strong topology）中為原點的鄰域，在弱*拓撲中則不一定。弱*拓撲中，單位球的內部可能為空，除非空間為有限維。實際上，韋伊證明，局部緊的豪斯多夫拓撲向量空間必為有限維。

證明

對偶理論證明

記$X$ 的基域為$\mathbb {K}$ ，此處為實數域$\mathbb {R}$ 或複數域${\displaystyle \mathbb {C} }$ 。證明會用到極集（英语：polar set）、對偶系（英语：dual system）、连续线性算子的基本性質，可參見該些條目，以下亦會簡單提及。

先列舉一些常見定義和性質。當代數對偶${\displaystyle X^{\#}}$ 配備弱*拓撲${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$ 時，為一個豪斯多夫局部凸（英语：Locally convex topological vector space）拓撲向量空間，記為${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$ 。空間${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$ 總是完備（英语：Complete topological vector space），但連續對偶${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}$ 則不一定，此即證明需牽涉${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$ 的原因。具體而言，本證明用到的性質是：完備豪斯多夫空間的子集為緊，當且僅當其為閉，且完全有界（英语：Totally bounded space）。注意${\displaystyle X^{\prime }}$ 從${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$ 繼承的子空間拓撲，等於弱*拓撲${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ 。為驗證此事，只需檢查對每個${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}$ ，${\displaystyle X^{\prime }}$ 中的網在其中一個拓撲中收斂到${\displaystyle x^{\prime }}$ ，當且僅當在另一個拓撲中亦然（因為兩個拓撲結構相等，當且僅當其具有的收斂網完全一樣）。

三元組${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$ 也是對偶對（英语：dual system）（有雙線性映射${\displaystyle (x,f)\mapsto f(x)}$ ），但與${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }$ 不同，前者一般而言未必是對偶系。以下定義極集時，會註明是對於何種對偶而言。

設$U$ 為$X$ 原點的鄰域，又設：

• ${\displaystyle U^{\circ }=\left\{f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}}$ 為$U$ 相對${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$ 的極集；
• ${\displaystyle U^{\circ \circ }=\left\{x\in X~:~\sup _{f\in U^{\circ }}|f(x)|\leq 1\right\}}$ 為$U$ 相對${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$ 的二重極集（英语：Polar set）；
• ${\displaystyle U^{\#}=\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}}$ 為$U$ 相對${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }$ 的極集。

極集的基本性質有${\displaystyle U^{\circ \circ \circ }\subseteq U^{\circ }}$ 。

下證巴拿赫-阿勞格魯定理，分若干步：

1. 先證${\displaystyle U^{\#}}$ 在拓撲${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$ 中為${\displaystyle X^{\#}}$ 的閉子集：設${\displaystyle f\in X^{\#}}$ ，又假設${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}}$ 為${\displaystyle U^{\#}}$ 中的網，在${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$ 中收斂到$f$ 。欲證${\displaystyle f\in U^{\#}}$ ，即${\displaystyle |f(u)|\leq 1}$ 對任意$u\in U$ 皆成立。因為在純量域$\mathbb {K}$ 中，${\displaystyle f_{i}(u)\to f(u)}$ ，而每個值${\displaystyle f_{i}(u)}$ 皆屬於（$\mathbb {K}$ 的）閉子集${\displaystyle \left\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\right\}}$ ，故網的極限${\displaystyle f(u)}$ 亦必在該子集中。於是${\displaystyle |f(u)|\leq 1}$ 。
2. 其次，欲證${\displaystyle U^{\#}=U^{\circ }}$ ，以推出${\displaystyle U^{\circ }}$ 既是${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$ 的閉子集，亦是${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}$ 的閉子集：有包含關係${\displaystyle U^{\circ }\subseteq U^{\#}}$ ，因為連續線性泛函尤其是線性泛函。反之，欲證${\displaystyle \,U^{\#}\subseteq U^{\circ }}$ ，設${\displaystyle f\in U^{\#}}$ 滿足${\displaystyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1}$ ，換言之線性泛函$f$ 在鄰域$U$ 上有界，而泛函有界等價於連續，故${\displaystyle f\in X^{\prime }}$ ，從而${\displaystyle f\in U^{\circ }}$ ，即所求證。用第1步，結合交集${\displaystyle U^{\#}\cap X^{\prime }=U^{\circ }\cap X^{\prime }=U^{\circ }}$ 在${\displaystyle X^{\prime }}$ 的子空間拓撲中為閉，推得${\displaystyle U^{\circ }}$ 為閉。
3. 欲證${\displaystyle U^{\circ }}$ 對${\displaystyle X^{\prime }}$ 的${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ 拓撲而言是完全有界（英语：Totally bounded space）子集：由二重極集定理（英语：bipolar theorem），${\displaystyle U\subseteq U^{\circ \circ }}$ ，又因為鄰域$U$ 為$X$ 中的吸收集，${\displaystyle U^{\circ \circ }}$ 亦同。可以證明，此結論推出${\displaystyle U^{\circ }}$ 是${\displaystyle X^{\prime }}$ 對${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ 而言的有界子集（英语：Bounded set (topological vector space)）。由於$X$ 分辨（英语：dual system）${\displaystyle X^{\prime }}$ 各點，${\displaystyle X^{\prime }}$ 的子集在${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ 意義下有界，當且僅當在同樣意義下完全有界（英语：Totally bounded space）。所以，尤其有${\displaystyle U^{\circ }}$ 在${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ 意義下完全有界。
4. 欲證${\displaystyle U^{\circ }}$ 亦為${\displaystyle X^{\#}}$ 在${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$ 拓撲下的完全有界子集：已知${\displaystyle X^{\prime }}$ 上，${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ 拓撲等於${\displaystyle X^{\prime }}$ 從${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$ 繼承的子空間拓撲，結合第3步與「完全有界」的定義，即推出${\displaystyle U^{\circ }}$ 為${\displaystyle X^{\#}}$ 在${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$ 拓撲下的完全有界子集。
5. 最後，欲證${\displaystyle U^{\circ }}$ 為${\displaystyle X^{\prime }}$ 在${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ 拓撲下的緊子集：因為${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$ 為完備拓撲向量空間（英语：Complete topological vector space），又${\displaystyle U^{\circ }}$ 為其閉（第2步）而完全有界（第4步）的子集，所以${\displaystyle U^{\circ }}$ 為緊。定理證畢。

較初等的證明

以下證明，僅用到集合論、點集拓撲、泛函分析的基本概念。拓撲方面，需要熟悉使用拓扑空间中的網、積拓撲、兩者與逐點收斂的關聯（為方便起見，證明中也會給出部分細節）。同時也要瞭解，線性泛函為連續，當且僅當其在原點的某個鄰域上有界（見次線性泛函（英语：sublinear functional））。

設向量空間$X$ 的基域為$\mathbb {K}$ ，為實數系$\mathbb {R}$ 或複數系${\displaystyle \mathbb {C} }$ 兩者之一。對任意實數$r$ ，以

${\displaystyle B_{r}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq r\}}$ 

表示以原點為球心，半徑為$r$ 的閉球。在${\displaystyle \mathbb {K} }$ 中，此為緊的闭集。

極集的等價表示

由於$U$ 是$X$ 中原點的鄰域，可知$U$ 亦是$X$ 的吸收集，即對每個$x\in X$ ，皆有正實數${\displaystyle r_{x}>0}$ 使${\displaystyle x\in r_{x}U:=\left\{r_{x}u:u\in U\right\}}$ 。以

${\displaystyle U^{\#}:=\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}~=~\left\{f\in X^{\#}~:~f(U)\subseteq B_{1}\right\}}$ 

表示$U$ 相對典範對偶系${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }$ 的極集。將證明，此極集${\displaystyle U^{\#}}$ ，與定理提到，$U$ 相對${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$ 的極集${\displaystyle U^{\circ }}$ ，兩者相等。

${\displaystyle U^{\circ }\subseteq U^{\#}}$ 成立，是因為連續線性泛函按定義必是線性泛函。反之，欲證${\displaystyle U^{\#}\subseteq U^{\circ }}$ ，設${\displaystyle f\in U^{\#}}$ 滿足${\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1}$ ，即線性泛函$f$ 在鄰域$U$ 上有界。所以$f$ 是连续线性算子（換言之${\displaystyle f\in X^{\prime }}$ ），從而有${\displaystyle f\in U^{\circ }}$ ，即所求證。

至此，已證明${\displaystyle U^{\circ }=U^{\#}}$ ^{[註 2]}，餘下的證明中，需理解笛卡儿积${\textstyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} }$ 與所有${\displaystyle X\to \mathbb {K} }$ 的映射構成的空間${\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}$ 等同。仍需證明以下兩個命題：

1. ${\displaystyle U^{\circ }}$ 為${\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}$ 的閉子集。
   • 此處${\displaystyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} }$ 配備的是逐點收斂拓撲，等同於積拓撲。
2. ${\displaystyle U^{\circ }\subseteq \prod _{x\in X}B_{r_{x}}.}$ 
   • 其中${\displaystyle B_{r_{x}}\subseteq \mathbb {K} }$ 表示以原點${\displaystyle 0}$ 為球心，${\displaystyle r_{x}}$ 為半徑的閉球。本證明開始時，對每個$x\in X$ ， 已定義${\displaystyle r_{x}}$ 為使${\displaystyle x\in r_{x}U}$ 的任意一個實數${\displaystyle r_{x}>0}$ 。特別地，對於$u\in U$ ，可以選${\displaystyle r_{u}:=1}$ 。

以上命題推出，${\displaystyle U^{\circ }}$ 為${\textstyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}}$ 的閉子集，而由吉洪诺夫定理，該积空间為緊^{[註 3]}（因為每個閉球${\displaystyle B_{r_{x}}}$ 皆為緊）。因為緊空間的閉子集仍為緊，所以有${\displaystyle U^{\circ }}$ 為緊集，從而證畢巴拿赫-阿勞格魯定理的主要結論。

極集為閉

以下證明前述命題1。代數對偶${\displaystyle X^{\#}}$ 總是積空間${\textstyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} }$  的閉子集^{[註 4]}。要證明${\displaystyle U^{\circ }}$ 在${\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}$ 中為閉，祇需證明集合

${\displaystyle {\widetilde {U}}^{\circ }~:=~\left\{f\in \mathbb {K} ^{X}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}}$ 

是${\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}$ 的閉子集，因為若有此結論，則${\displaystyle {\widetilde {U}}^{\circ }\cap X^{\#}=U^{\#}=U^{\circ }}$ 是${\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}$ 中兩閉集之交，故亦為閉集。

設${\displaystyle f\in \mathbb {K} ^{X}}$ ，又設${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}}$ 為${\displaystyle {\widetilde {U}}^{\circ }}$ 中的網，在${\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}$ 中收斂到$f$ 。需要證明${\displaystyle f\in {\widetilde {U}}^{\circ }}$ 。換言之，要證對每個$u\in U$ ，${\displaystyle |f(u)|\leq 1}$ （或等價寫成${\displaystyle f(u)\in B_{1}}$ ）。由於在純量域$\mathbb {K}$ 中，${\displaystyle \left(f_{i}(u)\right)_{i\in I}\to f(u)}$ ，且每項${\displaystyle f_{i}(u)}$ 皆屬於$\mathbb {K}$ 中的閉子集${\displaystyle B_{1}=\left\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\right\}}$ ，此網的極限${\displaystyle f(u)}$ 亦必屬於該閉集，即${\displaystyle f(u)\in B_{1}}$ 。證畢命題1。

上述證明可以推廣，以論證以下命題：

設$U\subseteq X$ 為任意集合，${\displaystyle B\subseteq Y}$ 為拓撲空間$Y$ 的閉子集，則在${\displaystyle Y^{X}}$ 的逐點收斂拓撲中，${\displaystyle P_{U}:=\left\{f\in Y^{X}~:~f(U)\subseteq B\right\}}$ 為閉子集。

命題1為其特殊情況，取${\displaystyle Y:=\mathbb {K} }$ 和${\displaystyle B:=B_{1}}$ 便得。

極集包含於緊空間之積

以下證明前述命題2。對任意${\displaystyle z\in X}$ ，以${\textstyle \Pr {}_{z}:\prod _{x\in X}\mathbb {K} \to \mathbb {K} }$ 表示到第$z$ 個坐標的投影（英语：Projection (set theory)）。欲證${\textstyle U^{\circ }\subseteq \prod _{x\in X}B_{r_{x}}}$ 。換言之，欲對每個$x\in X$ ，證明${\displaystyle \Pr {}_{x}(U^{\circ })\subseteq B_{r_{x}}}$ 。

於是選定$x\in X$ ，設${\displaystyle f\in U^{\circ }}$ ；要證${\displaystyle \Pr {}_{x}(f):=f(x)\in B_{r_{x}}}$ 。由${\displaystyle r_{x}}$ 的定義，${\displaystyle x\in r_{x}U}$ ，故${\textstyle \,u_{x}:=\left({\frac {1}{r_{x}}}\right)x\in U}$ 。因為${\displaystyle f\in U^{\circ }=U^{\#}}$ ，線性泛函$f$ 滿足${\textstyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1}$ ，所以由${\displaystyle u_{x}\in U}$ ，可知

${\displaystyle {\frac {1}{r_{x}}}|f(x)|=\left|{\frac {1}{r_{x}}}f(x)\right|=\left|f\left({\frac {1}{r_{x}}}x\right)\right|=\left|f\left(u_{x}\right)\right|\leq \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1.}$ 

所以${\displaystyle |f(x)|\leq r_{x}}$ ，即${\displaystyle f(x)\in B_{r_{x}}}$ ，證畢命題2。

序列版本

巴拿赫-阿勞格魯定理有個特殊情況，對可分空间使用，並將「緊」換成「序列緊」。此時定理斷言：

可分賦範向量空間的對偶中，閉單位球在弱*拓撲下是序列紧。

可度量

實際上，可分空間的對偶的閉單位球上，弱*拓撲可度量，故緊與序列緊等價。

明確而言，設$X$ 為可分賦範向量空間，而$B$ 為連續對偶${\displaystyle X^{\prime }}$ 中的閉單位球。根據$X$ 可分的定義，有某個可數稠密子集，列舉為${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ 。則下式定義一個度量：對於${\displaystyle x,y\in B}$ ，

${\displaystyle \rho (x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }\,2^{-n}\,{\frac {\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|}{1+\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|,}}}$ 

其中$\langle \cdot ,\cdot \rangle$ 表示${\displaystyle X^{\prime }}$ 與$X$ 的對偶匹配，即將後一個元素代入到前一個元素求值。此度量下，$B$ 為序列緊之事，用類似阿尔泽拉-阿斯科利定理的對角線證法，即可證明。

由於證明本質為構造性（而非如一般情況，用到非構造性的選擇公理），在偏微分方程學中，有時使用序列巴拿赫-阿勞格魯定理，構造偏微分方程或變分問題的解。舉例，若有某個可分賦範空間$X$ ，其對偶上有泛函${\displaystyle F:X^{\prime }\to \mathbb {R} }$ ，欲求最小值，則常見策略是先構造序列${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots \in X^{\prime }}$ ，使$F$ 的泛函值趨向下確界，然後訴諸序列巴拿赫-阿勞格魯定理，取出子序列${\displaystyle (x_{n_{k}})_{k}}$ ，在弱*拓撲下收斂到極限$x$ ，並確定$x$ 使$F$ 取最小值。最後一步通常要求$F$ 在弱*拓撲下為（序列）下半連續。

考慮另一個例子，設${\displaystyle X=C_{0}(\mathbb {R} )}$ 為實軸上，在無窮遠處消失的連續函數組成的空間，則由里斯-馬可夫表示定理，${\displaystyle X^{\prime }}$ 為實軸上全體有限拉東測度的空間。此時序列巴拿赫-阿勞格魯定理等價於赫利選擇定理（英语：Helly selection theorem）。

證明

下證序列版本的巴拿赫-阿勞格魯定理。

對每個$x\in X$ ，設

${\displaystyle D_{x}=\{z\in \mathbb {C} :|z|\leq \|x\|\},}$ 

以及

${\displaystyle D=\prod _{x\in X}D_{x}.}$ 

因為$D_{x}$ 是複平面的緊子集，$D$ 在積拓撲中亦為緊（根據吉洪诺夫定理）。

${\displaystyle X^{\prime }}$ 中的閉單位球${\displaystyle B_{1}\left(X^{\prime }\right)}$ ，可以自然地看成$D$ 的子空間：考慮映射

${\displaystyle f\in B_{1}\left(X^{\prime }\right)\mapsto (f(x))_{x\in X}\in D,}$ 

其為單射，且對於${\displaystyle B_{1}\left(X^{\prime }\right)}$ 的弱*拓撲和$D$ 的積拓撲而言，是連續映射。在像集上，映射的逆也連續。

欲完成定理的證明，只需證明映射的像為閉集。給定網$D$ 中的網

${\displaystyle \left(f_{\alpha }(x)\right)_{x\in X}\to \left(\lambda _{x}\right)_{x\in X},}$ 

等式${\displaystyle g(x)=\lambda _{x}}$ 定義的泛函$g$ ，也在${\displaystyle B_{1}(X^{\prime })}$ 中。定理證畢。

推論

賦範空間

假設$X$ 為賦範空間，則其連續對偶空間${\displaystyle X^{\prime }}$ 具有对偶范数。

• ${\displaystyle X^{\prime }}$ 中的閉單位球為弱*緊^[3]。相比之下，若${\displaystyle X^{\prime }}$ 為無窮維，則其閉單位球在範數拓撲中必不為緊（F·里斯定理（英语：F. Riesz theorem））。
• 某巴拿赫空间自反，當且僅當其閉單位球在弱拓撲${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$ 下為緊。^[3]
• 若$X$ 為自反巴拿赫空間，則$X$ 中每個有界序列，都有弱收斂子列。（此為對$X$ 某個弱可度量子空間應用巴拿赫-阿勞格魯定理的結果。更簡潔而言，是應用埃伯萊恩-什穆良定理（英语：Eberlein–Šmulian theorem）。）舉例，設$X$ 為L^p空間${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ ，其中${\displaystyle 1<p<\infty }$ 。設${\displaystyle (f_{n})_{n}}$ 為$X$ 中函數組成的有界序列。則存在子列${\displaystyle (f_{n_{k}})_{k}}$ ，且有${\displaystyle f\in X}$ 使得
  $${\displaystyle \int f_{n_{k}}g\,\mathrm {d} \mu \to \int fg\,\mathrm {d} \mu }$$

   
  對於${\displaystyle X^{\prime }=L^{q}(\mu )}$ 中的任意函數$g$ 成立，其中${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$ 。對於${\displaystyle p=1}$ ，沒有相應的結論，因為${\displaystyle L^{1}(\mu )}$ 不自反。

希爾伯特空間

• 任意希爾伯特空間中，閉有界集必然弱相對緊（英语：Relatively compact subspace），即其在弱拓撲的閉包為弱緊，故每個有界網必有弱收斂子網（希爾伯特空間皆自反）。
• 由哈恩－巴拿赫定理，範數拓撲中的閉凸集，在弱拓撲中也是閉集，故希爾伯特空間或自反巴拿赫空間中，凸有界集的範數閉包必為弱緊。
• 設$H$ 為希爾伯特空間，${\displaystyle B(H)}$ 為其上有界算子的空間，則${\displaystyle B(H)}$ 可以配備以下兩種不同的拓撲：一則超弱拓撲（英语：ultraweak topology），即${\displaystyle B(H)}$ 作為跡類算子空間${\displaystyle B_{1}(H)}$ 的對偶所具備的弱*拓撲；二則弱算子拓撲（英语：weak operator topology），是使形如${\displaystyle T\mapsto \langle Tx,y\rangle }$ 的映射皆連續的最弱的拓撲，此拓撲比超弱拓撲更弱。此定義下，${\displaystyle B(H)}$ 中的閉有界子集，關於弱算子拓撲為相對緊。所以，算子的有界序列必有某個弱極限點。其推論是，${\displaystyle B(H)}$ 配備弱算子拓撲或超弱拓撲時，滿足海涅-博雷尔性質。

與選擇公理的關係

通常，會用到吉洪诺夫定理來證明巴拿赫-阿勞格魯定理，所以要依賴於ZFC公理系統，尤其是选择公理。主流泛函分析中，許多結果皆依賴選擇公理。然而，本定理在可分空間的情況（見§ 序列版本）並不依賴選擇公理，該情況下有構造性證明。對於不可分的情況，超濾子引理（英语：ultrafilter Lemma）比選擇公理嚴格弱，但亦足以證明巴拿赫-阿勞格魯定理。反之，巴拿赫-阿勞格魯定理也推出超濾子引理，所以兩者等價。

參見

• 畢曉普-菲爾普斯定理（英语：Bishop–Phelps theorem）
• 巴拿赫-馬祖爾定理（英语：Banach–Mazur theorem）
• Δ收斂（英语：Delta-convergence）
• 埃伯萊恩-什穆良定理（英语：Eberlein–Šmulian theorem）
• 古德斯汀定理（英语：Goldstine theorem）
• 詹姆斯定理（英语：James' theorem）
• 克列因-米爾曼定理（英语：Krein-Milman theorem）
• 馬祖爾引理（英语：Mazur's lemma）
• 拓撲向量空間——有「連續」概念的向量空間

註

1. 更明確地說，子集${\displaystyle B^{\prime }\subseteq X^{\prime }}$ 稱為「弱*拓撲中的緊集」，意思是若${\displaystyle X^{\prime }}$ 配備弱*拓撲，而子集${\displaystyle B^{\prime }}$ 從空間${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}$ 繼承子空間拓撲，則${\displaystyle B^{\prime }}$ 為紧空间。將「緊集」換成其他性質（如「完全有界（英语：totally bounded）」）亦同。
2. 若$\tau$ 表示$X$ 原有的拓撲，則等式${\displaystyle U^{\circ }=U^{\#}}$ 說明，$U$ 的極集${\displaystyle U^{\circ }=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup _{x\in U}\left|x^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}}$ ，僅取決於$U$ 和${\displaystyle X^{\#}}$ ，其餘拓撲結構$\tau$ 可忽略不理。更明確說，假設$\sigma$ 是$X$ 上另一個向量空間拓撲，使得${\displaystyle (X,\sigma )}$ 為拓撲向量空間，且集合$U$ 在${\displaystyle (X,\sigma )}$ 仍為原點的鄰域。記${\displaystyle (X,\sigma )}$ 的連續對偶為${\displaystyle (X,\sigma )^{\prime }}$ ，並記$U$ 相對${\displaystyle (X,\sigma )}$ 的極集為

   ${\displaystyle U^{\circ ,\sigma }:=\left\{x^{\prime }\in (X,\sigma )^{\prime }~:~\sup _{x\in U}\left|x^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}.}$ 

   （此定義下，${\displaystyle U^{\circ ,\tau }}$ 祇是舊的${\displaystyle U^{\circ }}$ 。）則${\displaystyle U^{\circ ,\tau }=U^{\circ ,\sigma }}$ ，因為兩者分別等於${\displaystyle U^{\#}}$ 。換言之，極集${\displaystyle U^{\circ ,\sigma }}$ 的定義條件中，「${\displaystyle U^{\circ ,\sigma }}$ 是連續對偶空間${\displaystyle (X,\sigma )^{\prime }}$ 子集」一項可以無視，因為對所得的線性泛函集合毫無影響。然而，若$\nu$ 是$X$ 上另一個向量空間拓撲 is a TVS topology on $X$ ，令$U$ 不是${\displaystyle (X,\nu )}$ 原點的鄰域，則$U$ 相對${\displaystyle (X,\nu )}$ 的極集${\displaystyle U^{\circ ,\nu }}$ ，不保證等於${\displaystyle U^{\#}}$ ，所以不能如此無視拓撲$\nu$ 。
3. 由於每個${\displaystyle B_{r_{x}}}$ 也是豪斯多夫空间，只用到吉洪諾夫定理的緊豪斯多夫情況，便足以說明${\displaystyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}}$ 為緊。該特殊情況等價於超濾子引理（英语：ultrafilter lemma），而比选择公理嚴格弱。
4. 「線性泛函」的要求，可以寫成許多條等式如${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$ 之合取。每個要求皆是閉條件，即其對應的子集為閉集。而閉集的任意交仍為閉，所以線性泛函組成的集合為閉集。

參考資料

1. Rudin 1991 harvnb error: no target: CITEREFRudin1991 (help), Theorem 3.15.
2. Narici & Beckenstein 2011，第235-240頁.
3. Narici & Beckenstein 2011，第225-273頁.
4. Köthe 1969, Theorem (4) in §20.9.
5. Meise & Vogt 1997, Theorem 23.5.

• Köthe, Gottfried. Topological Vector Spaces I [拓撲向量空間一]. New York: Springer-Verlag. 1969 （英语）. 見§20.9。
• Meise, Reinhold; Vogt, Dietmar. Introduction to Functional Analysis [泛函分析導論]. Oxford: Clarendon Press. 1997. ISBN 0-19-851485-9 （英语）.  見Theorem 23.5，p. 264。
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward. Topological Vector Spaces [拓撲向量空間]. Pure and applied mathematics Second. Boca Raton, FL: CRC Press. 2011. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 （英语）. 
• Rudin, Walter. Functional Analysis [泛函分析]. International Series in Pure and Applied Mathematics 8 Second. New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. 1991. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 （英语）.  見Theorem 3.15，p. 68。
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. Topological Vector Spaces [拓撲向量空間]. GTM 8 Second. New York, NY: Springer New York Imprint Springer. 1999. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 （英语）. 
• Schechter, Eric. Handbook of Analysis and its Foundations [分析及其基礎手冊]. San Diego: Academic Press. 1997. doi:10.1016/B978-0-12-622760-4.X5000-6 （英语）. 
• Trèves, François. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels [拓撲向量空間、分佈、核]. Mineola, N.Y.: Dover Publications. 2006 [1967]. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 （英语）.