C*-代数

C^*-代数（或读作“C星代数”）是数学分支中泛函分析的重要研究对象。C^*-代数的典型例子是满足以下两个性质的複希尔伯特空间的线性算子的代数A：

• A是算子范拓扑中的拓扑闭集。
• A是算子伴随运算下的闭集。

一般认为C^*-代数主要是应用在量子力学中可观察量的模型代数中。这方面的研究始于1933年左右维尔纳·海森堡创立的矩阵力学以及帕斯库尔·约当研究的更接近数学的形式。之后冯·诺依曼在他的一系列关于算子环的论文中尝试建立更广泛的架构。这些论文可看做是一类特殊的C^*-代数，现在称为冯·诺依曼代数（英语：Von Neumann algebra）。

1943年前后，伊斯拉埃爾·蓋爾范德和 Mark Naimark（英语：Mark Naimark） 对C^*-代数建立了不依赖于算子的抽象刻画。

在当代数学研究中，C^*-代数是局部紧群的酉表示理论中的重要工具，同时在量子力学的代数架构中也有应用。另一个活跃的研究领域是对可分单核C^*-代数（英语：Nuclear C*-algebra）的分类以及确定分类的详细可能性。

抽象刻画

此处给出 Gel'fand 和 Naimark 在1943年给出的定义。

C^*-代数A是复数域上的巴拿赫代数（英语：Banach algebra）以及映射* : A → A（称为对合映射）的组合。A中元素x关于对合映射* 的像写作x^*。对合映射拥有下列性质

• 对A中任意的两个元素x、y：

${\displaystyle (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}$ 

${\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$ 

• 对C中任意复数${\displaystyle \lambda }$ 以及A中任一元素x：

${\displaystyle (\lambda x)^{*}={\overline {\lambda }}x^{*}}$ 

• 对A中任一元素x：

${\displaystyle (x^{*})^{*}=x}$ 

• C^*–恒等映射对A中任一元素x成立：

${\displaystyle \|x^{*}x\|=\|x\|\|x^{*}\|}$ 

C^*–恒等映射性质等价于

${\displaystyle \|xx^{*}\|=\|x\|\|x^{*}\|}$ 

这个关系等价于${\displaystyle \|xx^{*}\|=\|x\|^{2}}$ ，有时亦称为B^*–恒等映射

C^*–恒等映射是一个很强的约束条件。举例来说，C^*–恒等映射和谱半径公式可以推出C^*–范数由以下代数结构唯一确定：

${\displaystyle \|x\|^{2}=\|x^{*}x\|=\sup\{|\lambda |:x^{*}x-\lambda \,1}$ 不可逆${\displaystyle \}}$ 

给定的从C^*-代数A到B的有界线性算子 ${\displaystyle \pi :A\to B}$ 被称为*-同态，如果

• 对A中任意的两个元素x、y，

${\displaystyle \pi (xy)=\pi (x)\pi (y)}$ 

• 对A中任一元素x，

${\displaystyle \pi (x^{*})=\pi (x)^{*}}$ 

参考来源

• Arveson, W., An Invitation to C*-Algebra, Springer-Verlag, 1976, ISBN 0-387-90176-0 . An excellent introduction to the subject, accessible for those with a knowledge of basic functional analysis.
• Connes, Alain, Non-commutative geometry (PDF), [2012-01-16], ISBN 0-12-185860-X, （原始内容 (PDF)于2011-09-27） . This book is widely regarded as a source of new research material, providing much supporting intuition, but it is difficult.
• Dixmier, Jacques, Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, 1969, ISBN 0-7204-0762-1 . This is a somewhat dated reference, but is still considered as a high-quality technical exposition. It is available in English from North Holland press.
• Doran, Robert S.; Belfi, Victor A., Characterizations of C*-algebras: The Gelfand-Naimark Theorems, CRC Press, 1986, ISBN 9780824775698 .
• Emch, G., Algebraic Methods in Statistical Mechanics and Quantum Field Theory, Wiley-Interscience, 1972, ISBN 0-471-23900-3 . Mathematically rigorous reference which provides extensive physics background.
• A.I. Shtern, C* algebra, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Sakai, S., C*-algebras and W*-algebras, Springer, 1971, ISBN 3-540-63633-1 .
• Segal, Irving, Irreducible representations of operator algebras, Bulletin of the American Mathematical Society, 1947, 53 (2): 73–88, doi:10.1090/S0002-9904-1947-08742-5 .