弱*拓撲

弱*拓撲是賦範向量空間的對偶空間上的一種拓撲。弱*拓撲的的重要性，在於它使得單位球是緊集（巴拿赫-阿勞格魯定理）；相反地在線性算子範數誘發的拓撲中，單位球未必緊緻。（結果成立當且僅當賦範向量空間為有限維。）

定義

在域${\displaystyle \mathbb {K} }$ （${\displaystyle \mathbb {K} }$ 是${\displaystyle \mathbb {R} }$ 或${\displaystyle \mathbb {C} }$ ）上的賦範空間${\displaystyle E}$ 中，每一個元素${\displaystyle x}$ ，都可以定義對偶空間${\displaystyle E^{*}}$ 上的一個線性算子${\displaystyle {\hat {x}}(f):=f(x)}$ 。弱*拓撲是在${\displaystyle E^{*}}$ 上最弱的拓撲，使得所有這樣的${\displaystyle {\hat {x}}:E^{*}\to \mathbb {K} }$ 都是連續的。

弱*拓撲可以更具體的定義，在${\displaystyle E^{*}}$ 上給出它的鄰域基：對任何${\displaystyle f\in E^{*}}$ ，集合

${\displaystyle U_{f}(x_{1},\ldots ,x_{n},\epsilon ):=\{g\in E^{*};|f(x_{j})-g(x_{j})|<\epsilon ,j=1,\ldots ,n\}}$ 

其中${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in E,n\in {\mathbb {N} }}$ ，${\displaystyle \epsilon >0}$ ，是${\displaystyle f}$ 的弱*開的鄰域基。

收斂

弱*拓撲的收斂條件很簡單：序列${\displaystyle (f_{n})_{n\in {\mathbb {N} }}}$ 在弱*拓撲中收斂，如果對任何${\displaystyle x\in E}$ 都有${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)}$ ，即${\displaystyle f_{n}}$ 逐點收斂到${\displaystyle f}$ 。弱*收斂記作${\displaystyle f_{n}{\overset {*}{\rightharpoonup }}f}$ 。

弱*收斂性比依範數收斂性弱。如果${\displaystyle \|f-f_{n}\|\to 0}$ ，其中${\displaystyle \|\cdot \|}$ 是${\displaystyle E^{*}}$ 的範數，則${\displaystyle f_{n}}$ 必然逐點收斂於${\displaystyle f}$ ，因而有${\displaystyle f_{n}{\overset {*}{\rightharpoonup }}f}$ ；但是，${\displaystyle f_{n}{\overset {*}{\rightharpoonup }}f}$ 不一定有${\displaystyle \|f-f_{n}\|\to 0}$ ，甚至可能${\displaystyle \|f_{n}\|\nrightarrow \|f\|}$ 。

半範數

對偶空間${\displaystyle E^{*}}$ 加上弱*拓撲是一個局部凸空間，因此可以由給予${\displaystyle E^{*}}$ 一個半範數的系統定義弱*拓撲。對${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in E,n\in {\mathbb {N} }}$ ，

${\displaystyle p_{x_{1},\ldots x_{n}}(f):=\max\{|f(x_{1})|,\ldots ,|f(x_{n})|\}}$ ,

構成這樣一個半範數的系統。

參考

K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, Lecture Notes in Mathematiks 56, 1968