扭稜四角反角柱

扭稜四角反角柱（英文：Snub square antiprism）是詹森多面體的其中一個，其所引為J₈₅^[1]。它無法由柏拉圖立體（正多面體）和阿基米得立體（半正多面體）經過切割、增補而得來。扭稜四角反角柱是詹森多面體中的基本立體之一。詹森多面體是凸多面體，面皆由正多邊形組成但不屬於均勻多面體，共有92種。這些立體最早在1966年由諾曼·詹森（英语：Norman Johnson (mathematician)）（Norman Johnson）命名並給予描述^[2]。

扭稜四角反角柱

類別	詹森多面體 J84 - J85 - J86
識別
名稱	扭稜四角反角柱
參考索引	J85
鮑爾斯縮寫 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	snisquap
數學表示法
施萊夫利符號	ss{2,8}
性質
面	26
邊	40
頂點	16
歐拉特徵數	F=26, E=40, V=16 （χ=2）
組成與佈局
面的種類	8+16個三角形 2個正方形
頂點圖	8個(3^5) 8個(3^4.4)
對稱性
對稱群	D4v群
特性
凸多面體
圖像
（展開圖）
查 论 编

性質

扭稜四角反角柱共由26個面、40條邊和16頂點所組成^[3][4][5]。在其26個面中，有24個三角形和2個正方形^[3]。在其16個頂點中，有8個頂點是5個三角形的公共頂點^[5]，在頂點圖中可以用[3⁵]來表示^[6]、另外8個頂點是4個三角形和1個正方形的公共頂點^[5]，在頂點圖中可以用[3⁴,4]來表示^[6]。

構造

形如其名地，扭稜四角反角柱可以透過將四角反角柱套用扭稜變換來構造。在施萊夫利符號中可以表示為ss{2,8}，其中s{2,8}是四角反角柱^[7]，其中的扭稜是考克斯特扭稜；而在康威扭稜中，扭稜四角反角柱可以透過將四角錐套用康威扭稜來構造，在康威多面體表示法中可以表示為sY4^[8]。

體積與表面積

若一個扭稜四角反角柱邊長為${\displaystyle a}$ ，則其表面積${\displaystyle A}$ 為：^[9]

${\displaystyle A=\left(2+6{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 12.39230a^{2},}$ ^[10]

而其體積${\displaystyle V}$ 為：

${\displaystyle V=\xi a^{3},}$ 

其中${\displaystyle \xi \approx 3.60122}$ 是下列多項式的最大實根：

${\displaystyle 531441x^{12}-85726026x^{8}-48347280x^{6}[phone]x^{4}+4759488x^{2}-892448.}$ ^[11]

頂點座標

令${\displaystyle k}$ 為下列三次式的正實根，約為${\displaystyle k\approx 0.82354}$ ：

${\displaystyle 9x^{3}+3{\sqrt {3}}\left(5-{\sqrt {2}}\right)x^{2}-3\left(5-2{\sqrt {2}}\right)x-17{\sqrt {3}}+7{\sqrt {6}}.}$ 

和h約為${\displaystyle h\approx 1.35374}$ ：

${\displaystyle h={\frac {{\sqrt {2}}+8+2{\sqrt {3}}k-3\left(2+{\sqrt {2}}\right)k^{2}}{4{\sqrt {3-3k^{2}}}}}.}$ 

則邊長為2的扭稜四角反角柱的頂點座標由下列頂點的軌道的並集在繞z軸旋轉90°和繞垂直於z軸並與x軸夾角22.5°的直線旋轉180°所產生的空間對稱群之群作用下給出：^[12]

${\displaystyle (1,1,h),\,\left(1+{\sqrt {3}}k,0,h-{\sqrt {3-3k^{2}}}\right)}$ 

扭稜反角柱

類似的造方式之多面體還有扭稜三角反角柱（施萊夫利符號：ss{2,6}）為經過扭稜變換的三角反角柱（可以視為一個對稱性較低的正八面體），其結果為偽二十面體（可以視為一個對稱性較低的正二十面體）。另一個為扭稜五角反角柱（施萊夫利符號：ss{2,10}）甚至是更高邊數的扭稜反角柱，但其結果不會是由正三角形構成的凸多面體。邊數更少的扭稜二角反角柱（施萊夫利符號：ss{2,4}）對應另一個詹森多面體——扭稜鍥形體，但必須在二角反角柱中保留兩個退化的對角面（以紅色繪製）。這些都可以視為一系列扭稜反角柱無窮序列的一項。^[7]

扭稜反角柱

對稱性	D2d, [2^+,4], (2*2)	D3d, [2^+,6], (2*3)	D4d, [2^+,8], (2*4)	D5d, [2^+,10], (2*5)
反角柱	s{2,4} A2       （頂點：4、 邊：8、 面：6）	s{2,6} A3 （页面存档备份，存于互联网档案馆）       （頂點：6、 邊：12、 面：8）	s{2,8} A4 （页面存档备份，存于互联网档案馆）       （頂點：8、 邊：16、 面：10）	s{2,10} A5 （页面存档备份，存于互联网档案馆）       （頂點：10、 邊：20、 面：12）
截角反角柱	ts{2,4} tA2 （頂點：16、邊：24、面：10）	ts{2,6} tA3 （页面存档备份，存于互联网档案馆） （頂點：24、 邊：36、 面：14）	ts{2,8}（英语：truncated square antiprism） tA4 （页面存档备份，存于互联网档案馆） （頂點：32、 邊：48、 面：18）	ts{2,10} tA5 （页面存档备份，存于互联网档案馆） （頂點：40、 邊：60、 面：22）
對稱性	D2, [2,2]^+, (222)	D3, [3,2]^+, (322)	D4, [4,2]^+, (422)	D5, [5,2]^+, (522)
扭稜反角柱	J84	二十面體	J85	凹
		sY3 （页面存档备份，存于互联网档案馆） = HtA3	sY4 （页面存档备份，存于互联网档案馆） = HtA4	sY5 （页面存档备份，存于互联网档案馆） = HtA5
	ss{2,4} （頂點：8、 邊：20、 面：14）	ss{2,6} （頂點：12、 邊：30、 面：20）	ss{2,8} （頂點：16、 邊：40、 面：26）	ss{2,10} （頂點：20、 邊：50、 面：32）

參見

• 詹森多面體
• 多面體
• 柏拉圖立體
• 半正多面體

參考文獻

1. Weisstein, Eric W. (编). Snub Square Antiprism. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
2. Johnson, Norman W., Convex polyhedra with regular faces, Canadian Journal of Mathematics（英语：Canadian Journal of Mathematics）, 1966, 18: 169–200, MR 0185507, Zbl 0132.14603, doi:10.4153/cjm-1966-021-8 
3. David I. McCooey. Johnson Solids: Snub square antiprism. [2022-09-07]. （原始内容于2022-09-09）. 
4. The snub square antiprism. qfbox.info. [2022-09-09]. （原始内容于2022-09-09）. 
5. Snub square antiprism. polyhedra.tessera.li. [2022-09-09]. （原始内容于2022-09-09）. 
6. Richard Klitzing. snub square antiprism, snisquap. bendwavy.org. [2022-09-09]. （原始内容于2022-01-25）. 
7. Jim McNeill. Snub Anti-Prisms. orchidpalms.com. [2019-09-28]. （原始内容于2019-03-27）. 
8. PolyHédronisme. [2022-09-09]. （原始内容于2022-03-10）. 
9. Wolfram, Stephen. "Snub square antiprism". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）. 
10. Wolfram Research, Inc., Wolfram|Alpha Knowledgebase, Champaign, IL, 2020, PolyhedronData[{"Johnson", 85}, "SurfaceArea"] 
11. Wolfram Research, Inc., Wolfram|Alpha Knowledgebase, Champaign, IL, 2020, MinimalPolynomial[PolyhedronData[{"Johnson", 85}, "Volume"], x] 
12. Timofeenko, A. V. The non-Platonic and non-Archimedean noncomposite polyhedra. Journal of Mathematical Science. 2009, 162 (5): 725. S2CID 120114341. doi:10.1007/s10958-009-9655-0. 

外部連結

• 埃里克·韦斯坦因. Johnson Solid. MathWorld. 
• 埃里克·韦斯坦因. Snub square antiprism. MathWorld.