群作用

数学上，对称群描述物体的所有对称性。这是通过群作用的概念来形式化的：群的每个元素作为一个双射（或者对称作用）作用在某个集合上。在这个情况下，群称为置换群（特别是在群有限或者不是线性空间时）或者变换群（特别是当这个集合是线性空间而群作为线性变换作用在集合上时）。一个群G的置换表示是群作为一个集合的置换群的群表示（通常该集合有限），并且可以表述为置换矩阵，一般在有限的情形作此考虑－这和作用在有序的线性空间基上是一样的。

給定一個等邊三角形，通過把所有頂點映射到另一個頂點，繞三角形中心逆時針 120°旋轉“作用”在這個三角形的頂點的集合上。

定义

若${\displaystyle \mathrm {G} }$ 为一个群而${\displaystyle \mathrm {X} }$ 为一个集合，则${\displaystyle \mathrm {G} }$ 在${\displaystyle \mathrm {X} }$ 上的一个(左) 群作用是一个二元函数

${\displaystyle \mathrm {G} \times \mathrm {X} \rightarrow \mathrm {X} }$ 

(其中${\displaystyle g\in \mathrm {G} }$ 和${\displaystyle x\in \mathrm {X} }$ 的像写作${\displaystyle g\cdot x}$ )，满足如下两条公理：

1. ${\displaystyle (gh)\cdot x=g\cdot (h\cdot x)}$  对于所有 ${\displaystyle g,h\in \mathrm {G} }$  和 ${\displaystyle x\in \mathrm {X} }$ 成立
2. ${\displaystyle e\cdot x=x}$ 对于每个${\displaystyle x\in \mathrm {X} }$ 成立 (${\displaystyle e}$ 代表${\displaystyle \mathrm {G} }$ 的么元)

从这两条公理，可以得出对于每个${\displaystyle g\in \mathrm {G} }$ ，映射${\displaystyle x\in \mathrm {X} }$ 到${\displaystyle g\cdot x}$ 的函数是一个双射(單射以${\displaystyle g^{-1}}$ 應付，滿射以${\displaystyle e}$ 應付），从${\displaystyle \mathrm {X} }$ 映射到${\displaystyle \mathrm {X} }$ 。因此，也可以将${\displaystyle \mathrm {G} }$ 在${\displaystyle \mathrm {X} }$ 上的群作用定义为从${\displaystyle \mathrm {G} }$ 到对称群${\displaystyle S_{X}}$ 的群同态。

若群作用${\displaystyle \mathrm {G} \times \mathrm {X} \rightarrow \mathrm {X} }$ 给定，我们称“G作用于集合X”或者X是一个G-集合。

完全一样地，可以定义一个G在X上的右群作用为函数${\displaystyle \mathrm {X} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {X} }$ ，满足以下公理：

1. ${\displaystyle x\cdot (gh)=(x\cdot g)\cdot h}$ 
2. ${\displaystyle x\cdot e=x}$ 

注意左和右作用的区别仅在于象gh这样的积在x上作用的次序。对于左作用h先作用然后是g，而对于右作用g先作用然后是h。从一个右作用可以构造一个左作用，只要和群上的逆操作复合就可以了。如果r为一右作用，则

${\displaystyle l:G\times M\to M:(g,m)\mapsto r(m,g^{-1})}$ 

是一左作用，因为

${\displaystyle l(gh,m)=r(m,(gh)^{-1})=r(m,h^{-1}g^{-1})=r(r(m,h^{-1}),g^{-1})=r(l(h,m),g^{-1})=l(g,l(h,m))\,}$ 

而

${\displaystyle l(e,m)=r(m,e^{-1})=r(m,e)=m\,}$ 

所以在这里，我们只考虑左群作用，因为右作用可以相应推理。

群作用的种类

群G作用在集合X上的作用稱為:^[1]

遞移性(Transitive)

如果X是一個非空集合，對於每對數對 x,y ${\displaystyle \in }$  X，則存在一個g${\displaystyle \in }$ G，使得${\displaystyle g\cdot x=y}$ ，我們就稱此作用為遞移性。

忠實性(Faithful)

如果群G嵌入(embbeding)到X的置換群中，我們就稱此作用為忠實的。換言之，就是則群G到X的置換群之中為單射。

自由性(Free)

如果給定 ${\displaystyle g,h\in G}$ ，存在${\displaystyle x\in X}$ ，則有著${\displaystyle g{\cdot }x=h{\cdot }x{\;\;}{\Rightarrow }\;\;\;g=h}$ ，則稱為此作用為自由性。

正則的(Regular)

同時具有自由性以及遞移性的作用稱為正則的，又稱簡單遞移（英語：simply transitive）。

n-遞移性(n-transitive)

如果集合X 至少有 n 個元素, 對所有不同的元素x₁, ..., x_n 和所有不同的y₁, ..., y_n, 存在一個 g 在群G 使得 g⋅x_k = y_k 對所有 1 ≤ k ≤ n ，我們就稱其為n-遞移性。

本原的(Primitive)

如果遞移性作用滿足只有trivial區塊(block)，那我們稱此作用為本原的。可以證明n-遞移性皆為本原的。

軌道與穩定化子

軌道

若${\displaystyle x}$ 是${\displaystyle \mathrm {X} }$ 的一個元素，且群${\displaystyle \mathrm {G} }$ 在${\displaystyle \mathrm {X} }$ 上有著一個作用，那麼${\displaystyle x}$ 的軌道${\displaystyle \mathrm {G} _{x}}$ 就是指以下列方式定義的${\displaystyle \mathrm {X} }$ 的子集：

${\displaystyle \mathrm {G} _{x}=\{g\cdot x|g\in \mathrm {G} \}}$ 

${\displaystyle \mathrm {X} }$ 的兩個軌道，要不彼此相等，要不然其交集就是空集合。這是因為假如兩個軌道${\displaystyle \mathrm {G} _{x}}$ 和${\displaystyle \mathrm {G} _{y}}$ 有一個共通元素${\displaystyle a}$ ，那麼就可以找到兩個${\displaystyle \mathrm {G} }$ 中的元素${\displaystyle m}$ 和${\displaystyle n}$ ，使得${\displaystyle a=m\cdot x\in \mathrm {G} _{x}}$ 、${\displaystyle a=n\cdot y\in \mathrm {G} _{y}}$ ，同時有${\displaystyle x=m^{-1}\cdot a=m^{-1}n\cdot y\in \mathrm {G} _{y}}$ ，反之亦可推出${\displaystyle y=n^{-1}\cdot a=n^{-1}m\cdot x\in \mathrm {G} _{x}}$ ，而這使得這兩個集合所有的元素都相等。

一個軌道的例子是陪集，假若${\displaystyle \mathrm {H} }$ 是${\displaystyle \mathrm {G} }$ 的一個子集，且定義${\displaystyle \mathrm {G} }$ 中元素的慣常運算規則為${\displaystyle \mathrm {H} }$ 在${\displaystyle \mathrm {G} }$ 上的一個作用，那麼${\displaystyle \mathrm {H} }$ 的陪集${\displaystyle \mathrm {aH} }$ (${\displaystyle a\in \mathrm {G} }$ )就是${\displaystyle a}$ 的軌道。

不變子集

若S是X的一個子集，群G作用在X上( X 被稱作G-set)，對於群G中的所有元素 g，以及所有S中的元素 x，有著 ${\displaystyle g\cdot x\in S}$ ，

則我們會說 S在G的作用下是封閉的，或是說，S在G作用下是不變的

不動點與穩定子群

若${\displaystyle x}$ 是${\displaystyle \mathrm {X} }$ 的一個元素，對於群${\displaystyle \mathrm {G} }$ 中的所有元素${\displaystyle g}$ 而言，都有${\displaystyle g\cdot x=x}$ ，那麼就稱${\displaystyle x}$ 是${\displaystyle \mathrm {G} }$ -不變的（${\displaystyle \mathrm {G} }$ -invariant）。

另外若${\displaystyle x}$ 是${\displaystyle \mathrm {X} }$ 的一個元素，則所有使得${\displaystyle g\cdot x=x}$ 的${\displaystyle \mathrm {G} }$ 中的元素${\displaystyle g}$ 構成的集合又稱${\displaystyle \mathrm {G} }$ 對於${\displaystyle x}$ 的穩定子群（stabilizer subgroup of ${\displaystyle \mathrm {G} }$  with respect to ${\displaystyle x}$ ），一般常常將之記作${\displaystyle \mathrm {Gx} }$ (注意：不要將之與上面軌道的符號混淆)。

${\displaystyle \mathrm {Gx} }$ 是${\displaystyle \mathrm {G} }$ 的一個子群，因為根據定義${\displaystyle e\cdot x=x\in \mathrm {Gx} }$ ，因此${\displaystyle \mathrm {G} }$ 的單位元${\displaystyle e}$ 屬於${\displaystyle \mathrm {Gx} }$ ，且假若${\displaystyle m\in \mathrm {Gx} }$ ，那麼${\displaystyle m}$ 的逆元${\displaystyle m^{-1}}$ 也是${\displaystyle \mathrm {Gx} }$ 的元素，因為${\displaystyle x=e\cdot x=m^{-1}m\cdot x=m^{-1}\cdot x}$ 。

軌道－穩定點定理與伯恩賽德引理

参见：伯恩賽德引理

考慮一個映射${\displaystyle f:G\cdot x\longrightarrow G/G_{x}}$  可以證明此映射是一個雙射的函數，而這個映射的結論就是所謂的 軌道-穩定點定理 ${\displaystyle |G\cdot x|=[G:G_{x}]}$ 

而一個跟軌道-穩定點定理相似的結果就是伯恩賽德引理，${\displaystyle |X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|}$ 

西羅定理

主条目：西羅定理

範例

• 任意群G在任意集合X上的平凡的群作用定义为 g⋅x = x 对任意g属于G以及任意x属于X；换句话说，每个群元素对应 X上的恒等置换。^[2]

1. Lovett, Stephen. Abstract Algebra: Structures and Applications. CRC. 2015. ISBN 1482248905. 
2. Eie & Chang. A Course on Abstract Algebra. 2010: 145.