在幾何學 中，完全星形二十面體 （英語：Final stellation of the icosahedron 或complete stellation of the icosahedron）、[1] :30–31 [2] :65 完全二十面體 （日语：かんぜんにじゅうめんたい ）或針鼴二十面體 （英語：Echidnahedron [3] 星形二十面體 。[4] 星形二十面體 的最外層，也因為包括星形二十面體的所有胞，因此是“完全”和“最後”的星形二十面體。溫尼爾在他的書中列出的各種星形多面體模型中，也包含了完全星形二十面體，並給予編號W42 。[5] 哈羅德·斯科特·麥克唐納·考克斯特 的書《五十九種二十面體 》中，編號為8。[6]
完全星形二十面體 幾何形狀上，完全星形二十面體有兩種形式，其在外觀上無法區別：
一種是非正的星形（自相交）多面體，由二十個九角星 （邊自相交九邊形）、90條邊 和60個頂點 組成。 另一種是由180個三角形 組成的簡單多面體 ，其中包含60個等腰三角形 、120個不等邊三角形 、270條邊和92個頂點。以這種多面體結構來建構完全星形二十面體的模型會比較容易。 歷史 编辑 關於星形二十面體的研究最早可以追朔到1619年出版的《世界的和諧 》中，约翰内斯·开普勒 已針對二十面體的星形化體進行了一些研究，當中列出了屬於正多面體的大星形十二面體 與小星形十二面體 。[7] 路易斯·龐索 大二十面體 與大十二面體 ，因此這四個立體現今合稱為克卜勒－龐索立體 。[8] 奧古斯丁-路易·柯西 進一步列舉了星形多面體並證明星形正多面體 只有4個。[9] :259 而到了1900年馬克斯·布呂克納 星形二十面體 ，當中包括了完全星形二十面體 。[10] 完全星形二十面體 。[11] 哈羅德·斯科特·麥克唐納·考克斯特 、帕特里克·杜·瓦爾 H·T·夫雷勒 J·F·皮特里 五十九種二十面體 》中為正二十面體的星形化體提供了一個系統性的規則，並列出了59種符合規則的星形二十面體 ，完全星形二十面體 在本書中被稱為第八星形二十面體 。1974年，溫尼爾亦在其著作《多面體模型》中收錄、編號並描述了完全星形二十面體 ，其將完全星形二十面體 編號為W42 。[2]
1995年，完全星形二十面體 被收錄於Netlib 針鼴二十面體 （echidnahedron），其因外型類似於蜷縮成球的針鼴 而得名[13] 針鼴 是一種全身覆蓋著粗糙的毛髮和刺的小型哺乳動物，當其遇到危險時會捲成球狀保護自己）。關於完全星形二十面體的對偶多面體較少有文獻專門探討，僅有2000年時，英奇博德·蓋在其著作中描述了其面的組成，[14]
性質 编辑 作為正二十面體的星形化體 编辑 將正二十面體的原有的面延伸成無窮平面，並由其向外延伸的相交點構成的立體稱為正二十面體的星形化體，或簡稱為星形二十面體 。書籍《五十九種二十面體 》為正二十面體的星形化體提供了一個系統性的規則，並根據其規則給予了一套表示系統，稱為杜瓦表示法。其列舉了正二十面體向外延伸後有可能相交出的面，稱為星形二十面體的胞。杜瓦表示法主要以星形二十面體所佔據的胞來命名。完全星形二十面體正好佔據了最外層「h」層的所有胞，因此完全星形二十面體在杜瓦表示法中可以用H 來表示。[9]
作為一個簡單多面體 编辑 完全星形二十面體的多面體模型可以由12個上圖中的面組來構成，每組面折成五個錐體 簡單多面體是指這個多面體中的面不會與同一個多面體 的另一個面相交的多面體 。若完全星形二十面體要成為一個簡單多面體，則需要在這多面體中相交 的面上放置新的頂點和邊，並將原本的九角星 面分割成9個三角形面。這樣的多面體共有180個面 、[15] 邊 和92個頂點 ，且歐拉示性數 為2。[16]
其92個頂點 分別位於3個同心 的球面 上。最內層有20個頂點，來自一個正十二面體 ；中間那層有12頂點，來自一個正二十面體；最外層的60個頂點來自一個不均勻的截角二十面體 。這三層的半徑 比為：[3]
3 2 ( 3 + 5 ) : 1 2 ( 25 + 11 5 ) : 1 2 ( 97 + 43 5 ) {\displaystyle {\sqrt {{\frac {3}{2}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)}}\,:\,{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(25+11{\sqrt {5}}\right)}}\,:\,{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(97+43{\sqrt {5}}\right)}}\,} 在上述條件下將完全星形二十面體重建成面不會自我相交的三維立體結構後，其邊長將變為 a {\displaystyle a} a φ {\displaystyle a\varphi } a φ 2 {\displaystyle a\varphi ^{2}} a φ 2 2 {\displaystyle a\varphi ^{2}{\sqrt {2}}} φ {\displaystyle \varphi } 正十二面體 、中層正二十面體 、外層不均勻截角二十面體 ）分別的外接球半徑（內層 R 12 {\displaystyle R_{12}} R 20 {\displaystyle R_{20}} R 60 {\displaystyle R_{60}} [3]
R 12 = 3 ( 3 + 5 ) 2 a {\displaystyle R_{12}={\sqrt {\frac {3\left(3+{\sqrt {5}}\right)}{2}}}\,a} R 20 = 25 + 11 5 2 a {\displaystyle R_{20}={\sqrt {\frac {25+11{\sqrt {5}}}{2}}}\,a} R 60 = 97 + 43 5 2 a {\displaystyle R_{60}={\sqrt {\frac {97+43{\sqrt {5}}}{2}}}\,a} 其表面積 S {\displaystyle S} V {\displaystyle V} [3]
S = 1 20 ( 13211 + 174306161 ) a 2 {\displaystyle S={\frac {1}{20}}(13211+{\sqrt {174306161}})a^{2}\,} V = ( 210 + 90 5 ) a 3 {\displaystyle V=(210+90{\sqrt {5}})a^{3}\,} 作為一個星形多面體 编辑 當完全星形二十面體 作為一個星形多面體時，其是一個面自我相交的非凸多面體，共有20面 、90個邊 和60個頂點 。其每個面都是與施萊夫利符號 為 {9/4} 的九角星 相近的形狀。[1]
九角星 形狀相近的面
面的組成 编辑 完全星形二十面體由20個九角星 面組成，[17] [1]
構造方式 编辑 完全星形二十面體可由其九角星面構造，構造方式為以其對應星狀圖的中心胞之正三角形建構一個正二十面體，並透過該正二十面體邊旋轉九角星面構造完全星形二十面體中的一半面數，剩餘部分可透過將前面完成的部分以中心點對稱方式來完成整個完全星形二十面體的構造。[17]
對偶多面體 编辑 完全星形二十面體的對偶多面體 由60個面 、90條邊 和20個頂點 所組成，其中60個面都是等腰三角形，且每個頂點都是9個等腰三角形的公共頂點。完全星形二十面體的對偶多面體組成的頂點排列方式與正十二面體相同，但頂點間的相連關係與正十二面體不同，因此其可以視為是正十二面體的一種刻面結果。[14] [19]
由於這個立體是完全星形二十面體的對偶多面體，因此原有多面體的面會成為對偶多面體的頂點圖，反之亦然，[20] 頂點圖 會是九角星，即頂點周圍之面的排列方式會依循九角星邊的連接方式：[18]
頂點圖 ） 頂點圖
完全星形二十面體的對偶多面體的面由等腰三角形組成，由於其面有跟其他的面相交的性質，[14]
完全星形二十面體的對偶多面體是五角柱七百二十胞體（pentagon-prismatic heptacosicosachoron）的頂點圖 。[21] [22]
參見 编辑 參考文獻 编辑 ^ 1.0 1.1 1.2 Coxeter, Harold Scott MacDonald; Du Val, P.; Flather, H. T.; Petrie, J. F., The fifty-nine icosahedra 3rd, Tarquin, 1999, ISBN 978-1-899618-32-3MR 0676126 ^ 2.0 2.1 Wenninger, Magnus J., Polyhedron models ; Cambridge University Press, 1st Edn (1983), Ppbk (2003). ISBN 978-0-521-09859-5 . (Model 42, p 65, Final stellation of the icosahedron ) ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 Weisstein, Eric W. (编). Echidnahedron. at MathWorld Wolfram Research, Inc. （英语） . ^ Eric W. Weisstein. Echidnahedron. 密西根州立大學 圖書館 . 1999-05-25 [2016-09-02 ] . （原始内容于2013-06-22）. ^ Wenninger, Magnus ISBN 0-521-09859-9 ^ H·S·M·考克斯特 . 五十九種二十面體 . H. T. Flather, J. F. Petrie. Springer Science & Business Media. 2012. ISBN 9781461382164 ^ Weisstein, Eric W. (编). Kepler-Poinsot Solid. at MathWorld Wolfram Research, Inc. （英语） . ^ Louis Poinsot, Memoire sur les polygones et polyèdres. J. de l'École Polytechnique 9, pp. 16–48, 1810. ^ 9.0 9.1 Cromwell, Peter R. Polyhedra. Cambridge University Press. 1997 [2021-07-26 ] . ISBN 0-521-66405-5 ^ 10.0 10.1 Brückner, Max Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte . Leipzig: B.G. Treubner. ISBN 978-1-4181-6590-1 . （德語） WorldCat （页面存档备份，存于互联网档案馆 ） English: Polygons and Polyhedra: Theory and History . Photographs of models: Tafel VIII (Plate VIII), etc. High res. scans. （页面存档备份，存于互联网档案馆 ）^ A. H. Wheeler, Certain forms of the icosahedron and a method for deriving and designating higher polyhedra , Proc. Internat. Math. Congress, Toronto, 1924, Vol. 1, pp 701–708 ^ Brückner, Max (1900)[10] ^ The name echidnahedron may be credited to Andrew Hume, developer （页面存档备份，存于互联网档案馆 ） of the netlib 互联网档案馆 ）:互联网档案馆 ） ^ 14.0 14.1 14.2 Inchbald, G. Towards stellating the icosahedron and faceting the dodecahedron. Symmetry: Culture and Science. 2000, 11 : 1––4. ^ Jenkins, Gerald, and Magdalen Bear. The Final Stellation of the Icosahedron: An Advanced Mathematical Model to Cut Out and Glue Together . Norfolk, England: Tarquin Publications, 1985. ISBN 978-0-906212-48-6 . ^ Paul Houle. . polyhedra.org. [2016-09-02 ] . （原始内容存档于2008-10-07）. ^ 17.0 17.1 林哲宇. 正多面體的星狀多面體 (碩士论文). 國立清華大學. 2007 [2021-07-26 ] . （原始内容于2021-07-28）. ^ 18.0 18.1 Richard Klitzing. hudsi (dual of H-stellation of icosahedron). bendwavy.org. [2021-07-27 ] . （原始内容于2021-07-27）. ^ Bridge, NJ. Faceting the dodecahedron. Acta Crystallographica Section A: Crystal Physics, Diffraction, Theoretical and General Crystallography (International Union of Crystallography). 1974, 30 (4): 548–552. ^ Weisstein, Eric W. (编). Dual Polyhedron. at MathWorld Wolfram Research, Inc. （英语） . ^ Jonathan Bowers. Category 17: Sishi Regiment. polytope.net. [2021-07-26 ] . （原始内容于2020-08-09）. ^ Richard Klitzing. paphacki (pentagon-prismatic heptacosicosachoron). bendwavy.org. [2021-07-26 ] . （原始内容于2021-07-26）. 外部連結 编辑
完全星形二十面體, 此條目介紹的是書籍, 五十九種二十面體, 中列出的第八個星形二十面體, 关于書籍, 多面體模型, 維基數據所列, q108336243, 中列出的第八個星形二十面體, 请见, 第八星形二十面體, 在幾何學中, 英語, final, stellation, icosahedron, 或complete, stellation, icosahedron, 65完全二十面體, 日语, かんぜんにじゅうめんたい, 或針鼴二十面體, 英語, echidnahedron, 是一種星形二十面體, 它是星形二十. 此條目介紹的是書籍 五十九種二十面體 中列出的第八個星形二十面體 关于書籍 多面體模型 維基數據所列 Q108336243 中列出的第八個星形二十面體 请见 第八星形二十面體 在幾何學中 完全星形二十面體 英語 Final stellation of the icosahedron 或complete stellation of the icosahedron 1 30 31 2 65完全二十面體 日语 かんぜんにじゅうめんたい 或針鼴二十面體 英語 Echidnahedron 3 是一種星形二十面體 4 它是星形二十面體的最外層 也因為包括星形二十面體的所有胞 因此是 完全 和 最後 的星形二十面體 溫尼爾在他的書中列出的各種星形多面體模型中 也包含了完全星形二十面體 並給予編號W42 5 其也收錄於哈羅德 斯科特 麥克唐納 考克斯特的書 五十九種二十面體 中 編號為8 6 完全星形二十面體兩個對稱性的正投影類別星形二十面體收錄於 五十九種二十面體 中對偶多面體詳見 對偶多面體一節識別名稱完全星形二十面體參考索引W42 8 59數學表示法杜瓦表示法 英語 Du Val s notation H性質面20邊90頂點60歐拉特徵數F 20 E 90 V 60 x 10 組成與佈局面的種類九角星頂點圖等腰三角形頂點佈局 英语 Vertex configuration 9 4 3圖像星狀圖 英语 Stellation diagram 星狀 英语 Stellation 核 凸包h層 正二十面體 不均勻截角二十面體查论编 完全星形二十面體幾何形狀上 完全星形二十面體有兩種形式 其在外觀上無法區別 一種是非正的星形 自相交 多面體 由二十個九角星 邊自相交九邊形 90條邊和60個頂點組成 另一種是由180個三角形組成的簡單多面體 其中包含60個等腰三角形 120個不等邊三角形 270條邊和92個頂點 以這種多面體結構來建構完全星形二十面體的模型會比較容易 目录 1 歷史 2 性質 2 1 作為正二十面體的星形化體 2 2 作為一個簡單多面體 2 3 作為一個星形多面體 2 3 1 面的組成 2 4 構造方式 3 對偶多面體 4 參見 5 參考文獻 6 外部連結歷史 编辑 nbsp 關於星形二十面體的研究最早可以追朔到1619年出版的 世界的和諧 中 约翰内斯 开普勒已針對二十面體的星形化體進行了一些研究 當中列出了屬於正多面體的大星形十二面體與小星形十二面體 7 1809年路易斯 龐索 英语 Louis Poinsot 重新發現了开普勒先前發現的星形二十面體並另外發現了兩個星形多面體 大二十面體與大十二面體 因此這四個立體現今合稱為克卜勒 龐索立體 8 1812年奧古斯丁 路易 柯西進一步列舉了星形多面體並證明星形正多面體只有4個 9 259而到了1900年馬克斯 布呂克納 英语 Max Bruckner 將星形多面體推廣到了不限於正多面體的情況 並列出了十種星形二十面體 當中包括了完全星形二十面體 10 1924年由學者A H Wheeler發表的著作中列舉的20種星形二十面體 其共列舉了22種 但有些互為鏡像 中亦包含了完全星形二十面體 11 1938年 哈羅德 斯科特 麥克唐納 考克斯特 帕特里克 杜 瓦爾 英语 Patrick du Val H T 夫雷勒 英语 Flather H T 和J F 皮特里 英语 Petrie J F 在其著作 五十九種二十面體 中為正二十面體的星形化體提供了一個系統性的規則 並列出了59種符合規則的星形二十面體 完全星形二十面體在本書中被稱為第八星形二十面體 1974年 溫尼爾亦在其著作 多面體模型 中收錄 編號並描述了完全星形二十面體 其將完全星形二十面體編號為W42 2 nbsp 馬克斯 布呂克納 英语 Max Bruckner 的完全星形二十面體模型 12 nbsp 針鼴1995年 完全星形二十面體被收錄於Netlib 英语 Netlib 函式庫的多面體資料庫中 並命名為針鼴二十面體 echidnahedron 其因外型類似於蜷縮成球的針鼴而得名 13 針鼴是一種全身覆蓋著粗糙的毛髮和刺的小型哺乳動物 當其遇到危險時會捲成球狀保護自己 關於完全星形二十面體的對偶多面體較少有文獻專門探討 僅有2000年時 英奇博德 蓋在其著作中描述了其面的組成 14 對於其更詳細的性質尚未被有效地探討及解決 亦未被命名 性質 编辑作為正二十面體的星形化體 编辑 主条目 五十九種二十面體 將正二十面體的原有的面延伸成無窮平面 並由其向外延伸的相交點構成的立體稱為正二十面體的星形化體 或簡稱為星形二十面體 書籍 五十九種二十面體 為正二十面體的星形化體提供了一個系統性的規則 並根據其規則給予了一套表示系統 稱為杜瓦表示法 其列舉了正二十面體向外延伸後有可能相交出的面 稱為星形二十面體的胞 杜瓦表示法主要以星形二十面體所佔據的胞來命名 完全星形二十面體正好佔據了最外層 h 層的所有胞 因此完全星形二十面體在杜瓦表示法中可以用H來表示 9 作為一個簡單多面體 编辑 nbsp 完全星形二十面體的多面體模型可以由12個上圖中的面組來構成 每組面折成五個錐體簡單多面體是指這個多面體中的面不會與同一個多面體的另一個面相交的多面體 若完全星形二十面體要成為一個簡單多面體 則需要在這多面體中相交的面上放置新的頂點和邊 並將原本的九角星面分割成9個三角形面 這樣的多面體共有180個面 15 270條邊和92個頂點 且歐拉示性數為2 16 其92個頂點分別位於3個同心的球面上 最內層有20個頂點 來自一個正十二面體 中間那層有12頂點 來自一個正二十面體 最外層的60個頂點來自一個不均勻的截角二十面體 這三層的半徑比為 3 3 2 3 5 1 2 25 11 5 1 2 97 43 5 displaystyle sqrt frac 3 2 left 3 sqrt 5 right sqrt frac 1 2 left 25 11 sqrt 5 right sqrt frac 1 2 left 97 43 sqrt 5 right nbsp 凸包和其他層的頂點 內層 中層 外層 全部20個頂點 12個頂點 60個頂點 92個頂點 nbsp 正十二面體 nbsp 正二十面體 nbsp 不均勻截角二十面體 nbsp 完全星形二十面體在上述條件下將完全星形二十面體重建成面不會自我相交的三維立體結構後 其邊長將變為a displaystyle a nbsp a f displaystyle a varphi nbsp a f 2 displaystyle a varphi 2 nbsp 與a f 2 2 displaystyle a varphi 2 sqrt 2 nbsp 其中f displaystyle varphi nbsp 為黃金比例 而上述3個分層 內層正十二面體 中層正二十面體 外層不均勻截角二十面體 分別的外接球半徑 內層R 12 displaystyle R 12 nbsp 中層R 20 displaystyle R 20 nbsp 外層R 60 displaystyle R 60 nbsp 為 3 R 12 3 3 5 2 a displaystyle R 12 sqrt frac 3 left 3 sqrt 5 right 2 a nbsp R 20 25 11 5 2 a displaystyle R 20 sqrt frac 25 11 sqrt 5 2 a nbsp R 60 97 43 5 2 a displaystyle R 60 sqrt frac 97 43 sqrt 5 2 a nbsp 其表面積S displaystyle S nbsp 和體積V displaystyle V nbsp 為 3 S 1 20 13211 174306161 a 2 displaystyle S frac 1 20 13211 sqrt 174306161 a 2 nbsp V 210 90 5 a 3 displaystyle V 210 90 sqrt 5 a 3 nbsp 作為一個星形多面體 编辑 當完全星形二十面體作為一個星形多面體時 其是一個面自我相交的非凸多面體 共有20面 90個邊和60個頂點 其每個面都是與施萊夫利符號為 9 4 的九角星相近的形狀 1 nbsp 20個與施萊夫利符號為 9 4 的九角星形狀相近的面將其中一個以黃色表示 nbsp 完全星形二十面體中九角星面的形狀面的組成 编辑 完全星形二十面體由20個九角星面組成 17 由於完全星形二十面體的面有跟其他的面相交的性質 1 因此 會導致面有部分隱沒在圖形內部 如下圖 露在外面的部份以藍色表示 隱沒於形狀內部的部分以白色表示 黑線為與其他面的交線 nbsp 構造方式 编辑 完全星形二十面體可由其九角星面構造 構造方式為以其對應星狀圖的中心胞之正三角形建構一個正二十面體 並透過該正二十面體邊旋轉九角星面構造完全星形二十面體中的一半面數 剩餘部分可透過將前面完成的部分以中心點對稱方式來完成整個完全星形二十面體的構造 17 對偶多面體 编辑完全星形二十面體的對偶多面體 nbsp 按這裡觀看旋轉模型 類別星形多面體對偶多面體完全星形二十面體識別名稱完全星形二十面體的對偶多面體鮑爾斯縮寫 verse and dimensions的wikia Bowers acronym hudsi 18 性質面60邊90頂點20歐拉特徵數F 60 E 90 V 20 x 10 組成與佈局面的種類等腰三角形 nbsp 頂點圖九角星圖像 nbsp nbsp 九角星 頂點圖 nbsp 完全星形二十面體 對偶多面體 查论编完全星形二十面體的對偶多面體由60個面 90條邊和20個頂點所組成 其中60個面都是等腰三角形 且每個頂點都是9個等腰三角形的公共頂點 完全星形二十面體的對偶多面體組成的頂點排列方式與正十二面體相同 但頂點間的相連關係與正十二面體不同 因此其可以視為是正十二面體的一種刻面結果 14 19 nbsp 完全星形二十面體的對偶多面體 nbsp 組成完全星形二十面體之對偶多面體的面由於這個立體是完全星形二十面體的對偶多面體 因此原有多面體的面會成為對偶多面體的頂點圖 反之亦然 20 也就是說完全星形二十面體之對偶多面體的頂點圖會是九角星 即頂點周圍之面的排列方式會依循九角星邊的連接方式 18 nbsp 組成完全星形二十面體之對偶多面體頂點周圍面的排列方式 頂點圖 nbsp 完全星形二十面體之對偶多面體的頂點圖完全星形二十面體的對偶多面體的面由等腰三角形組成 由於其面有跟其他的面相交的性質 14 因此會導致面有部分隱沒在圖形內部 如下圖 露在外面的部份已藍色表示 隱沒於形狀內部的部分以白色表示 黑線為與其他面的交線 nbsp 完全星形二十面體的對偶多面體是五角柱七百二十胞體 pentagon prismatic heptacosicosachoron 的頂點圖 21 22 參見 编辑星形二十面體列表參考文獻 编辑 1 0 1 1 1 2 Coxeter Harold Scott MacDonald Du Val P Flather H T Petrie J F The fifty nine icosahedra 3rd Tarquin 1999 ISBN 978 1 899618 32 3 MR 0676126 p 259 1st Edn University of Toronto 1938 2 0 2 1 Wenninger Magnus J Polyhedron models Cambridge University Press 1st Edn 1983 Ppbk 2003 ISBN 978 0 521 09859 5 Model 42 p 65 Final stellation of the icosahedron 3 0 3 1 3 2 3 3 Weisstein Eric W 编 Echidnahedron at MathWorld A Wolfram Web Resource Wolfram Research Inc 英语 Eric W Weisstein Echidnahedron 密西根州立大學圖書館 1999 05 25 2016 09 02 原始内容存档于2013 06 22 Wenninger Magnus 英语 Magnus J Wenninger Polyhedron Models Cambridge University Press 1974 ISBN 0 521 09859 9 H S M 考克斯特 五十九種二十面體 H T Flather J F Petrie Springer Science amp Business Media 2012 ISBN 9781461382164 Weisstein Eric W 编 Kepler Poinsot Solid at MathWorld A Wolfram Web Resource Wolfram Research Inc 英语 Louis Poinsot Memoire sur les polygones et polyedres J de l Ecole Polytechnique 9 pp 16 48 1810 9 0 9 1 Cromwell Peter R Polyhedra Cambridge University Press 1997 2021 07 26 ISBN 0 521 66405 5 原始内容存档于2021 07 28 10 0 10 1 Bruckner Max 英语 Max Bruckner 1900 Vielecke und Vielflache Theorie und Geschichte Leipzig B G Treubner ISBN 978 1 4181 6590 1 德語 WorldCat 页面存档备份 存于互联网档案馆 English Polygons and Polyhedra Theory and History Photographs of models Tafel VIII Plate VIII etc High res scans 页面存档备份 存于互联网档案馆 A H Wheeler Certain forms of the icosahedron and a method for deriving and designating higher polyhedra Proc Internat Math Congress Toronto 1924 Vol 1 pp 701 708 Bruckner Max 1900 10 Taf XI Fig 14 1900 The name echidnahedron may be credited to Andrew Hume developer 页面存档备份 存于互联网档案馆 of the netlib 英语 netlib polyhedron database 页面存档备份 存于互联网档案馆 and some odd solids including the echidnahedron my name its actually the final stellation of the icosahedron geometry research polyhedra database August 30 1995 12 00 am 页面存档备份 存于互联网档案馆 14 0 14 1 14 2 Inchbald G Towards stellating the icosahedron and faceting the dodecahedron Symmetry Culture and Science 2000 11 1 4 Jenkins Gerald and Magdalen Bear The Final Stellation of the Icosahedron An Advanced Mathematical Model to Cut Out and Glue Together Norfolk England Tarquin Publications 1985 ISBN 978 0 906212 48 6 Paul Houle Echidnahedron polyhedra org 2016 09 02 原始内容存档于2008 10 07 17 0 17 1 林哲宇 正多面體的星狀多面體 碩士论文 國立清華大學 2007 2021 07 26 原始内容存档于2021 07 28 18 0 18 1 Richard Klitzing hudsi dual of H stellation of icosahedron bendwavy org 2021 07 27 原始内容存档于2021 07 27 Bridge NJ Faceting the dodecahedron Acta Crystallographica Section A Crystal Physics Diffraction Theoretical and General Crystallography International Union of Crystallography 1974 30 4 548 552 Weisstein Eric W 编 Dual Polyhedron at MathWorld A Wolfram Web Resource Wolfram Research Inc 英语 Jonathan Bowers Category 17 Sishi Regiment polytope net 2021 07 26 原始内容存档于2020 08 09 Richard Klitzing paphacki pentagon prismatic heptacosicosachoron bendwavy org 2021 07 26 原始内容存档于2021 07 26 外部連結 编辑埃里克 韦斯坦因 針鼴二十面體 MathWorld 取自 https zh wikipedia org w index php title 完全星形二十面體 amp oldid 75205720, 维基百科，wiki ，书籍，书籍，图书馆，
文章 ，阅读，下载，免费，免费下载，mp3，视频，mp4，3gp， jpg，jpeg，gif，png，图片，音乐，歌曲，电影，书籍，游戏，游戏。