截半截角二十面體 （rectified truncated icosahedron ）是一種凸 多面體 ，屬於環帶多面體 ，其對偶多面體 為菱形九十面體 。有92個面，其中有12 個正五邊形 、20個等邊六邊形 和60個等腰三角形 組成。在截半截角二十面體92 個面 中，只有12 個正多邊形 。
截半截角二十面體 類別 康威多面體 擬詹森多面體 對偶多面體 菱形九十面體 數學表示法 施萊夫利符號 rt{3,5} 康威表示法 atO 性質 面 92 邊 180 頂點 90 歐拉特徵數 F=92, E=180, V=90 （χ=2） 組成與佈局 面的佈局 60個{ }∨( ) 等腰三角 {5} 正五邊形 {6} 正六邊形 頂點圖 3.6.3.6 對稱性 對稱群 I h 旋轉對稱群 I, [5,3]+ , (532), order 60 特性 凸 圖像
截半截角二十面體是套用截半 變換的截角二十面體 ，也就是由截角二十面體 截去所有頂點並截到各邊的中點 所構成，雖然它看似半正多面體 ，但並不是，因為它只有五邊形是正多邊形 ，三角形和六邊形皆非正多邊形，由於該多面體由正多邊形與非常接近正多邊形的對稱等邊多邊形組成，因此，此多面體又可以被歸類為擬詹森多面體 [1] [2]
性質 编辑 截半截角二十面體有三種形式，一種是直接截半 切去所有頂角至稜的中點所構成的由正五邊形、等邊六邊形和等腰三角形 組成的形式；另一種是在由正五邊形、正六邊形和等腰三角形組成的形式；還有一種是所有邊都等長的等邊形式。每種形式皆由92個面、180條邊和90個頂點組成，且92個面中皆有12個等邊五邊形、20個等邊六邊形和60個等腰三角形，其中等邊五邊形、等邊六邊形在各形式中可能成為正多邊形 。每種形式的邊長比、半徑和體積皆不相同，但外觀和展開圖都十分相似。
各形式的頂點都可以分為兩種，一種是2個三角形和2個六邊形的公共頂點，且面在頂點周圍依照三角形、六邊形、三角形和六邊形的順序排列，在頂點圖中，可以用3.6.3.6來表示；另一種是2個三角形和1個五邊形和1個六邊形的公共頂點，且面在頂點周圍依照三角形、五邊形、三角形和六邊形的順序排列，在頂點圖中，可以用3.5.3.6來表示。
面的組成 编辑 在由正五邊形、等邊六邊形和等腰三角形 組成的截半截角二十面體形式中，等邊六邊形 有兩組角 ，分別為 arccos 3 − 39 8 ≈ 124.34 ∘ {\displaystyle \arccos {\frac {{\sqrt {3}}-{\sqrt {39}}}{8}}\approx 124.34^{\circ }} arccos ( − 3 4 ) ≈ 115.66 ∘ {\displaystyle \arccos \left(-{\frac {\sqrt {3}}{4}}\right)\approx 115.66^{\circ }} 底角 為 arccos 72 − 6 3 − 6 15 12 ≈ 58.92 ∘ {\displaystyle \arccos {\frac {\sqrt {72-6{\sqrt {3}}-6{\sqrt {15}}}}{12}}\approx 58.92^{\circ }} arccos 15 + 3 12 ≈ 62.15 ∘ {\displaystyle \arccos {\frac {{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}}{12}}\approx 62.15^{\circ }} arccos {\displaystyle \arccos } 反餘弦函數 。
在由正五邊形、正六邊形和等腰三角形組成的截半截角二十面體形式中，有兩種邊長，正五邊形的邊長較短，對應等腰三角形的底邊、正六邊形的邊長較長，對應等腰三角形的腰。若較短的邊長為單位長，則較長的邊為 15 − 3 2 ≈ 1.070466 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}}{2}}\approx 1.070466} [3]
體積 编辑 等邊的截半截角二十面體形式，若其邊長為單位長，則其體積為：[4]
180 + 33 5 + 5 983 + 978 5 6 ≈ 89.2164 {\displaystyle {\frac {180+33{\sqrt {5}}+5{\sqrt {983+978{\sqrt {5}}}}}{6}}\approx 89.2164} 在由正五邊形、正六邊形和等腰三角形組成的截半截角二十面體形式中，若短邊長為單位長，則其體積為：[3]
73 5 − 60 ≈ 103.23296 {\displaystyle 73{\sqrt {5}}-60\approx 103.23296} 在由正五邊形、等邊六邊形和等腰三角形組成的截半截角二十面體形式中，若其棱切球半徑為1，則其體積為一個八次方成之根的平方根，約為4.0095940519753525228。[5]
圖像 编辑 下圖為截半截角二十面體的旋轉動畫：
下圖為截半截角二十面體的透視圖[6]
下圖為截半截角二十面體的另一種上色方式：
相關多面體 编辑 名稱 截角 二次截角 截半 小斜方截半 大斜方截半 扭稜 考特 tI ttI rtI rrtI trtI srtI 康威 atI etI btI stI 圖像 康威表示法 dtI = kD kdtI jtI otI mtI gtI 對偶多面體
參見 编辑 參考文獻 编辑 ^ Near Misses （页面存档备份，存于互联网档案馆 ） I(1,2,*,[2]) cgl.uwaterloo.ca [2016-1-7] ^ Craig S. Kaplan and George W. Hart. Symmetrohedra: Polyhedra from Symmetric Placement of Regular Polygons （页面存档备份，存于互联网档案馆 ）. In Bridges 2001: Mathematical Connections in Art, Music and Science, 2001. ^ 3.0 3.1 David I. McCooey. Rectified Archimedean Solids: Rectified Truncated Icosahedron. [2023-01-23 ] . （原始内容于2023-01-23）. ^ David I. McCooey. Rectified Archimedean Solids: Rectified Truncated Icosahedron with equal edges. [2023-01-23 ] . （原始内容于2023-01-23）. ^ David I. McCooey. Rectified Archimedean Solids: Canonical Rectified Truncated Icosahedron. [2023-01-23 ] . （原始内容于2023-01-23）. ^ 《圖解數學辭典》天下遠見出版 多面體 ISBN 986-417-614-5 延伸阅读 编辑 外部連結 编辑 George Hart's Conway interpreter （页面存档备份，存于互联网档案馆 ）: generates polyhedra in VRML , taking Conway notation as input
截半截角二十面體, rectified, truncated, icosahedron, 是一種凸多面體, 屬於環帶多面體, 其對偶多面體為菱形九十面體, 有92個面, 其中有12個正五邊形, 20個等邊六邊形和60個等腰三角形組成, 在92個面中, 只有12個正多邊形, 单击查看旋转模型, 類別康威多面體擬詹森多面體對偶多面體菱形九十面體數學表示法施萊夫利符號rt, 康威表示法ato性質面92邊180頂點90歐拉特徵數f, 組成與佈局面的佈局, 英语, face, configuration, 60個, 等腰三角. 截半截角二十面體 rectified truncated icosahedron 是一種凸多面體 屬於環帶多面體 其對偶多面體為菱形九十面體 有92個面 其中有12個正五邊形 20個等邊六邊形和60個等腰三角形組成 在截半截角二十面體92個面中 只有12個正多邊形 截半截角二十面體 单击查看旋转模型 類別康威多面體擬詹森多面體對偶多面體菱形九十面體數學表示法施萊夫利符號rt 3 5 康威表示法atO性質面92邊180頂點90歐拉特徵數F 92 E 180 V 90 x 2 組成與佈局面的佈局 英语 Face configuration 60個 等腰三角12個 5 正五邊形20個 6 正六邊形頂點圖3 6 3 63 5 3 6對稱性對稱群Ih 5 3 532 order 120旋轉對稱群 英語 Rotation groups I 5 3 532 order 60特性凸圖像3 6 3 63 5 3 6 頂點圖 菱形九十面體 對偶多面體 展開圖 查论编截半截角二十面體是套用截半變換的截角二十面體 也就是由截角二十面體截去所有頂點並截到各邊的中點所構成 雖然它看似半正多面體 但並不是 因為它只有五邊形是正多邊形 三角形和六邊形皆非正多邊形 由於該多面體由正多邊形與非常接近正多邊形的對稱等邊多邊形組成 因此 此多面體又可以被歸類為擬詹森多面體 1 2 目录 1 性質 1 1 面的組成 1 2 體積 2 圖像 3 相關多面體 4 參見 5 參考文獻 6 延伸阅读 7 外部連結性質 编辑截半截角二十面體有三種形式 一種是直接截半切去所有頂角至稜的中點所構成的由正五邊形 等邊六邊形和等腰三角形組成的形式 另一種是在由正五邊形 正六邊形和等腰三角形組成的形式 還有一種是所有邊都等長的等邊形式 每種形式皆由92個面 180條邊和90個頂點組成 且92個面中皆有12個等邊五邊形 20個等邊六邊形和60個等腰三角形 其中等邊五邊形 等邊六邊形在各形式中可能成為正多邊形 每種形式的邊長比 半徑和體積皆不相同 但外觀和展開圖都十分相似 各形式的頂點都可以分為兩種 一種是2個三角形和2個六邊形的公共頂點 且面在頂點周圍依照三角形 六邊形 三角形和六邊形的順序排列 在頂點圖中 可以用3 6 3 6來表示 另一種是2個三角形和1個五邊形和1個六邊形的公共頂點 且面在頂點周圍依照三角形 五邊形 三角形和六邊形的順序排列 在頂點圖中 可以用3 5 3 6來表示 面的組成 编辑 在由正五邊形 等邊六邊形和等腰三角形組成的截半截角二十面體形式中 等邊六邊形有兩組角 分別為arccos 3 39 8 124 34 displaystyle arccos frac sqrt 3 sqrt 39 8 approx 124 34 circ nbsp 和arccos 3 4 115 66 displaystyle arccos left frac sqrt 3 4 right approx 115 66 circ nbsp 等腰三角形的底角為arccos 72 6 3 6 15 12 58 92 displaystyle arccos frac sqrt 72 6 sqrt 3 6 sqrt 15 12 approx 58 92 circ nbsp 頂角為arccos 15 3 12 62 15 displaystyle arccos frac sqrt 15 sqrt 3 12 approx 62 15 circ nbsp 其中arccos displaystyle arccos nbsp 為反餘弦函數 在由正五邊形 正六邊形和等腰三角形組成的截半截角二十面體形式中 有兩種邊長 正五邊形的邊長較短 對應等腰三角形的底邊 正六邊形的邊長較長 對應等腰三角形的腰 若較短的邊長為單位長 則較長的邊為15 3 2 1 070466 displaystyle frac sqrt 15 sqrt 3 2 approx 1 070466 nbsp 3 體積 编辑 等邊的截半截角二十面體形式 若其邊長為單位長 則其體積為 4 180 33 5 5 983 978 5 6 89 2164 displaystyle frac 180 33 sqrt 5 5 sqrt 983 978 sqrt 5 6 approx 89 2164 nbsp 在由正五邊形 正六邊形和等腰三角形組成的截半截角二十面體形式中 若短邊長為單位長 則其體積為 3 73 5 60 103 23296 displaystyle 73 sqrt 5 60 approx 103 23296 nbsp 在由正五邊形 等邊六邊形和等腰三角形組成的截半截角二十面體形式中 若其棱切球半徑為1 則其體積為一個八次方成之根的平方根 約為4 0095940519753525228 5 圖像 编辑下圖為截半截角二十面體的旋轉動畫 nbsp 下圖為截半截角二十面體的透視圖 6 nbsp 下圖為截半截角二十面體的另一種上色方式 nbsp 相關多面體 编辑名稱 截角二十面體 二次截角二十面體 截半截角二十面體 小斜方截半截角二十面體 大斜方截半截角二十面體 扭稜截角二十面體考特 tI ttI rtI rrtI trtI srtI康威 atI etI btI stI圖像 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 康威表示法 dtI kD kdtI jtI otI mtI gtI對偶多面體 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 參見 编辑截半截角四面體 英语 Rectified truncated tetrahedron 截半截角八面體 截半截角立方體 英语 Rectified truncated cube 截半截角十二面體 英语 Rectified truncated dodecahedron 參考文獻 编辑 Near Misses 页面存档备份 存于互联网档案馆 I 1 2 2 cgl uwaterloo ca 2016 1 7 Craig S Kaplan and George W Hart Symmetrohedra Polyhedra from Symmetric Placement of Regular Polygons 页面存档备份 存于互联网档案馆 In Bridges 2001 Mathematical Connections in Art Music and Science 2001 3 0 3 1 David I McCooey Rectified Archimedean Solids Rectified Truncated Icosahedron 2023 01 23 原始内容存档于2023 01 23 David I McCooey Rectified Archimedean Solids Rectified Truncated Icosahedron with equal edges 2023 01 23 原始内容存档于2023 01 23 David I McCooey Rectified Archimedean Solids Canonical Rectified Truncated Icosahedron 2023 01 23 原始内容存档于2023 01 23 圖解數學辭典 天下遠見出版 多面體 ISBN 986 417 614 5延伸阅读 编辑Coxeter Regular Polytopes Third edition 1973 Dover edition ISBN 0 486 61480 8 pp 145 154 Chapter 8 Truncation John H Conway Heidi Burgiel Chaim Goodman Strass The Symmetries of Things 2008 ISBN 978 1 56881 220 5外部連結 编辑George Hart s Conway interpreter 页面存档备份 存于互联网档案馆 generates polyhedra in VRML taking Conway notation as input 取自 https zh wikipedia org w index php title 截半截角二十面體 amp oldid 77070386, 维基百科，wiki ，书籍，书籍，图书馆，
文章 ，阅读，下载，免费，免费下载，mp3，视频，mp4，3gp， jpg，jpeg，gif，png，图片，音乐，歌曲，电影，书籍，游戏，游戏。