性質 菱形九十面體由90個面 、180條邊 和92個頂點 所組成。[2] 菱形 和30個較窄的菱形[7] [2] [5]
構造 菱形九十面體可以由不均勻的截角二十面體 在所有面上加上角錐 ，並調整錐高直到加入之角錐的側面與鄰面加入之角錐的側面共面 或二面角 為零為止來構造，並且確保兩種錐體（加入到截角二十面體 所有面上的錐體會有五角錐 和六角錐兩種）的側邊邊長相等。這種構造方式在康威多面體表示法中記為j，而截角二十面體在康威多面體表示法中記為tI[8]
面的組成 菱形九十面體由兩種菱形組成。其中有60個較寬的菱形和30個較窄的菱形。若菱形九十面體的邊長為單位長，則較寬的菱形寬度為：[2]
2 3 3 ≈ 1.154700538379 {\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}\approx 1.154700538379} 較寬的菱形長度為：[2]
2 6 3 ≈ 1.632993161855 {\displaystyle {\frac {2{\sqrt {6}}}{3}}\approx 1.632993161855} 較寬的菱形的對角線比為1比2的平方根 [9] [10] [5]
而較窄的菱形寬度為：[2]
15 − 3 3 ≈ 0.713644179546 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}}{3}}\approx 0.713644179546} 較窄的菱形長度為：[2]
15 + 3 3 ≈ 1.868344717925 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}}{3}}\approx 1.868344717925} 較窄的菱形的對角線比為1比黃金比例 的平方[9] arccos ( 5 3 ) {\displaystyle \arccos \left({\tfrac {\sqrt {5}}{3}}\right)} arccos ( − 5 3 ) {\displaystyle \arccos \left(-{\tfrac {\sqrt {5}}{3}}\right)} [10] [5]
二面角 菱形九十面體有兩種二面角 ，分別為較窄菱形面與較寬菱形面的二面角，以及較寬菱形面與較寬菱形面的二面角。其中，較窄菱形面與較寬菱形面的二面角約為157.761度：[2]
arccos ( − 3 2 + 10 8 ) ≈ 2.7534531382196 ≈ 157.761243907 ∘ {\displaystyle \arccos \left(-{\frac {3{\sqrt {2}}+{\sqrt {10}}}{8}}\right)\approx 2.7534531382196\approx 157.761243907^{\circ }} 較寬菱形面與較寬菱形面的二面角約為164.4775度：[2]
arccos ( − 1 + 3 5 8 ) ≈ 2.87067413313357 ≈ 164.477512186 ∘ {\displaystyle \arccos \left(-{\frac {1+3{\sqrt {5}}}{8}}\right)\approx 2.87067413313357\approx 164.477512186^{\circ }} 尺寸 若菱形九十面體的邊長為單位長，則其體積 V {\displaystyle V} A {\displaystyle A} [2]
V = 20 ( 7 3 + 4 15 ) 9 ≈ 61.3695311951 {\displaystyle V={\frac {20\left(7{\sqrt {3}}+4{\sqrt {15}}\right)}{9}}\approx 61.3695311951} [2] A = 20 + 40 2 ≈ 76.5685424949 {\displaystyle A=20+40{\sqrt {2}}\approx 76.5685424949} [11] 菱形九十面體的頂點頂並未共球，因此不存在外接球，而其三種頂點分別共球，分別為三階頂點（3個菱形的公共頂點）共球、五階頂點（5個菱形的公共頂點）共球和六階頂點（6個菱形的公共頂點）共球。這些球面的半徑為：[2]
三階頂點（3個菱形的公共頂點）共球的球半徑為：[2] 21 + 105 6 ≈ 2.4715877434859 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {21}}+{\sqrt {105}}}{6}}\approx 2.4715877434859} 五階頂點（5個菱形的公共頂點）共球的球半徑為：[2] 30 ( 5 + 5 ) 6 ≈ 2.455617365942 {\displaystyle {\frac {\sqrt {30\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}{6}}\approx 2.455617365942} 六階頂點（6個菱形的公共頂點）共球的球半徑為：[2] 3 + 5 2 ≈ 2.61803398874989 {\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 2.61803398874989}
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菱形九十面體 ”2022年8月17日的修訂版本录制的，以
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參考文獻 ^ PolyHédronisme. [2022-08-09 ] . （原始内容于2022-03-31）. ^ 2.00 2.01 2.02 2.03 2.04 2.05 2.06 2.07 2.08 2.09 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 David I. McCooey. Other Solids: Rhombic Enneacontahedron. [2022-08-09 ] . （原始内容于2022-08-09）. ^ Weisstein, Eric W. (编). Rhombic Enneacontahedron. at MathWorld Wolfram Research, Inc. （英语） . ^ Robert Webb. Rhombic Enneacontahedron. software3d.com. [2022-08-09 ] . （原始内容于2022-08-09）. ^ 5.0 5.1 5.2 5.3 George W. Hart. A color-matching dissection of the rhombic enneacontahedron. Symmetry Culture Sci. 2000, 11 : 183–199. ^ Soma, Takashi and Watanabe, Yasunari. Animation of Some Truncated Polyhedrons. FORMA-TOKYO (Citeseer). 2000, 15 (1): 67–73. ^ Jim McNeill. The Rhombic Enneacontahedron and relations. rchidpalms.com. [2022-08-09 ] . （原始内容于2021-12-27）. ^ Zefiro, Livio. Vertex-and edge-truncation of the Platonic and Archimedean solids leading to vertex-transitive polyhedra. Visual Mathematics (Mathematical Institute SASA). 2011, (50) [2022-08-09 ] . （原始内容于2022-12-07）. ^ 9.0 9.1 Lambert M. Surhone, Mariam T. Tennoe, Susan F. Henssonow. Rhombic Enneacontahedron. Betascript Publishing. 2010-08-18. ISBN 978-613-2-31373-7 ^ 10.0 10.1 Richard Klitzing. rhombic enneacontahedron. bendwavy.org. [2022-08-09 ] . （原始内容于2022-08-09）. ^ Wolfram, Stephen . " rhombic enneacontahedron" . from Wolfram Alpha : Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语） .
外部連結
菱形九十面體, 是一種由90個菱形組成的凸多面體, 屬於環帶多面體, 是截半截角二十面體的對偶多面體, 由90個面, 180條邊和92個頂點所組成, 並具有二十面體群對稱性, 英语, icosahedral, symmetry, 按這裡觀看旋轉模型, 類別凸多面體對偶多面體截半截角二十面體數學表示法施萊夫利符號rt, 康威表示法jti, dakd, 性質面60邊150頂點92歐拉特徵數f, 二面角157, 761度, 寬菱形與窄菱形, 4775度, 寬菱形與寬菱形, 組成與佈局面的種類兩種菱形頂點的種類60個3階頂. 菱形九十面體是一種由90個菱形組成的凸多面體 屬於環帶多面體 3 4 是截半截角二十面體的對偶多面體 由90個面 180條邊和92個頂點所組成 2 並具有二十面體群對稱性 英语 Icosahedral symmetry 5 2 菱形九十面體 按這裡觀看旋轉模型 類別凸多面體對偶多面體截半截角二十面體數學表示法施萊夫利符號rt 3 5 康威表示法jtI dakD 1 性質面60邊150頂點92歐拉特徵數F 60 E 150 V 92 x 2 二面角157 761度 寬菱形與窄菱形 2 164 4775度 寬菱形與寬菱形 2 組成與佈局面的種類兩種菱形頂點的種類60個3階頂點12個5階頂點20個6階頂點 2 對稱性對稱群Ih 英语 Icosahedral symmetry 5 3 532旋轉對稱群 英語 Rotation groups I 5 3 532 圖像截半截角二十面體 對偶多面體 展開圖 查论编組成菱形九十面體的菱形有兩種 一種較寬 另一種較窄 6 其中 較寬的菱形有60個 較窄的菱形有30個 構成的方式有3個菱形的公共頂點 5個菱形的公共頂點和6個菱形的公共頂點 2 目录 1 性質 1 1 構造 1 2 面的組成 1 3 二面角 1 4 尺寸 2 參見 3 參考文獻 4 外部連結性質 编辑菱形九十面體由90個面 180條邊和92個頂點所組成 2 在其90個面中 有60個較寬的菱形和30個較窄的菱形 7 在其92個頂點中 有60個頂點是3個菱形的公共頂點 12個頂點是5個菱形的公共頂點和20個頂點是6個菱形的公共頂點 2 在對稱性上 菱形九十面體共有12個具有5倍對稱性的頂點 位於5個較寬之菱形的公共頂點 20個具有3倍對稱性的頂點 位於6個寬窄交替之菱形的公共頂點上 30個具有2倍對稱性的頂點 位於較窄菱形面的面心和15個鏡像平面 剩下的60個頂點是3個菱形的公共頂點則不是對稱點 5 構造 编辑 菱形九十面體可以由不均勻的截角二十面體在所有面上加上角錐 並調整錐高直到加入之角錐的側面與鄰面加入之角錐的側面共面或二面角為零為止來構造 並且確保兩種錐體 加入到截角二十面體所有面上的錐體會有五角錐和六角錐兩種 的側邊邊長相等 這種構造方式在康威多面體表示法中記為j 而截角二十面體在康威多面體表示法中記為tI 8 則菱形九十面體在康威多面體表示法中可以表示為jtI 如果構造的過程並未強制讓兩種錐體側邊邊長相等 僅受二十面體對稱性的限制 則所形成之立體中的寬菱形會變成箏形 面的組成 编辑 菱形九十面體由兩種菱形組成 其中有60個較寬的菱形和30個較窄的菱形 若菱形九十面體的邊長為單位長 則較寬的菱形寬度為 2 2 3 3 1 154700538379 displaystyle frac 2 sqrt 3 3 approx 1 154700538379 較寬的菱形長度為 2 2 6 3 1 632993161855 displaystyle frac 2 sqrt 6 3 approx 1 632993161855 較寬的菱形的對角線比為1比2的平方根 9 兩個角分別為r arccos 1 3 70 528779 和R arccos 1 3 109 471221 10 5 而較窄的菱形寬度為 2 15 3 3 0 713644179546 displaystyle frac sqrt 15 sqrt 3 3 approx 0 713644179546 較窄的菱形長度為 2 15 3 3 1 868344717925 displaystyle frac sqrt 15 sqrt 3 3 approx 1 868344717925 較窄的菱形的對角線比為1比黃金比例的平方 9 約為1 2 6180339887 兩個角分別為r arccos 5 3 displaystyle arccos left tfrac sqrt 5 3 right 41 810315 和R arccos 5 3 displaystyle arccos left tfrac sqrt 5 3 right 138 189685 10 5 二面角 编辑 菱形九十面體有兩種二面角 分別為較窄菱形面與較寬菱形面的二面角 以及較寬菱形面與較寬菱形面的二面角 其中 較窄菱形面與較寬菱形面的二面角約為157 761度 2 arccos 3 2 10 8 2 7534531382196 157 761243907 displaystyle arccos left frac 3 sqrt 2 sqrt 10 8 right approx 2 7534531382196 approx 157 761243907 circ 較寬菱形面與較寬菱形面的二面角約為164 4775度 2 arccos 1 3 5 8 2 87067413313357 164 477512186 displaystyle arccos left frac 1 3 sqrt 5 8 right approx 2 87067413313357 approx 164 477512186 circ 尺寸 编辑 若菱形九十面體的邊長為單位長 則其體積V displaystyle V 和表面積A displaystyle A 為 2 V 20 7 3 4 15 9 61 3695311951 displaystyle V frac 20 left 7 sqrt 3 4 sqrt 15 right 9 approx 61 3695311951 2 A 20 40 2 76 5685424949 displaystyle A 20 40 sqrt 2 approx 76 5685424949 11 菱形九十面體的頂點頂並未共球 因此不存在外接球 而其三種頂點分別共球 分別為三階頂點 3個菱形的公共頂點 共球 五階頂點 5個菱形的公共頂點 共球和六階頂點 6個菱形的公共頂點 共球 這些球面的半徑為 2 三階頂點 3個菱形的公共頂點 共球的球半徑為 2 21 105 6 2 4715877434859 displaystyle frac sqrt 21 sqrt 105 6 approx 2 4715877434859 dd 五階頂點 5個菱形的公共頂點 共球的球半徑為 2 30 5 5 6 2 455617365942 displaystyle frac sqrt 30 left 5 sqrt 5 right 6 approx 2 455617365942 dd 六階頂點 6個菱形的公共頂點 共球的球半徑為 2 3 5 2 2 61803398874989 displaystyle frac 3 sqrt 5 2 approx 2 61803398874989 dd 參見 编辑這是本條目的朗讀版本 信息 下载 source source 此音频文件是根據條目 菱形九十面體 2022年8月17日的修訂版本录制的 以台灣漢語朗讀 不會反映對該條目的後續編輯 媒體幫助 更多有聲條目 菱形六十面體參考文獻 编辑 PolyHedronisme 2022 08 09 原始内容存档于2022 03 31 2 00 2 01 2 02 2 03 2 04 2 05 2 06 2 07 2 08 2 09 2 10 2 11 2 12 2 13 2 14 2 15 2 16 2 17 2 18 2 19 David I McCooey Other Solids Rhombic Enneacontahedron 2022 08 09 原始内容存档于2022 08 09 Weisstein Eric W 编 Rhombic Enneacontahedron at MathWorld A Wolfram Web Resource Wolfram Research Inc 英语 Robert Webb Rhombic Enneacontahedron software3d com 2022 08 09 原始内容存档于2022 08 09 5 0 5 1 5 2 5 3 George W Hart A color matching dissection of the rhombic enneacontahedron Symmetry Culture Sci 2000 11 183 199 Soma Takashi and Watanabe Yasunari Animation of Some Truncated Polyhedrons FORMA TOKYO Citeseer 2000 15 1 67 73 Jim McNeill The Rhombic Enneacontahedron and relations rchidpalms com 2022 08 09 原始内容存档于2021 12 27 Zefiro Livio Vertex and edge truncation of the Platonic and Archimedean solids leading to vertex transitive polyhedra Visual Mathematics Mathematical Institute SASA 2011 50 2022 08 09 原始内容存档于2022 12 07 9 0 9 1 Lambert M Surhone Mariam T Tennoe Susan F Henssonow Rhombic Enneacontahedron Betascript Publishing 2010 08 18 ISBN 978 613 2 31373 7 10 0 10 1 Richard Klitzing rhombic enneacontahedron bendwavy org 2022 08 09 原始内容存档于2022 08 09 Wolfram Stephen rhombic enneacontahedron from Wolfram Alpha Computational Knowledge Engine Wolfram Research 英语 外部連結 编辑埃里克 韦斯坦因 Rhombic enneacontahedron MathWorld 取自 https zh wikipedia org w index php title 菱形九十面體 amp oldid 75224750, 维基百科，wiki ，书籍，书籍，图书馆，
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