四維多胞體

在四維幾何學中，四維多胞體又稱4-多胞形是一種位於四維空間中的多胞形^[1][2]，其為由多個多面體作為維面所構成的封閉幾何結構。這些多胞體的組成元素可分為頂點、邊、面（多邊形）、胞（多面體）。每個面都與兩個胞相鄰。四維多胞體最早由瑞士數學家路德维希·施莱夫利在1853之前發現。^[4]

四維多胞體在二維空間的類比是多邊形、在三維空間的類比是多面體。

從拓樸學的觀點來看，四維多胞體與三維堆砌體密切相關，如立方體堆砌，其為三維空間的空間填充；類似地，三維立方體也與二維的正方形鑲嵌有關。凸四維多胞體可以切割並展開維三維空間的展開圖。

定義

四維多胞體是一個封閉的四維幾何結構。其由頂點（角點）、邊、面和胞組成。胞是面的三維類比，也就是多面體。每個面必須正好連接兩個胞，類似於多面體的每條邊必須正好連接兩個面。^[5]另外，也像多面體不能被分為2個或多個同樣是多面體的子部件一樣，四維多胞體不能被分為2個或多個同樣屬於四維多胞體的集合的子部件，也就是說，其不能為複合體。

幾何

四维凸正多胞体是三維柏拉圖立體在四維空間的類比。最常見的就是超立方體，立方體的四維類比。^[6]

四维凸正多胞体可以在相同半徑的條件下，依其大小（超體積）排序。序列中每一個幾何結構都比前一個更圓、更接近超球體，在相同的半徑範圍內包圍著更大的空間 ^[7]。正五胞體是最小的情況，而正一百二十胞體是最大的情況。其結構複雜度（透過比較排佈矩陣（英语：Configuration_(polytope)）或簡單的頂點數量來衡量）也依照這個順序排列。

四維凸正多胞體
對稱群	A4	B4（英语：Hyperoctahedral_group）		F4（英语：F4 (mathematics)）	H4（英语：H4 polytope）
名稱	正五胞體 超四面體	正十六胞體 超八面體	四維超正方體 超立方體	正二十四胞體	正六百胞體 超二十面體	正一百二十胞體 超十二面體
施萊夫利符號	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
考克斯特記號
鏡像二面角	𝝅/3 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/3 𝝅/3 𝝅/4 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/4 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/3 𝝅/4 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/3 𝝅/3 𝝅/5 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/5 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2
圖
頂點	5個正四面體狀	8個正八面體狀	16個正四面體狀	24個立方體狀	120個正二十面體狀	600個正四面體狀
邊	10個正三角形分布	24個正方形分布	32個正三角形分布	96個正三角形分布	720個正五邊形分布	1200個正三角形分布
面	10個正三角形	32個正三角形	24個正方形	96個正三角形	1200個正三角形	720個正五邊形
胞	5個正四面體	16個正四面體	8個立方體	24個正八面體	600個正四面體	120個正十二面體
Tori	1個5-四面體	2個8-四面體	2個4-立方體	4個6-八面體	20個30-四面體	12個10-十二面體
大多邊形		2 𝝅/2 3個正方形	4 𝝅/2 3個矩形	4 𝝅/3 4個正六邊形	12 𝝅/5 6個十邊形	50 𝝅/15 4個十二邊形
皮特里多邊形	1個物邊形	1個八邊形	2個八邊形	2個十二邊形	4個三十邊形（英语：30-gon#Petrie polygons）	20個三十邊形（英语：30-gon#Petrie polygons）
長半徑	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
邊長	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{2}}}\approx 1.581}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.414}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi }}\approx 0.618}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi ^{2}{\sqrt {2}}}}\approx 0.270}$
短半徑	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926}$
面積	${\displaystyle 10\left({\tfrac {5{\sqrt {3}}}{8}}\right)\approx 10.825}$	${\displaystyle 32\left({\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\right)\approx 27.713}$	${\displaystyle 24}$	${\displaystyle 96\left({\sqrt {\tfrac {3}{16}}}\right)\approx 41.569}$	${\displaystyle 1200\left({\tfrac {\sqrt {3}}{4\phi ^{2}}}\right)\approx 198.48}$	${\displaystyle 720\left({\tfrac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{8\phi ^{4}}}\right)\approx 90.366}$
體積 （超表面積）	${\displaystyle 5\left({\tfrac {5{\sqrt {5}}}{24}}\right)\approx 2.329}$	${\displaystyle 16\left({\tfrac {1}{3}}\right)\approx 5.333}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 24\left({\tfrac {\sqrt {2}}{3}}\right)\approx 11.314}$	${\displaystyle 600\left({\tfrac {\sqrt {2}}{12\phi ^{3}}}\right)\approx 16.693}$	${\displaystyle 120\left({\tfrac {15+7{\sqrt {5}}}{4\phi ^{6}{\sqrt {8}}}}\right)\approx 18.118}$
超體積	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {5}}{24}}\left({\tfrac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{4}\approx 0.146}$	${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\approx 0.667}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 3.863}$	${\displaystyle {\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 4.193}$

拓樸特徵

 

四維超正方體的施萊蓋爾圖（英语：Schlegel diagram）

四維多胞體的拓樸特徵由貝蒂數和扭轉係數定義。^[8]

用於描述多面體的歐拉特徵數並不能有效地推廣到更高的維度，對於所有四維多胞體而言，無論其有合拓樸結構，歐拉特徵數的值都是零。由於歐拉特徵數無法有效地區分高維空間中不同的拓樸結構，因此導致了更複雜的貝蒂數的發現。^[8]

同樣地，多面體的定向性也不足以描述四維多胞體表面的扭曲情況，因此需要使用扭轉係數來描述。^[8]

分類

標準

四維多胞體可以依照其特性進行分類，例如凹凸性和對稱性。

• 凸的四維多胞體代表其邊界（包含胞、面和邊）不會自我相交，且任兩點連線皆位於整個幾何結構內部或正好落在其邊界上，若無法滿足上述條件則這個四維多胞體就是非凸的。自我相交的四維多胞體又被稱為四維星形多胞體，其可以視為星形多邊形和星形多面體在四維空間的類比。^[9]
• 正的四維多胞體代表其標記可以在其對稱性上傳遞，這意味著該四維多胞體所有胞全等、所有面全等、所有邊等長所有頂點圖全等，其可以視正多面體的類比。^[3]
• 半正的四維多胞體代表其具有一個所有頂點皆等價的對稱性（點可遞），且其胞都是正多面體。半正四維多胞體可以有不只一種的胞，但前提是其皆要由同一種面來構成。索羅德·戈塞特（英语：Thorold Gosset）在1900年只發現了三種半正四維多胞體，分別為截半正五胞体、截半六百胞體（英语：Rectified 600-cell）和扭稜二十四胞體（英语：Snub 24-cell）。^[10]
• 均勻的四維多胞體代表其具有一個所有頂點皆等價的對稱性，且其胞都是均勻多面體，其面也要是正多邊形。
• 三維空間的堆砌體是將三維歐幾里得空間劃分為以多面體為胞的重複性網格。這樣的空間填充是無限的，且並不具有四維超體積，是四維無限胞體的例子。均勻三維堆砌體是指頂點圖全等並與某個空间群相關聯，且其胞為均勻多面體。

類別

下面列出了依上述標準分類的四維多胞體：

 

截角正一百二十胞体是47個非柱狀四維均勻多胞體（英语：Uniform 4-polytope）之一

四維均勻多胞體（英语：Uniform 4-polytope）（點可遞）

• 四維凸均勻多胞體（64個加2個無限集合）
  • 47個非柱狀四維均勻多胞體（英语：Uniform 4-polytope），當中包括：
    • 6個四維凸正多胞體
  • 柱狀四維均勻多胞體
    • {} × {p,q}：18個多面體柱體（英语：Uniform 4-polytope#Polyhedral hyperprisms） （包括四維超正方體）
    • 基於反稜柱的柱體（無限集合）
    • {p} × {q}：四維柱體柱（無限集合）
• 四維非凸均勻多胞體（10個已知其餘數量未知）
  • 10個（正）施萊夫利-赫斯多胞體（英语：Schläfli-Hess polytope）
  • 57 個基於星形均勻多面體的四維柱。
  • 未知總數的四維非凸均勻多胞體：諾曼·詹森（英语：Norman Johnson (mathematician)）和其他合作者已經確定有2189個已知的四維非凸均勻多胞體（凸和星形，不含無限集合）皆由Stella4D軟體（英语：Stella (software)）透過頂點圖構造。^[11]

其他凸四維多胞體

• 多面體錐
• 多面體雙錐
• 多面體柱

基於歐幾里得三維堆砌體的四維均勻無限胞體

• 28個凸均勻堆砌：凸均勻多面體的空間填充，也包括：
  • 1個正空間填充，立方體堆砌：{4,3,4}

基於雙曲空間三維堆砌體的四維均勻無限胞體

• 76個威佐夫雙曲空間填充，也包括：
  • 4個正緊湊雙曲空間填充：{3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}

均勻四維多胞體對偶（胞可遞）

• 41個不相同的凸四維多胞體對偶
• 17個不相同的均勻多面體柱對偶
• 無限集合的四維柱體柱對偶（不規則四面體胞）
• 27個不相同的均勻堆砌對偶，包括：
  • 菱形十二面體堆砌
  • 複鍥形體堆砌（英语：Tetragonal disphenoid honeycomb）

其他

• 韋爾—費倫結構

四維抽象多胞形（英语：Abstract polytope）

• 四維正十一胞體
• 四維正五十七胞體

參見

• 四維凸正多胞體

參考文獻

1. Vialar, T. Complex and Chaotic Nonlinear Dynamics: Advances in Economics and Finance. Springer. 2009: 674 [2022-12-19]. ISBN 978-3-540-85977-2. （原始内容于2023-01-09）. 
2. Capecchi, V.; Contucci, P.; Buscema, M.; D'Amore, B. Applications of Mathematics in Models, Artificial Neural Networks and Arts. Springer. 2010: 598 [2022-12-19]. ISBN 978-90-481-8580-1. doi:10.1007/978-90-481-8581-8. （原始内容于2023-01-09）. 
3. Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes（英语：Regular Polytopes (book)） 3rd. New York: Dover. 1973. ISBN 0-486-61480-8. 
4. Coxeter 1973^[3], p. 141, §7-x. Historical remarks.
5. Allen Liu. Regular and Uniform Polytopes up to Four Dimensions (PDF). www.math.harvard.edu. [2022-12-23]. （原始内容 (PDF)于2021-12-01）. 
6. The Tesseract - a 4-dimensional cube. www.cut-the-knot.org. [2020-11-09]. （原始内容于2022-12-12）. 
7. Coxeter 1973^[3], pp. 292–293, Table I(ii): The sixteen regular polytopes {p,q,r} in four dimensions: [An invaluable table providing all 20 metrics of each 4-polytope in edge length units. They must be algebraically converted to compare polytopes of unit radius.]
8. Richeson, D.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topoplogy, Princeton, 2008.
9. Coxeter, H.S.M. Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ). Elemente der Mathematik. 1989, 44 (2): 25–36 [2022-12-23]. （原始内容于2022-01-30）. 
10. Gosset, Thorold（英语：Thorold Gosset）. On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions. Messenger of Mathematics (Macmillan). 1900. 
11. Uniform Polychora （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Norman W. Johnson (Wheaton College), 1845 cases in 2005