傅里叶变换

傅里叶变换（法語：Transformation de Fourier，英語：Fourier transform，缩写：FT）是一种线性积分变换，用于函数（应用上称作「信号」）在时域和频域之间的变换。因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。

傅里叶变换在物理学和工程学中有许多应用。傅里叶变换的作用是将函数分解为不同特征的正弦函数的和，如同化学分析来分析一个化合物的元素成分。对于一个函数，也可对其进行分析，来确定组成它的基本（正弦函数）成分。^[1]

经过傅里叶变换生成的函数 ${\displaystyle {\hat {f}}}$ 称作原函数 ${\displaystyle f}$ 的傅里叶变换，应用意义上称作频谱。在特定情況下，傅里叶变换是可逆的，即将 ${\displaystyle {\hat {f}}}$ 通过逆变换可以得到其原函数 ${\displaystyle f}$。通常情况下，${\displaystyle f}$ 是一个实函数，而 ${\displaystyle {\hat {f}}}$ 则是一个复数值函数，其函数值作为复数可同时表示振幅和相位。高斯函数是傅里叶变换的本征函数。

定义

主条目：连续傅里叶变换

一般情况下，若「傅里叶变换」一词不加任何限定语，则指的是「连续傅里叶变换」（连续函数的傅里叶变换）。定义傅里叶变换有许多不同的方式。本文中采用如下的定义：（连续）傅里叶变换将可积函数 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} }$ 表示成复指数函数的积分形式或级数形式。

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-2\pi ix\xi }\,dx}$ ，${\displaystyle \xi }$  为任意实数。${\displaystyle \xi }$  的定义域为频域。

若约定自变量 ${\displaystyle x}$  表示时间（以秒为单位），变换变量${\displaystyle \xi }$  表示频率（以赫兹为单位）。在适当条件下，${\displaystyle {\hat {f}}}$ 可由逆傅里叶变换（inverse Fourier transform）由下式得到${\displaystyle f}$ ：

${\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )\ e^{2\pi i\xi x}\,d\xi }$ ，${\displaystyle x}$  为任意实数。${\displaystyle x}$  的定义域为时域。

傅里叶逆定理表明 ${\displaystyle f}$  可由${\displaystyle {\hat {f}}}$ 确定，傅里叶在其1822年出版的著作《热分析理论^[2]》（法語：Théorie analytique de la chaleur）中首次引入这个定理。虽然现在标准下的证明直到很久以后才出现。${\displaystyle f}$  和${\displaystyle {\hat {f}}}$  常常被称为傅里叶积分对 或傅里叶变换对。

简介

参见：傅里叶变换家族中的关系

 

傅里叶变换将函数的时域（红色）与频域（蓝色）相关联。频谱中的不同成分频率在频域中以峰值形式表示。

傅里叶变换源自对傅里叶级数的研究。在对傅里叶级数的研究中，复杂的周期函数可以用一系列简单的正弦或余弦波之和表示。傅里叶变换是对傅里叶级数的扩展，由它表示的函数的周期趋近于无穷。

应用

傅里叶变换在医学、数据科学、物理学、声学、光学、结构力学、量子力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、大氣科學、海洋学、通讯、金融等领域都有着广泛的应用。例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将复杂的信号分解成具有不同振幅的单一频率分量，并以此实现滤波等操作；进一步的，量子力学中位置空间的波函数的傅里叶变换是动量空间的波函数。

基本性质

线性性质

两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和。严格数学描述是：若函数${\displaystyle f\left(x\right)}$ 和${\displaystyle g\left(x\right)}$ 的傅里叶变换${\displaystyle {\mathcal {F}}[f]}$ 和${\displaystyle {\mathcal {F}}[g]}$ 都存在，${\displaystyle \alpha }$ 和${\displaystyle \beta }$ 为任意常系数，则${\displaystyle {\mathcal {F}}[\alpha f+\beta g]=\alpha {\mathcal {F}}[f]+\beta {\mathcal {F}}[g]}$ ；傅里叶变换算符${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 可经归一化成为幺正算符。

平移性质

若函数${\displaystyle f\left(x\right)}$ 存在傅里叶变换，则对任意实数${\displaystyle \omega _{0}}$ ，函数${\displaystyle f(x)e^{i\omega _{0}x}}$ 也存在傅里叶变换，且有${\displaystyle {\mathcal {F}}[f(x)e^{i\omega _{0}x}]={\hat {f}}(\omega -\omega _{0})}$ 。式中花体 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  是傅里叶变换的作用算子，平体 ${\displaystyle {\hat {f}}}$  表示变换的结果（复函数），${\displaystyle e}$ 为自然对数的底，${\displaystyle i}$ 为虚数单位${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ 。

微分关系

若函数${\displaystyle f\left(x\right)}$ 当${\displaystyle |x|\rightarrow \infty }$ 时的极限为0，且其导函数${\displaystyle f'(x)}$ 的傅里叶变换存在，则有${\displaystyle {\mathcal {F}}[f'(x)]=i\omega {\mathcal {F}}[f(x)]}$ ，即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子${\displaystyle i\omega }$ 。更一般地，若${\displaystyle f(\pm \infty )=f'(\pm \infty )=\ldots =f^{(k-1)}(\pm \infty )=0}$ ，且${\displaystyle {\mathcal {F}}[f^{(k)}(x)]}$ 存在，则${\displaystyle {\mathcal {F}}[f^{(k)}(x)]=(i\omega )^{k}{\mathcal {F}}[f]}$ ，即函数k阶导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子${\displaystyle (i\omega )^{k}}$ 。

卷积特性

若函数${\displaystyle f\left(x\right)}$ 及${\displaystyle g\left(x\right)}$ 都在${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$ 上绝对可积，则卷积函数${\displaystyle f*g=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x-\xi )g(\xi )d\xi }$ （或者${\displaystyle f*g=\int _{-\infty }^{+\infty }f(\xi )g(x-\xi )d\xi }$ ）的傅里叶变换存在，且${\displaystyle {\mathcal {F}}[f*g]={\mathcal {F}}[f]\cdot {\mathcal {F}}[g]}$ 。卷积性质的逆形式为${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}[F(\omega )*G(\omega )]=2\pi {\mathcal {F}}^{-1}[F(\omega )]\cdot {\mathcal {F}}^{-1}[G(\omega )]}$ ，即两个函数的卷积的傅里叶逆变换等于两函数各自的傅里叶逆变换的乘积乘以${\displaystyle 2\pi }$ 。

帕塞瓦尔定理

若函数${\displaystyle f\left(x\right)}$ 可积且平方可积，则${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f^{2}(x)dx={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }|F(\omega )|^{2}d\omega }$ 。其中${\displaystyle F\left(\omega \right)}$ 是${\displaystyle f\left(x\right)}$ 的傅里叶变换。

更一般化而言，若函数${\displaystyle f\left(x\right)}$ 和${\displaystyle g\left(x\right)}$ 皆為平方可積函數，则${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)g^{*}(x)dx={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }F(\omega )G^{*}(\omega )d\omega }$ 。其中${\displaystyle F\left(\omega \right)}$ 和${\displaystyle G\left(\omega \right)}$ 分别是${\displaystyle f\left(x\right)}$ 和${\displaystyle g\left(x\right)}$ 的傅里叶变换, ${\displaystyle *}$ 代表複共軛。

傅里叶变换的不同变种

傅里叶变换也可以写成角频率形式： ω = 2πξ其单位是弧度每秒。

应用ξ=ω/（2π）到上述公式会成为下面的形式：

${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int _{\mathbf {R} ^{n}}f(x)e^{-i\omega \cdot x}\,dx.}$ 

根据这一形式，（傅里叶）逆变换变为：

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbf {R} ^{n}}{\hat {f}}(\omega )e^{i\omega \cdot x}\,d\omega .}$ 

若不按照本文中使用的，而像这样定义傅里叶变换，那它将不再是L²(Rⁿ)上的一个么正变换 。另外这样的定义也使傅里叶变换与其逆变换显得不太对称。

另一个形式是把(2π)ⁿ均匀地分开给傅里叶变换和逆变换，即定义为：

${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbf {R} ^{n}}f(x)e^{-i\omega \cdot x}\,dx}$ 

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbf {R} ^{n}}{\hat {f}}(\omega )e^{i\omega \cdot x}\,d\omega .}$ 

根据这一形式，傅里叶变换是再次成为L²(Rⁿ)上的一个幺正变换。它也恢复了傅里叶变换和逆变换之间的对称。

所有三种形式的变化可以通过对正向和反向变换的复指数核取共轭来实现。核函数的符号必须是相反的。除此之外，选择是习惯问题。

常用的傅里叶变换形式总结

普通频率ξ（ 赫兹）	么正变换	${\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}_{1}(\xi )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{\mathbf {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \xi }\,dx={\hat {f}}_{2}(2\pi \xi )=(2\pi )^{n/2}{\hat {f}}_{3}(2\pi \xi )}$  ${\displaystyle \displaystyle f(x)=\int _{\mathbf {R} ^{n}}{\hat {f}}_{1}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }\,d\xi \ }$
角频率ω（ 弧度/秒）	非么正变换	${\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}_{2}(\omega )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\int _{\mathbf {R} ^{n}}f(x)e^{-i\omega \cdot x}\,dx\ ={\hat {f}}_{1}\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)=(2\pi )^{n/2}\ {\hat {f}}_{3}(\omega )}$  ${\displaystyle \displaystyle f(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbf {R} ^{n}}{\hat {f}}_{2}(\omega )e^{i\omega \cdot x}\,d\omega \ }$
	么正变换	${\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}_{3}(\omega )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbf {R} ^{n}}f(x)\ e^{-i\omega \cdot x}\,dx={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}{\hat {f}}_{1}\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}{\hat {f}}_{2}(\omega )}$  ${\displaystyle \displaystyle f(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int _{\mathbf {R} ^{n}}{\hat {f}}_{3}(\omega )e^{i\omega \cdot x}\,d\omega \ }$

如上所讨论的，一个随机变量的特征函数是相同的傅里叶变换斯蒂尔切斯其分布的测量，但在这种情况下它是典型采取不同的惯例为常数。通常情况下特征函数的定义${\displaystyle E(e^{it\cdot X})=\int e^{it\cdot x}d\mu _{X}(x)}$ 

在上面“非统一角频率”形式的情况下，存在的2π无因子出现在任一积分的，或在指数。不同于任何约定的上面出现的，本公约采取的指数符号相反。

傅里叶级数

主条目：傅里叶级数

连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数（Fourier series）的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，其傅里叶级数是存在的：

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }F_{n}\,e^{inx},}$ 

其中${\displaystyle F_{n}}$ 为复振幅。对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成：

${\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\right]}$ 

其中a_n和b_n是实频率分量的振幅。

傅里叶分析最初是研究周期性现象，即傅里叶级数的，后来通过傅里叶变换将其推广到了非周期性现象。理解这种推广过程的一种方式是将非周期性现象视为周期性现象的一个特例，即其周期为无限长。

离散时间傅里叶变换

主条目：离散时间傅里叶变换

离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换（DTFT）的特例（有时作为后者的近似）。DTFT在时域上离散，在频域上则是周期的。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆轉換。

离散傅里叶变换

主条目：离散傅里叶变换

为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数x_n定义在离散点而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。这种情况下，使用离散傅里叶变换，将函数x_n表示为下面的求和形式：

${\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}e^{-i{\frac {2\pi }{N}}kn}\qquad k=0,\dots ,N-1}$ 

其中${\displaystyle X_{k}}$ 是傅里叶振幅。直接使用这个公式计算的计算复杂度为${\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{2})}$ ，而快速傅里叶变换（FFT）可以将复杂度改进为${\displaystyle {\mathcal {O}}(n\log n)}$ 。计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。

在阿贝尔群上的统一描述

以上的傅里叶变换都可以被统一描述为任意局部紧致的阿贝尔群上的傅里叶变换。这一问题属于调和分析的范畴。在调和分析中，一个变换从一个群变换到它的对偶群（dual group）。此外，将傅里叶变换与卷积相联系的卷积定理在调和分析中也有类似的结论。傅里叶变换的广义理论基础参见庞特里亚金对偶性（Pontryagin duality）中的介绍。

时频分析变换

主条目：时频分析变换

小波变换，Chirplet变换和分数傅里叶变换的都是为了得到时间信号的频率信息。同时解析频率和时间的能力在数学上受不确定性原理的限制。

傅里叶变换家族

主条目：傅立叶变换家族中的关系

下表列出了傅里叶变换家族的成员。容易发现，函数在时（频）域的离散对应于其像函数在频（时）域的周期性。反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性。下表给出详细的情形：

变换	时间	频率
连续傅里叶变换	連續，非週期性	連續，非週期性
傅里叶级数	連續，週期性	離散，非週期性
离散时间傅里叶变换	離散，非週期性	連續，週期性
离散傅里叶变换	離散，週期性	離散，週期性

常用傅里叶变换表

下面的表记录了一些封闭形式的傅立叶变换。对于函数${\displaystyle f(x)}$ , ${\displaystyle g(x)}$ 和${\displaystyle g(x)}$ ，它们的傅立叶变换分别表示为${\displaystyle {\hat {f}}}$ , ${\displaystyle {\hat {g}}}$  和${\displaystyle {\hat {h}}}$ 。只包含了三种最常见的形式。注意条目105给出了一个函数的傅里叶变换与其原函数，这可以看作是傅里叶变换及其逆变换的关系。

函数关系

下表列出的常用的傅里叶变换对可以在Erdélyi (1954)或Kammler (2000，appendix)中找到。

	函数	傅立叶变换 么正，普通的频率	傅立叶变换 么正，角频率	傅立叶变换 非么正，角频率	注释
	${\displaystyle \displaystyle f(x)\,}$	${\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(\xi )=}$  ${\displaystyle \displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx}$	${\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(\omega )=}$  ${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx}$	${\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(\nu )=}$  ${\displaystyle \displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\nu x}\,dx}$	基本定义
101	${\displaystyle \displaystyle a\cdot f(x)+b\cdot g(x)\,}$	${\displaystyle \displaystyle a\cdot {\hat {f}}(\xi )+b\cdot {\hat {g}}(\xi )\,}$	${\displaystyle \displaystyle a\cdot {\hat {f}}(\omega )+b\cdot {\hat {g}}(\omega )\,}$	${\displaystyle \displaystyle a\cdot {\hat {f}}(\nu )+b\cdot {\hat {g}}(\nu )\,}$	线性性质
102	${\displaystyle \displaystyle f(x-a)\,}$	${\displaystyle \displaystyle e^{-2\pi ia\xi }{\hat {f}}(\xi )\,}$	${\displaystyle \displaystyle e^{-ia\omega }{\hat {f}}(\omega )\,}$	${\displaystyle \displaystyle e^{-ia\nu }{\hat {f}}(\nu )\,}$	时域平移
103	${\displaystyle \displaystyle e^{2\pi iax}f(x)\,}$	${\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}\left(\xi -a\right)\,}$	${\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(\omega -2\pi a)\,}$	${\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(\nu -2\pi a)\,}$	频域平移，变换102的频域对应
104	${\displaystyle \displaystyle f(ax)\,}$	${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\xi }{a}}\right)\,}$	${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,}$	${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\nu }{a}}\right)\,}$	在时域中定标。如果${\displaystyle \displaystyle |a|\,}$ 值较大，则${\displaystyle \displaystyle f(ax)\,}$ 会收缩到原点附近，而${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,}$ 会扩散并变得扁平。当${\displaystyle \displaystyle |a|\,}$ 趋向无穷时，${\displaystyle \displaystyle f(ax)\,}$ 成为狄拉克δ函数。
105	${\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(x)\,}$	${\displaystyle \displaystyle f(-\xi )\,}$	${\displaystyle \displaystyle f(-\omega )\,}$	${\displaystyle \displaystyle 2\pi f(-\nu )\,}$	傅里叶变换的二元性性质。这里${\displaystyle {\hat {f}}}$ 的计算需要运用与傅里叶变换那一列同样的方法。通过交换变量${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle \xi }$ 或${\displaystyle \omega }$ 或${\displaystyle \nu }$ 得到。
106	${\displaystyle \displaystyle {\frac {d^{n}f(x)}{dx^{n}}}\,}$	${\displaystyle \displaystyle (2\pi i\xi )^{n}{\hat {f}}(\xi )\,}$	${\displaystyle \displaystyle (i\omega )^{n}{\hat {f}}(\omega )\,}$	${\displaystyle \displaystyle (i\nu )^{n}{\hat {f}}(\nu )\,}$	傅里叶变换的微分性质
107	${\displaystyle \displaystyle x^{n}f(x)\,}$	${\displaystyle \displaystyle \left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}{\frac {d^{n}{\hat {f}}(\xi )}{d\xi ^{n}}}\,}$	${\displaystyle \displaystyle i^{n}{\frac {d^{n}{\hat {f}}(\omega )}{d\omega ^{n}}}}$	${\displaystyle \displaystyle i^{n}{\frac {d^{n}{\hat {f}}(\nu )}{d\nu ^{n}}}}$	变换106的频域对应
108	${\displaystyle \displaystyle (f*g)(x)\,}$	${\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(\xi ){\hat {g}}(\xi )\,}$	${\displaystyle \displaystyle {\sqrt {2\pi }}{\hat {f}}(\omega ){\hat {g}}(\omega )\,}$	${\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(\nu ){\hat {g}}(\nu )\,}$	记号${\displaystyle \displaystyle f*g\,}$ 表示${\displaystyle f}$ 和${\displaystyle g}$ 的卷积—这就是卷积定理
109	${\displaystyle \displaystyle f(x)g(x)\,}$	${\displaystyle \displaystyle ({\hat {f}}*{\hat {g}})(\xi )\,}$	${\displaystyle \displaystyle ({\hat {f}}*{\hat {g}})(\omega ) \over {\sqrt {2\pi }}\,}$	${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{2\pi }}({\hat {f}}*{\hat {g}})(\nu )\,}$	变换108的频域对应。
110	当${\displaystyle \displaystyle f(x)}$ 是实变函数	${\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(-\xi )={\overline {{\hat {f}}(\xi )}}\,}$	${\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(-\omega )={\overline {{\hat {f}}(\omega )}}\,}$	${\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(-\nu )={\overline {{\hat {f}}(\nu )}}\,}$	埃尔米特对称。${\displaystyle \displaystyle {\overline {z}}\,}$ 表示复共轭。
111	当${\displaystyle \displaystyle f(x)}$ 是实偶函数	${\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(\omega )}$ , ${\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(\xi )}$ 和${\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(\nu )\,}$ 都是实偶函数。
112	当${\displaystyle \displaystyle f(x)}$ 是实奇函数	${\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(\omega )}$ , ${\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(\xi )}$ 和${\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(\nu )}$ 都是虚奇函数。
113	${\displaystyle \displaystyle {\overline {f(x)}}}$	${\displaystyle \displaystyle {\overline {{\hat {f}}(-\xi )}}}$	${\displaystyle \displaystyle {\overline {{\hat {f}}(-\omega )}}}$	${\displaystyle \displaystyle {\overline {{\hat {f}}(-\nu )}}}$	复共轭，110的一般化

平方可积函数

	时域信号	角频率表示的 傅里叶变换	弧频率表示的 傅里叶变换	注释
	${\displaystyle g(t)\!\equiv \!}$  ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\!G(\omega )e^{i\omega t}\mathrm {d} \omega \,}$	${\displaystyle G(\omega )\!\equiv \!}$  ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\!g(t)e^{-i\omega t}\mathrm {d} t\,}$	${\displaystyle G(f)\!\equiv }$  ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\!\!g(t)e^{-i2\pi ft}\mathrm {d} t\,}$
10	${\displaystyle \mathrm {rect} (at)\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {f}{a}}\right)}$	矩形脉冲和归一化的sinc函数
11	${\displaystyle \mathrm {sinc} (at)\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\cdot \mathrm {rect} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\cdot \mathrm {rect} \left({\frac {f}{a}}\right)\,}$	变换10的频域对应。矩形函数是理想的低通滤波器，sinc函数是这类滤波器对反因果冲击的响应。
12	${\displaystyle \mathrm {sinc} ^{2}(at)\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\cdot \mathrm {tri} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\cdot \mathrm {tri} \left({\frac {f}{a}}\right)}$	tri是三角形函数
13	${\displaystyle \mathrm {tri} (at)\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\cdot \mathrm {sinc} ^{2}\left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {1}{|a|}}\cdot \mathrm {sinc} ^{2}\left({\frac {f}{a}}\right)\,}$	变换12的频域对应
14	${\displaystyle e^{-\alpha t^{2}}\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\alpha }}}\cdot e^{-{\frac {\omega ^{2}}{4\alpha }}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}\cdot e^{-{\frac {(\pi f)^{2}}{\alpha }}}}$	高斯函数${\displaystyle \exp(-\alpha t^{2})}$ 的傅里叶变换是其本身；只有当${\displaystyle \mathrm {Re} (\alpha )>0}$ 时，该函数可积的
15	${\displaystyle e^{iat^{2}}=\left.e^{-\alpha t^{2}}\right|_{\alpha =-ia}\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2a}}}\cdot e^{-i\left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\cdot e^{-i\left({\frac {\pi ^{2}f^{2}}{a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}}$	光学领域应用较多
16	${\displaystyle \cos(at^{2})\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2a}}}\cos \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\cos \left({\frac {\pi ^{2}f^{2}}{a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}$
17	${\displaystyle \sin(at^{2})\,}$	${\displaystyle {\frac {-1}{\sqrt {2a}}}\sin \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\sin \left({\frac {\pi ^{2}f^{2}}{a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}$
18	${\displaystyle \mathrm {e} ^{-a|t|}\,}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cdot {\frac {a}{a^{2}+\omega ^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {2a}{a^{2}+4\pi ^{2}f^{2}}}}$	a>0
19	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {|t|}}}\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {|\omega |}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {|f|}}}}$	变换本身就是一个公式
20	${\displaystyle J_{0}(t)\,}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cdot {\frac {\mathrm {rect} \left({\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {2\cdot \mathrm {rect} (\pi f)}{\sqrt {1-4\pi ^{2}f^{2}}}}}$	J0(t)是0阶第一类贝塞尔函数。
21	${\displaystyle J_{n}(t)\,}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {(-i)^{n}T_{n}(\omega )\mathrm {rect} \left({\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {2(-i)^{n}T_{n}(2\pi f)\mathrm {rect} (\pi f)}{\sqrt {1-4\pi ^{2}f^{2}}}}}$	上一个变换的推广形式; Tn (t)是第一类切比雪夫多项式。
22	${\displaystyle {\frac {J_{n}(t)}{t}}\,}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {i}{n}}(-i)^{n}\cdot U_{n-1}(\omega )\,}$    ${\displaystyle \cdot \ {\sqrt {1-\omega ^{2}}}\mathrm {rect} \left({\frac {\omega }{2}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {2\mathrm {i} }{n}}(-i)^{n}\cdot U_{n-1}(2\pi f)\,}$    ${\displaystyle \cdot \ {\sqrt {1-4\pi ^{2}f^{2}}}\mathrm {rect} (\pi f)}$	Un (t)是第二类切比雪夫多项式。

分布

	时域信号	角频率表示的 傅里叶变换	弧频率表示的 傅里叶变换	注释
	${\displaystyle g(t)\!\equiv \!}$  ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\!G(\omega )e^{i\omega t}d\omega \,}$	${\displaystyle G(\omega )\!\equiv \!}$  ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\!g(t)e^{-i\omega t}dt\,}$	${\displaystyle G(f)\!\equiv }$  ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\!\!g(t)e^{-i2\pi ft}dt\,}$	基本定义
23	${\displaystyle 1\,}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\cdot \delta (\omega )\,}$	${\displaystyle \delta (f)\,}$	${\displaystyle \delta (\omega )}$ 代表狄拉克δ函数分布.这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换
24	${\displaystyle \delta (t)\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,}$	${\displaystyle 1\,}$	变换23的频域对应
25	${\displaystyle e^{iat}\,}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\cdot \delta (\omega -a)\,}$	${\displaystyle \delta (f-{\frac {a}{2\pi }})\,}$	由变换103和23得到
26	${\displaystyle \cos(at)\,}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega \!-\!a)\!+\!\delta (\omega \!+\!a)}{2}}\,}$	${\displaystyle {\frac {\delta (f\!-\!{\begin{matrix}{\frac {a}{2\pi }}\end{matrix}})\!+\!\delta (f\!+\!{\begin{matrix}{\frac {a}{2\pi }}\end{matrix}})}{2}}\,}$	由变换101和25得到，应用了欧拉公式：${\displaystyle \cos(at)=(e^{iat}+e^{-iat})/2.}$
27	${\displaystyle \sin(at)\,}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega \!-\!a)\!-\!\delta (\omega \!+\!a)}{2i}}\,}$	${\displaystyle {\frac {\delta (f\!-\!{\begin{matrix}{\frac {a}{2\pi }}\end{matrix}})\!-\!\delta (f\!+\!{\begin{matrix}{\frac {a}{2\pi }}\end{matrix}})}{2i}}\,}$	由变换101和25得到
28	${\displaystyle t^{n}\,}$	${\displaystyle i^{n}{\sqrt {2\pi }}\delta ^{(n)}(\omega )\,}$	${\displaystyle \left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}\delta ^{(n)}(f)\,}$	这里, ${\displaystyle n}$ 是一个自然数. ${\displaystyle \delta ^{(n)}(\omega )}$ 是狄拉克δ函数分布的${\displaystyle n}$ 阶微分。这个变换是根据变换107和24得到的。将此变换与101结合使用，我们可以变换所有多項式函数。
29	${\displaystyle {\frac {1}{t}}\,}$	${\displaystyle -i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sgn}(\omega )\,}$	${\displaystyle -i\pi \cdot \operatorname {sgn}(f)\,}$	此处${\displaystyle \operatorname {sgn}(\omega )}$ 为符号函数；注意此变换与变换107和24是一致的.
30	${\displaystyle {\frac {1}{t^{n}}}\,}$	${\displaystyle -i{\begin{matrix}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\end{matrix}}\operatorname {sgn}(\omega )\,}$	${\displaystyle -i\pi {\begin{matrix}{\frac {(-i2\pi f)^{n-1}}{(n-1)!}}\end{matrix}}\operatorname {sgn}(f)\,}$	变换29的推广
31	${\displaystyle \operatorname {sgn}(t)\,}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cdot {\frac {1}{i\ \omega }}\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{i\pi f}}\,}$	变换29的频域对应
32	${\displaystyle u(t)\,}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {1}{i\pi \omega }}+\delta (\omega )\right)\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{i\pi f}}+\delta (f)\right)\,}$	此处${\displaystyle u(t)}$ 是单位阶跃函数;此变换根据变换101和31得到.
33	${\displaystyle e^{-at}u(t)\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}(a+i\omega )}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{a+i2\pi f}}}$	${\displaystyle u(t)}$ 是单位阶跃函数，且${\displaystyle a>0}$ .
34	${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\,}$	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\end{matrix}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -k{\begin{matrix}{\frac {2\pi }{T}}\end{matrix}}\right)\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {k}{T}}\right)\,}$	狄拉克梳状函数（英语：Dirac comb）——有助于解释或理解从连续到离散时间的转变.

二元函数

	时域信号	傅立叶变换 单一，普通频率	傅立叶变换 么正，角频率	傅立叶变换 非么正，角频率
400	${\displaystyle \displaystyle f(x,y)}$	${\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(\xi _{x},\xi _{y})=}$  ${\displaystyle \displaystyle \iint f(x,y)e^{-2\pi i(\xi _{x}x+\xi _{y}y)}\,dx\,dy}$	${\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(\omega _{x},\omega _{y})=}$  ${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\iint f(x,y)e^{-i(\omega _{x}x+\omega _{y}y)}\,dx\,dy}$	${\displaystyle \displaystyle {\hat {f}}(\nu _{x},\nu _{y})=}$  ${\displaystyle \displaystyle \iint f(x,y)e^{-i(\nu _{x}x+\nu _{y}y)}\,dx\,dy}$
401	${\displaystyle \displaystyle e^{-\pi \left(a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}\right)}}$	${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{|ab|}}e^{-\pi \left(\xi _{x}^{2}/a^{2}+\xi _{y}^{2}/b^{2}\right)}}$	${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{2\pi \cdot |ab|}}e^{\frac {-\left(\omega _{x}^{2}/a^{2}+\omega _{y}^{2}/b^{2}\right)}{4\pi }}}$	${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{|ab|}}e^{\frac {-\left(\nu _{x}^{2}/a^{2}+\nu _{y}^{2}/b^{2}\right)}{4\pi }}}$
402	${\displaystyle \displaystyle \mathrm {circ} ({\sqrt {x^{2}+y^{2}}})}$	${\displaystyle \displaystyle {\frac {J_{1}\left(2\pi {\sqrt {\xi _{x}^{2}+\xi _{y}^{2}}}\right)}{\sqrt {\xi _{x}^{2}+\xi _{y}^{2}}}}}$	${\displaystyle \displaystyle {\frac {J_{1}\left({\sqrt {\omega _{x}^{2}+\omega _{y}^{2}}}\right)}{\sqrt {\omega _{x}^{2}+\omega _{y}^{2}}}}}$	${\displaystyle \displaystyle {\frac {2\pi J_{1}\left({\sqrt {\nu _{x}^{2}+\nu _{y}^{2}}}\right)}{\sqrt {\nu _{x}^{2}+\nu _{y}^{2}}}}}$

注释

400： 变量${\displaystyle \xi _{x}}$ 、${\displaystyle \xi _{y}}$ 、${\displaystyle \omega _{x}}$ 、${\displaystyle \omega _{y}}$ 、${\displaystyle \nu _{x}}$ 、${\displaystyle \nu _{y}}$ 为实数。二重积分是对整个平面积分。

401： 这两个函数都是高斯函数，而且可能不具有单位体积。

402： 此圆有单位半径，如果把 ${\displaystyle {\text{circ}}(t)}$ 认作阶梯函数 ${\displaystyle u(1-t)}$ ; Airy分布用 ${\displaystyle J_{1}}$ （一阶第一类贝塞尔函数）表达。（Stein & Weiss 1971，Thm. IV.3.3）

三元函数

时域信号	角频率表示的 傅里叶变换	弧频率表示的 傅里叶变换	注释
${\displaystyle \mathrm {circ} ({\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}})}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cdot {\frac {\sin[\omega ]-2\pi f_{r}\cos[\omega ]}{\omega ^{3}}}}$ 十二月 31, 2023 最新的文章 一月 01, 1970 賈知時 一月 01, 1970 賈翽梧 一月 01, 1970 賈羅 (英國國會選區) 一月 01, 1970 賈維爾 一月 01, 1970 賈凡 (歌手) 一月 01, 1970 賈啓 一月 01, 1970 賈天爵 一月 01, 1970 賈夫納 一月 01, 1970 賈姬·伊凡柯 一月 01, 1970 賈循 閱讀最多 一月 01, 1970 许荣茂 一月 01, 1970 许胜 一月 01, 1970 许茂和他的女儿们 一月 01, 1970 许进林 一月 01, 1970 许钟英 傅里叶变换, 此條目需要补充更多来源, 2019年10月29日, 请协助補充多方面可靠来源以改善这篇条目, 无法查证的内容可能會因為异议提出而被移除, 致使用者, 请搜索一下条目的标题, 来源搜索, 网页, 新闻, 书籍, 学术, 图像, 以检查网络上是否存在该主题的更多可靠来源, 判定指引, 此条目讀起來像評論, 須要清理, 2019年10月29日, 請幫助改进條目以使其語氣中立, 且符合维基百科的品質標準, 法語, transformation, fourier, 英語, fourier, transform,. 此條目需要补充更多来源 2019年10月29日 请协助補充多方面可靠来源以改善这篇条目 无法查证的内容可能會因為异议提出而被移除 致使用者 请搜索一下条目的标题 来源搜索 傅里叶变换 网页 新闻 书籍 学术 图像 以检查网络上是否存在该主题的更多可靠来源 判定指引 此条目讀起來像評論 須要清理 2019年10月29日 請幫助改进條目以使其語氣中立 且符合维基百科的品質標準 傅里叶变换 法語 Transformation de Fourier 英語 Fourier transform 缩写 FT 是一种线性积分变换 用于函数 应用上称作 信号 在时域和频域之间的变换 因其基本思想首先由法国学者约瑟夫 傅里叶系统地提出 所以以其名字来命名以示纪念 傅里叶变换在物理学和工程学中有许多应用 傅里叶变换的作用是将函数分解为不同特征的正弦函数的和 如同化学分析来分析一个化合物的元素成分 对于一个函数 也可对其进行分析 来确定组成它的基本 正弦函数 成分 1 经过傅里叶变换生成的函数 f displaystyle hat f 称作原函数 f displaystyle f 的傅里叶变换 应用意义上称作频谱 在特定情況下 傅里叶变换是可逆的 即将 f displaystyle hat f 通过逆变换可以得到其原函数 f displaystyle f 通常情况下 f displaystyle f 是一个实函数 而 f displaystyle hat f 则是一个复数值函数 其函数值作为复数可同时表示振幅和相位 高斯函数是傅里叶变换的本征函数 目录 1 定义 2 简介 3 应用 4 基本性质 4 1 线性性质 4 2 平移性质 4 3 微分关系 4 4 卷积特性 4 5 帕塞瓦尔定理 5 傅里叶变换的不同变种 5 1 傅里叶级数 5 2 离散时间傅里叶变换 5 3 离散傅里叶变换 5 4 在阿贝尔群上的统一描述 5 5 时频分析变换 5 6 傅里叶变换家族 6 常用傅里叶变换表 6 1 函数关系 6 2 平方可积函数 6 3 分布 6 4 二元函数 6 5 三元函数 7 参见 8 參考資料 8 1 引用 8 2 来源 9 外部連結定义 编辑主条目 连续傅里叶变换 一般情况下 若 傅里叶变换 一词不加任何限定语 则指的是 连续傅里叶变换 连续函数的傅里叶变换 定义傅里叶变换有许多不同的方式 本文中采用如下的定义 连续 傅里叶变换将可积函数 f R C displaystyle f mathbb R rightarrow mathbb C nbsp 表示成复指数函数的积分形式或级数形式 f 3 f x e 2 p i x 3 d x displaystyle hat f xi int infty infty f x e 2 pi ix xi dx nbsp 3 displaystyle xi nbsp 为任意实数 3 displaystyle xi nbsp 的定义域为频域 若约定自变量 x displaystyle x nbsp 表示时间 以秒为单位 变换变量3 displaystyle xi nbsp 表示频率 以赫兹为单位 在适当条件下 f displaystyle hat f nbsp 可由逆傅里叶变换 inverse Fourier transform 由下式得到f displaystyle f nbsp f x f 3 e 2 p i 3 x d 3 displaystyle f x int infty infty hat f xi e 2 pi i xi x d xi nbsp x displaystyle x nbsp 为任意实数 x displaystyle x nbsp 的定义域为时域 傅里叶逆定理表明 f displaystyle f nbsp 可由f displaystyle hat f nbsp 确定 傅里叶在其1822年出版的著作 热分析理论 2 法語 Theorie analytique de la chaleur 中首次引入这个定理 虽然现在标准下的证明直到很久以后才出现 f displaystyle f nbsp 和f displaystyle hat f nbsp 常常被称为傅里叶积分对 或傅里叶变换对 简介 编辑参见 傅里叶变换家族中的关系 nbsp 傅里叶变换将函数的时域 红色 与频域 蓝色 相关联 频谱中的不同成分频率在频域中以峰值形式表示 傅里叶变换源自对傅里叶级数的研究 在对傅里叶级数的研究中 复杂的周期函数可以用一系列简单的正弦或余弦波之和表示 傅里叶变换是对傅里叶级数的扩展 由它表示的函数的周期趋近于无穷 应用 编辑傅里叶变换在医学 数据科学 物理学 声学 光学 结构力学 量子力学 数论 组合数学 概率论 统计学 信号处理 密码学 大氣科學 海洋学 通讯 金融等领域都有着广泛的应用 例如在信号处理中 傅里叶变换的典型用途是将复杂的信号分解成具有不同振幅的单一频率分量 并以此实现滤波等操作 进一步的 量子力学中位置空间的波函数的傅里叶变换是动量空间的波函数 基本性质 编辑线性性质 编辑 两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和 严格数学描述是 若函数f x displaystyle f left x right nbsp 和g x displaystyle g left x right nbsp 的傅里叶变换F f displaystyle mathcal F f nbsp 和F g displaystyle mathcal F g nbsp 都存在 a displaystyle alpha nbsp 和b displaystyle beta nbsp 为任意常系数 则F a f b g a F f b F g displaystyle mathcal F alpha f beta g alpha mathcal F f beta mathcal F g nbsp 傅里叶变换算符F displaystyle mathcal F nbsp 可经归一化成为幺正算符 平移性质 编辑 若函数f x displaystyle f left x right nbsp 存在傅里叶变换 则对任意实数w 0 displaystyle omega 0 nbsp 函数f x e i w 0 x displaystyle f x e i omega 0 x nbsp 也存在傅里叶变换 且有F f x e i w 0 x f w w 0 displaystyle mathcal F f x e i omega 0 x hat f omega omega 0 nbsp 式中花体 F displaystyle mathcal F nbsp 是傅里叶变换的作用算子 平体 f displaystyle hat f nbsp 表示变换的结果 复函数 e displaystyle e nbsp 为自然对数的底 i displaystyle i nbsp 为虚数单位 1 displaystyle sqrt 1 nbsp 微分关系 编辑 若函数f x displaystyle f left x right nbsp 当 x displaystyle x rightarrow infty nbsp 时的极限为0 且其导函数f x displaystyle f x nbsp 的傅里叶变换存在 则有F f x i w F f x displaystyle mathcal F f x i omega mathcal F f x nbsp 即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子i w displaystyle i omega nbsp 更一般地 若f f f k 1 0 displaystyle f pm infty f pm infty ldots f k 1 pm infty 0 nbsp 且F f k x displaystyle mathcal F f k x nbsp 存在 则F f k x i w k F f displaystyle mathcal F f k x i omega k mathcal F f nbsp 即函数k阶导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子 i w k displaystyle i omega k nbsp 卷积特性 编辑 若函数f x displaystyle f left x right nbsp 及g x displaystyle g left x right nbsp 都在 displaystyle infty infty nbsp 上绝对可积 则卷积函数f g f x 3 g 3 d 3 displaystyle f g int infty infty f x xi g xi d xi nbsp 或者f g f 3 g x 3 d 3 displaystyle f g int infty infty f xi g x xi d xi nbsp 的傅里叶变换存在 且F f g F f F g displaystyle mathcal F f g mathcal F f cdot mathcal F g nbsp 卷积性质的逆形式为F 1 F w G w 2 p F 1 F w F 1 G w displaystyle mathcal F 1 F omega G omega 2 pi mathcal F 1 F omega cdot mathcal F 1 G omega nbsp 即两个函数的卷积的傅里叶逆变换等于两函数各自的傅里叶逆变换的乘积乘以2 p displaystyle 2 pi nbsp 帕塞瓦尔定理 编辑 若函数f x displaystyle f left x right nbsp 可积且平方可积 则 f 2 x d x 1 2 p F w 2 d w displaystyle int infty infty f 2 x dx frac 1 2 pi int infty infty F omega 2 d omega nbsp 其中F w displaystyle F left omega right nbsp 是f x displaystyle f left x right nbsp 的傅里叶变换 更一般化而言 若函数f x displaystyle f left x right nbsp 和g x displaystyle g left x right nbsp 皆為平方可積函數 则 f x g x d x 1 2 p F w G w d w displaystyle int infty infty f x g x dx frac 1 2 pi int infty infty F omega G omega d omega nbsp 其中F w displaystyle F left omega right nbsp 和G w displaystyle G left omega right nbsp 分别是f x displaystyle f left x right nbsp 和g x displaystyle g left x right nbsp 的傅里叶变换 displaystyle nbsp 代表複共軛 傅里叶变换的不同变种 编辑傅里叶变换也可以写成角频率形式 w 2p3 其单位是弧度每秒 应用3 w 2p 到上述公式会成为下面的形式 f w R n f x e i w x d x displaystyle hat f omega int mathbf R n f x e i omega cdot x dx nbsp 根据这一形式 傅里叶 逆变换变为 f x 1 2 p n R n f w e i w x d w displaystyle f x frac 1 2 pi n int mathbf R n hat f omega e i omega cdot x d omega nbsp 若不按照本文中使用的 而像这样定义傅里叶变换 那它将不再是L2 Rn 上的一个么正变换 另外这样的定义也使傅里叶变换与其逆变换显得不太对称 另一个形式是把 2p n均匀地分开给傅里叶变换和逆变换 即定义为 f w 1 2 p n 2 R n f x e i w x d x displaystyle hat f omega frac 1 2 pi n 2 int mathbf R n f x e i omega cdot x dx nbsp f x 1 2 p n 2 R n f w e i w x d w displaystyle f x frac 1 2 pi n 2 int mathbf R n hat f omega e i omega cdot x d omega nbsp dd 根据这一形式 傅里叶变换是再次成为L2 Rn 上的一个幺正变换 它也恢复了傅里叶变换和逆变换之间的对称 所有三种形式的变化可以通过对正向和反向变换的复指数核取共轭来实现 核函数的符号必须是相反的 除此之外 选择是习惯问题 常用的傅里叶变换形式总结 普通频率3 赫兹 么正变换 f 1 3 d e f R n f x e 2 p i x 3 d x f 2 2 p 3 2 p n 2 f 3 2 p 3 displaystyle displaystyle hat f 1 xi stackrel mathrm def int mathbf R n f x e 2 pi ix cdot xi dx hat f 2 2 pi xi 2 pi n 2 hat f 3 2 pi xi nbsp f x R n f 1 3 e 2 p i x 3 d 3 displaystyle displaystyle f x int mathbf R n hat f 1 xi e 2 pi ix cdot xi d xi nbsp 角频率w 弧度 秒 非么正变换 f 2 w d e f R n f x e i w x d x f 1 w 2 p 2 p n 2 f 3 w displaystyle displaystyle hat f 2 omega stackrel mathrm def int mathbf R n f x e i omega cdot x dx hat f 1 left frac omega 2 pi right 2 pi n 2 hat f 3 omega nbsp f x 1 2 p n R n f 2 w e i w x d w displaystyle displaystyle f x frac 1 2 pi n int mathbf R n hat f 2 omega e i omega cdot x d omega nbsp 么正变换 f 3 w d e f 1 2 p n 2 R n f x e i w x d x 1 2 p n 2 f 1 w 2 p 1 2 p n 2 f 2 w displaystyle displaystyle hat f 3 omega stackrel mathrm def frac 1 2 pi n 2 int mathbf R n f x e i omega cdot x dx frac 1 2 pi n 2 hat f 1 left frac omega 2 pi right frac 1 2 pi n 2 hat f 2 omega nbsp f x 1 2 p n 2 R n f 3 w e i w x d w displaystyle displaystyle f x frac 1 2 pi n 2 int mathbf R n hat f 3 omega e i omega cdot x d omega nbsp 如上所讨论的 一个随机变量的特征函数是相同的傅里叶变换斯蒂尔切斯其分布的测量 但在这种情况下它是典型采取不同的惯例为常数 通常情况下特征函数的定义E e i t X e i t x d m X x displaystyle E e it cdot X int e it cdot x d mu X x nbsp 在上面 非统一角频率 形式的情况下 存在的2p无因子出现在任一积分的 或在指数 不同于任何约定的上面出现的 本公约采取的指数符号相反 傅里叶级数 编辑 主条目 傅里叶级数 连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数 Fourier series 的推广 因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已 对于周期函数 其傅里叶级数是存在的 f x n F n e i n x displaystyle f x sum n infty infty F n e inx nbsp 其中F n displaystyle F n nbsp 为复振幅 对于实值函数 函数的傅里叶级数可以写成 f x a 0 2 n 1 a n cos n x b n sin n x displaystyle f x frac a 0 2 sum n 1 infty left a n cos nx b n sin nx right nbsp 其中an和bn是实频率分量的振幅 傅里叶分析最初是研究周期性现象 即傅里叶级数的 后来通过傅里叶变换将其推广到了非周期性现象 理解这种推广过程的一种方式是将非周期性现象视为周期性现象的一个特例 即其周期为无限长 离散时间傅里叶变换 编辑 主条目 离散时间傅里叶变换 离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换 DTFT 的特例 有时作为后者的近似 DTFT在时域上离散 在频域上则是周期的 DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆轉換 离散傅里叶变换 编辑 主条目 离散傅里叶变换 为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换 必须将函数xn定义在离散点而非连续域内 且须满足有限性或周期性条件 这种情况下 使用离散傅里叶变换 将函数xn表示为下面的求和形式 X k n 0 N 1 x n e i 2 p N k n k 0 N 1 displaystyle X k sum n 0 N 1 x n e i frac 2 pi N kn qquad k 0 dots N 1 nbsp 其中X k displaystyle X k nbsp 是傅里叶振幅 直接使用这个公式计算的计算复杂度为O n 2 displaystyle mathcal O n 2 nbsp 而快速傅里叶变换 FFT 可以将复杂度改进为O n log n displaystyle mathcal O n log n nbsp 计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法 在阿贝尔群上的统一描述 编辑 以上的傅里叶变换都可以被统一描述为任意局部紧致的阿贝尔群上的傅里叶变换 这一问题属于调和分析的范畴 在调和分析中 一个变换从一个群变换到它的对偶群 dual group 此外 将傅里叶变换与卷积相联系的卷积定理在调和分析中也有类似的结论 傅里叶变换的广义理论基础参见庞特里亚金对偶性 Pontryagin duality 中的介绍 时频分析变换 编辑 主条目 时频分析变换 小波变换 Chirplet变换和分数傅里叶变换的都是为了得到时间信号的频率信息 同时解析频率和时间的能力在数学上受不确定性原理的限制 傅里叶变换家族 编辑 主条目 傅立叶变换家族中的关系下表列出了傅里叶变换家族的成员 容易发现 函数在时 频 域的离散对应于其像函数在频 时 域的周期性 反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性 下表给出详细的情形 变换 时间 频率连续傅里叶变换 連續 非週期性 連續 非週期性傅里叶级数 連續 週期性 離散 非週期性离散时间傅里叶变换 離散 非週期性 連續 週期性离散傅里叶变换 離散 週期性 離散 週期性常用傅里叶变换表 编辑下面的表记录了一些封闭形式的傅立叶变换 对于函数f x displaystyle f x nbsp g x displaystyle g x nbsp 和g x displaystyle g x nbsp 它们的傅立叶变换分别表示为f displaystyle hat f nbsp g displaystyle hat g nbsp 和h displaystyle hat h nbsp 只包含了三种最常见的形式 注意条目105给出了一个函数的傅里叶变换与其原函数 这可以看作是傅里叶变换及其逆变换的关系 函数关系 编辑 下表列出的常用的傅里叶变换对可以在Erdelyi 1954 或Kammler 2000 appendix 中找到 函数 傅立叶变换 么正 普通的频率 傅立叶变换 么正 角频率 傅立叶变换 非么正 角频率 注释f x displaystyle displaystyle f x nbsp f 3 displaystyle displaystyle hat f xi nbsp f x e 2 p i x 3 d x displaystyle displaystyle int infty infty f x e 2 pi ix xi dx nbsp f w displaystyle displaystyle hat f omega nbsp 1 2 p f x e i w x d x displaystyle displaystyle frac 1 sqrt 2 pi int infty infty f x e i omega x dx nbsp f n displaystyle displaystyle hat f nu nbsp f x e i n x d x displaystyle displaystyle int infty infty f x e i nu x dx nbsp 基本定义101 a f x b g x displaystyle displaystyle a cdot f x b cdot g x nbsp a f 3 b g 3 displaystyle displaystyle a cdot hat f xi b cdot hat g xi nbsp a f w b g w displaystyle displaystyle a cdot hat f omega b cdot hat g omega nbsp a f n b g n displaystyle displaystyle a cdot hat f nu b cdot hat g nu nbsp 线性性质102 f x a displaystyle displaystyle f x a nbsp e 2 p i a 3 f 3 displaystyle displaystyle e 2 pi ia xi hat f xi nbsp e i a w f w displaystyle displaystyle e ia omega hat f omega nbsp e i a n f n displaystyle displaystyle e ia nu hat f nu nbsp 时域平移103 e 2 p i a x f x displaystyle displaystyle e 2 pi iax f x nbsp f 3 a displaystyle displaystyle hat f left xi a right nbsp f w 2 p a displaystyle displaystyle hat f omega 2 pi a nbsp f n 2 p a displaystyle displaystyle hat f nu 2 pi a nbsp 频域平移 变换102的频域对应104 f a x displaystyle displaystyle f ax nbsp 1 a f 3 a displaystyle displaystyle frac 1 a hat f left frac xi a right nbsp 1 a f w a displaystyle displaystyle frac 1 a hat f left frac omega a right nbsp 1 a f n a displaystyle displaystyle frac 1 a hat f left frac nu a right nbsp 在时域中定标 如果 a displaystyle displaystyle a nbsp 值较大 则f a x displaystyle displaystyle f ax nbsp 会收缩到原点附近 而1 a f w a displaystyle displaystyle frac 1 a hat f left frac omega a right nbsp 会扩散并变得扁平 当 a displaystyle displaystyle a nbsp 趋向无穷时 f a x displaystyle displaystyle f ax nbsp 成为狄拉克d函数 105 f x displaystyle displaystyle hat f x nbsp f 3 displaystyle displaystyle f xi nbsp f w displaystyle displaystyle f omega nbsp 2 p f n displaystyle displaystyle 2 pi f nu nbsp 傅里叶变换的二元性性质 这里f displaystyle hat f nbsp 的计算需要运用与傅里叶变换那一列同样的方法 通过交换变量x displaystyle x nbsp 和3 displaystyle xi nbsp 或w displaystyle omega nbsp 或n displaystyle nu nbsp 得到 106 d n f x d x n displaystyle displaystyle frac d n f x dx n nbsp 2 p i 3 n f 3 displaystyle displaystyle 2 pi i xi n hat f xi nbsp i w n f w displaystyle displaystyle i omega n hat f omega nbsp i n n f n displaystyle displaystyle i nu n hat f nu nbsp 傅里叶变换的微分性质107 x n f x displaystyle displaystyle x n f x nbsp i 2 p n d n f 3 d 3 n displaystyle displaystyle left frac i 2 pi right n frac d n hat f xi d xi n nbsp i n d n f w d w n displaystyle displaystyle i n frac d n hat f omega d omega n nbsp i n d n f n d n n displaystyle displaystyle i n frac d n hat f nu d nu n nbsp 变换106的频域对应108 f g x displaystyle displaystyle f g x nbsp f 3 g 3 displaystyle displaystyle hat f xi hat g xi nbsp 2 p f w g w displaystyle displaystyle sqrt 2 pi hat f omega hat g omega nbsp f n g n displaystyle displaystyle hat f nu hat g nu nbsp 记号f g displaystyle displaystyle f g nbsp 表示f displaystyle f nbsp 和g displaystyle g nbsp 的卷积 这就是卷积定理109 f x g x displaystyle displaystyle f x g x nbsp f g 3 displaystyle displaystyle hat f hat g xi nbsp f g w 2 p displaystyle displaystyle hat f hat g omega over sqrt 2 pi nbsp 1 2 p f g n displaystyle displaystyle frac 1 2 pi hat f hat g nu nbsp 变换108的频域对应 110 当f x displaystyle displaystyle f x nbsp 是实变函数 f 3 f 3 displaystyle displaystyle hat f xi overline hat f xi nbsp f w f w displaystyle displaystyle hat f omega overline hat f omega nbsp f n f n displaystyle displaystyle hat f nu overline hat f nu nbsp 埃尔米特对称 z displaystyle displaystyle overline z nbsp 表示复共轭 111 当f x displaystyle displaystyle f x nbsp 是实偶函数 f w displaystyle displaystyle hat f omega nbsp f 3 displaystyle displaystyle hat f xi nbsp 和f n displaystyle displaystyle hat f nu nbsp 都是实偶函数 112 当f x displaystyle displaystyle f x nbsp 是实奇函数 f w displaystyle displaystyle hat f omega nbsp f 3 displaystyle displaystyle hat f xi nbsp 和f n displaystyle displaystyle hat f nu nbsp 都是虚奇函数 113 f x displaystyle displaystyle overline f x nbsp f 3 displaystyle displaystyle overline hat f xi nbsp f w displaystyle displaystyle overline hat f omega nbsp f n displaystyle displaystyle overline hat f nu nbsp 复共轭 110的一般化平方可积函数 编辑 时域信号 角频率表示的傅里叶变换 弧频率表示的傅里叶变换 注释g t displaystyle g t equiv nbsp 1 2 p G w e i w t d w displaystyle frac 1 sqrt 2 pi int infty infty G omega e i omega t mathrm d omega nbsp G w displaystyle G omega equiv nbsp 1 2 p g t e i w t d t displaystyle frac 1 sqrt 2 pi int infty infty g t e i omega t mathrm d t nbsp G f displaystyle G f equiv nbsp g t e i 2 p f t d t displaystyle int infty infty g t e i2 pi ft mathrm d t nbsp 10 r e c t a t displaystyle mathrm rect at nbsp 1 2 p a 2 s i n c w 2 p a displaystyle frac 1 sqrt 2 pi a 2 cdot mathrm sinc left frac omega 2 pi a right nbsp 1 a s i n c f a displaystyle frac 1 a cdot mathrm sinc left frac f a right nbsp 矩形脉冲和归一化的sinc函数11 s i n c a t displaystyle mathrm sinc at nbsp 1 2 p a 2 r e c t w 2 p a displaystyle frac 1 sqrt 2 pi a 2 cdot mathrm rect left frac omega 2 pi a right nbsp 1 a r e c t f a displaystyle frac 1 a cdot mathrm rect left frac f a right nbsp 变换10的频域对应 矩形函数是理想的低通滤波器 sinc函数是这类滤波器对反因果冲击的响应 12 s i n c 2 a t displaystyle mathrm sinc 2 at nbsp 1 2 p a 2 t r i w 2 p a displaystyle frac 1 sqrt 2 pi a 2 cdot mathrm tri left frac omega 2 pi a right nbsp 1 a t r i f a displaystyle frac 1 a cdot mathrm tri left frac f a right nbsp tri是三角形函数13 t r i a t displaystyle mathrm tri at nbsp 1 2 p a 2 s i n c 2 w 2 p a displaystyle frac 1 sqrt 2 pi a 2 cdot mathrm sinc 2 left frac omega 2 pi a right nbsp 1 a s i n c 2 f a displaystyle frac 1 a cdot mathrm sinc 2 left frac f a right nbsp 变换12的频域对应14 e a t 2 displaystyle e alpha t 2 nbsp 1 2 a e w 2 4 a displaystyle frac 1 sqrt 2 alpha cdot e frac omega 2 4 alpha nbsp p a e p f 2 a displaystyle sqrt frac pi alpha cdot e frac pi f 2 alpha nbsp 高斯函数exp a t 2 displaystyle exp alpha t 2 nbsp 的傅里叶变换是其本身 只有当R e a gt 0 displaystyle mathrm Re alpha gt 0 nbsp 时 该函数可积的15 e i a t 2 e a t 2 a i a displaystyle e iat 2 left e alpha t 2 right alpha ia nbsp 1 2 a e i w 2 4 a p 4 displaystyle frac 1 sqrt 2a cdot e i left frac omega 2 4a frac pi 4 right nbsp p a e i p 2 f 2 a p 4 displaystyle sqrt frac pi a cdot e i left frac pi 2 f 2 a frac pi 4 right nbsp 光学领域应用较多16 cos a t 2 displaystyle cos at 2 nbsp 1 2 a cos w 2 4 a p 4 displaystyle frac 1 sqrt 2a cos left frac omega 2 4a frac pi 4 right nbsp p a cos p 2 f 2 a p 4 displaystyle sqrt frac pi a cos left frac pi 2 f 2 a frac pi 4 right nbsp 17 sin a t 2 displaystyle sin at 2 nbsp 1 2 a sin w 2 4 a p 4 displaystyle frac 1 sqrt 2a sin left frac omega 2 4a frac pi 4 right nbsp p a sin p 2 f 2 a p 4 displaystyle sqrt frac pi a sin left frac pi 2 f 2 a frac pi 4 right nbsp 18 e a t displaystyle mathrm e a t nbsp 2 p a a 2 w 2 displaystyle sqrt frac 2 pi cdot frac a a 2 omega 2 nbsp 2 a a 2 4 p 2 f 2 displaystyle frac 2a a 2 4 pi 2 f 2 nbsp a gt 019 1 t displaystyle frac 1 sqrt t nbsp 1 w displaystyle frac 1 sqrt omega nbsp 1 f displaystyle frac 1 sqrt f nbsp 变换本身就是一个公式20 J 0 t displaystyle J 0 t nbsp 2 p r e c t w 2 1 w 2 displaystyle sqrt frac 2 pi cdot frac mathrm rect left frac omega 2 right sqrt 1 omega 2 nbsp 2 r e c t p f 1 4 p 2 f 2 displaystyle frac 2 cdot mathrm rect pi f sqrt 1 4 pi 2 f 2 nbsp J0 t 是0阶第一类贝塞尔函数 21 J n t displaystyle J n t nbsp 2 p i n T n w r e c t w 2 1 w 2 displaystyle sqrt frac 2 pi frac i n T n omega mathrm rect left frac omega 2 right sqrt 1 omega 2 nbsp 2 i n T n 2 p f r e c t p f 1 4 p 2 f 2 displaystyle frac 2 i n T n 2 pi f mathrm rect pi f sqrt 1 4 pi 2 f 2 nbsp 上一个变换的推广形式 Tn t 是第一类切比雪夫多项式 22 J n t t displaystyle frac J n t t nbsp 2 p i n i n U n 1 w displaystyle sqrt frac 2 pi frac i n i n cdot U n 1 omega nbsp 1 w 2 r e c t w 2 displaystyle cdot sqrt 1 omega 2 mathrm rect left frac omega 2 right nbsp 2 i n i n U n 1 2 p f displaystyle frac 2 mathrm i n i n cdot U n 1 2 pi f nbsp 1 4 p 2 f 2 r e c t p f displaystyle cdot sqrt 1 4 pi 2 f 2 mathrm rect pi f nbsp Un t 是第二类切比雪夫多项式 分布 编辑 时域信号 角频率表示的傅里叶变换 弧频率表示的傅里叶变换 注释g t displaystyle g t equiv nbsp 1 2 p G w e i w t d w displaystyle frac 1 sqrt 2 pi int infty infty G omega e i omega t d omega nbsp G w displaystyle G omega equiv nbsp 1 2 p g t e i w t d t displaystyle frac 1 sqrt 2 pi int infty infty g t e i omega t dt nbsp G f displaystyle G f equiv nbsp g t e i 2 p f t d t displaystyle int infty infty g t e i2 pi ft dt nbsp 基本定义23 1 displaystyle 1 nbsp 2 p d w displaystyle sqrt 2 pi cdot delta omega nbsp d f displaystyle delta f nbsp d w displaystyle delta omega nbsp 代表狄拉克d函数分布 这个变换展示了狄拉克d函数的重要性 该函数是常函数的傅立叶变换24 d t displaystyle delta t nbsp 1 2 p displaystyle frac 1 sqrt 2 pi nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 变换23的频域对应25 e i a t displaystyle e iat nbsp 2 p d w a displaystyle sqrt 2 pi cdot delta omega a nbsp d f a 2 p displaystyle delta f frac a 2 pi nbsp 由变换103和23得到26 cos a t displaystyle cos at nbsp 2 p d w a d w a 2 displaystyle sqrt 2 pi frac delta omega a delta omega a 2 nbsp d f a 2 p d f a 2 p 2 displaystyle frac delta f begin matrix frac a 2 pi end matrix delta f begin matrix frac a 2 pi end matrix 2 nbsp 由变换101和25得到 应用了欧拉公式 cos a t e i a t e i a t 2 displaystyle cos at e iat e iat 2 nbsp 27 sin a t displaystyle sin at nbsp 2 p d w a d w a 2 i displaystyle sqrt 2 pi frac delta omega a delta omega a 2i nbsp d f a 2 p d f a 2 p 2 i displaystyle frac delta f begin matrix frac a 2 pi end matrix delta f begin matrix frac a 2 pi end matrix 2i nbsp 由变换101和25得到28 t n displaystyle t n nbsp i n 2 p d n w displaystyle i n sqrt 2 pi delta n omega nbsp i 2 p n d n f displaystyle left frac i 2 pi right n delta n f nbsp 这里 n displaystyle n nbsp 是一个自然数 d n w displaystyle delta n omega nbsp 是狄拉克d函数分布的n displaystyle n nbsp 阶微分 这个变换是根据变换107和24得到的 将此变换与101结合使用 我们可以变换所有多項式函数 29 1 t displaystyle frac 1 t nbsp i p 2 sgn w displaystyle i sqrt frac pi 2 operatorname sgn omega nbsp i p sgn f displaystyle i pi cdot operatorname sgn f nbsp 此处sgn w displaystyle operatorname sgn omega nbsp 为符号函数 注意此变换与变换107和24是一致的 30 1 t n displaystyle frac 1 t n nbsp i p 2 i w n 1 n 1 sgn w displaystyle i begin matrix sqrt frac pi 2 cdot frac i omega n 1 n 1 end matrix operatorname sgn omega nbsp i p i 2 p f n 1 n 1 sgn f displaystyle i pi begin matrix frac i2 pi f n 1 n 1 end matrix operatorname sgn f nbsp 变换29的推广31 sgn t displaystyle operatorname sgn t nbsp 2 p 1 i w displaystyle sqrt frac 2 pi cdot frac 1 i omega nbsp 1 i p f displaystyle frac 1 i pi f nbsp 变换29的频域对应32 u t displaystyle u t nbsp p 2 1 i p w d w displaystyle sqrt frac pi 2 left frac 1 i pi omega delta omega right nbsp 1 2 1 i p f d f displaystyle frac 1 2 left frac 1 i pi f delta f right nbsp 此处u t displaystyle u t nbsp 是单位阶跃函数 此变换根据变换101和31得到 33 e a t u t displaystyle e at u t nbsp 1 2 p a i w displaystyle frac 1 sqrt 2 pi a i omega nbsp 1 a i 2 p f displaystyle frac 1 a i2 pi f nbsp u t displaystyle u t nbsp 是单位阶跃函数 且a gt 0 displaystyle a gt 0 nbsp 34 n d t n T displaystyle sum n infty infty delta t nT nbsp 2 p T k d w k 2 p T displaystyle begin matrix frac sqrt 2 pi T end matrix sum k infty infty delta left omega k begin matrix frac 2 pi T end matrix right nbsp 1 T k d f k T displaystyle frac 1 T sum k infty infty delta left f frac k T right nbsp 狄拉克梳状函数 英语 Dirac comb 有助于解释或理解从连续到离散时间的转变 二元函数 编辑 时域信号 傅立叶变换单一 普通频率 傅立叶变换么正 角频率 傅立叶变换非么正 角频率400 f x y displaystyle displaystyle f x y nbsp f 3 x 3 y displaystyle displaystyle hat f xi x xi y nbsp f x y e 2 p i 3 x x 3 y y d x d y displaystyle displaystyle iint f x y e 2 pi i xi x x xi y y dx dy nbsp f w x w y displaystyle displaystyle hat f omega x omega y nbsp 1 2 p f x y e i w x x w y y d x d y displaystyle displaystyle frac 1 2 pi iint f x y e i omega x x omega y y dx dy nbsp f n x n y displaystyle displaystyle hat f nu x nu y nbsp f x y e i n x x n y y d x d y displaystyle displaystyle iint f x y e i nu x x nu y y dx dy nbsp 401 e p a 2 x 2 b 2 y 2 displaystyle displaystyle e pi left a 2 x 2 b 2 y 2 right nbsp 1 a b e p 3 x 2 a 2 3 y 2 b 2 displaystyle displaystyle frac 1 ab e pi left xi x 2 a 2 xi y 2 b 2 right nbsp 1 2 p a b e w x 2 a 2 w y 2 b 2 4 p displaystyle displaystyle frac 1 2 pi cdot ab e frac left omega x 2 a 2 omega y 2 b 2 right 4 pi nbsp 1 a b e n x 2 a 2 n y 2 b 2 4 p displaystyle displaystyle frac 1 ab e frac left nu x 2 a 2 nu y 2 b 2 right 4 pi nbsp 402 c i r c x 2 y 2 displaystyle displaystyle mathrm circ sqrt x 2 y 2 nbsp J 1 2 p 3 x 2 3 y 2 3 x 2 3 y 2 displaystyle displaystyle frac J 1 left 2 pi sqrt xi x 2 xi y 2 right sqrt xi x 2 xi y 2 nbsp J 1 w x 2 w y 2 w x 2 w y 2 displaystyle displaystyle frac J 1 left sqrt omega x 2 omega y 2 right sqrt omega x 2 omega y 2 nbsp 2 p J 1 n x 2 n y 2 n x 2 n y 2 displaystyle displaystyle frac 2 pi J 1 left sqrt nu x 2 nu y 2 right sqrt nu x 2 nu y 2 nbsp 注释400 变量3 x displaystyle xi x nbsp 3 y displaystyle xi y nbsp w x displaystyle omega x nbsp w y displaystyle omega y nbsp n x displaystyle nu x nbsp n y displaystyle nu y nbsp 为实数 二重积分是对整个平面积分 401 这两个函数都是高斯函数 而且可能不具有单位体积 402 此圆有单位半径 如果把 circ t displaystyle text circ t nbsp 认作阶梯函数 u 1 t displaystyle u 1 t nbsp Airy分布用 J 1 displaystyle J 1 nbsp 一阶第一类贝塞尔函数 表达 Stein amp Weiss 1971 Thm IV 3 3 三元函数 编辑 时域信号 角频率表示的傅里叶变换 弧频率表示的傅里叶变换 注释c i r c x 2 y 2 z 2 displaystyle mathrm circ sqrt x 2 y 2 z 2 nbsp 2 p sin w 2 p f r cos w w 3 displaystyle sqrt frac 2 pi cdot frac sin omega 2 pi f r cos omega omega 3 span, 维基百科，wiki，书籍，书籍，图书馆， 文章 ，阅读，下载，免费，免费下载，mp3，视频，mp4，3gp， jpg，jpeg，gif，png，图片，音乐，歌曲，电影，书籍，游戏，游戏。 © 版權所有 2021，保留所有權利  |   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