平行六面体

在几何学中，平行六面体是由六个平行四边形所组成的三维立体，是一種平行多面體。它与平行四边形的关系，正如正方体与正方形之间的关系；在欧几里得几何中这四个概念都允许，但在仿射几何中只允许平行四边形和平行六面体。平行六面体的三个等价的定义为：

• 六个面都是平行四边形的多面体；
• 有三对对面平行的六面体；
• 底面为平行四边形的棱柱。

平行六面體

平行六面体
類別	柱體
對偶多面體	平行四面軸正軸體
數學表示法
威佐夫符號 （英语：Wythoff symbol）	2 4 | 2
性質
面	6
邊	12
頂點	8
歐拉特徵數	F=6, E=12, V=8 （χ=2）
組成與佈局
面的種類	平行四邊形×6
對稱性
對稱群	Ci, [2^+,2^+], (×), order 2
特性
凸、環帶多面體
查 论 编

长方体（六个面都是长方形）、正方体（六个面都是正方形），以及菱面体（六个面都是菱形）都是平行六面体的特殊情况。

平行六面体是拟柱体的一个子类。

性质

平行六面体可由正方体经线性变换而成。

用相同的平行六面体，可以镶嵌整个空间。

体积

基本公式

平行六面体的体积是底面 ${\displaystyle A}$  与高 ${\displaystyle h}$  的乘积，即

${\displaystyle V=Ah}$  。

这里的高是底面与对面的垂直距离。

以向量計算

 

用向量来定义平行六面体。

另外一个方法是用向量 ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})}$  ， ${\displaystyle \mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})}$  ，以及 ${\displaystyle \mathbf {c} =(c_{1},c_{2},c_{3})}$  来表示相交于一点的三条棱。平行六面体的体积 ${\displaystyle V}$  等于純量三重积：

${\displaystyle V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|=|\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )|=|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )|}$ 。

證明：

以 ${\displaystyle \mathbf {b} }$  和 ${\displaystyle \mathbf {c} }$  来表示底面的边，则根据向量积的定义，底面的面积 ${\displaystyle A}$  为：

${\displaystyle A=|\mathbf {b} ||\mathbf {c} |\sin \theta =|\mathbf {b} \times \mathbf {c} |}$  ，

其中 ${\displaystyle \theta }$  是 ${\displaystyle \mathbf {b} }$  与 ${\displaystyle \mathbf {c} }$  之间的角，而高为：

${\displaystyle h=|\mathbf {a} |\cos \alpha }$ ，

其中 ${\displaystyle \alpha }$  是 ${\displaystyle \mathbf {a} }$  与 ${\displaystyle h}$  之间的角。

从图中我们可以看到， ${\displaystyle \alpha }$  的大小限定为 ${\displaystyle 0^{\circ }\leq \alpha <90^{\circ }}$  。而向量 ${\displaystyle \mathbf {b} \times \mathbf {c} }$  与 ${\displaystyle \mathbf {a} }$  之间的角 ${\displaystyle \beta }$  则有可能大于90°（${\displaystyle 0^{\circ }\leq \beta <180^{\circ }}$ ）。也就是说，由于 ${\displaystyle \mathbf {b} \times \mathbf {c} }$  与 ${\displaystyle h}$  平行， ${\displaystyle \beta }$  的值要么等于 ${\displaystyle \alpha }$  ，要么等于 ${\displaystyle 180^{\circ }-\alpha }$  。因此：

${\displaystyle \cos \alpha =\pm \cos \beta =|\cos \beta |}$ ，

且

${\displaystyle h=|\mathbf {a} ||\cos \beta |}$ 。

我们得出结论：

${\displaystyle V=Ah=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} \times \mathbf {c} ||\cos \beta |}$  ，

于是，根据純量积的定义，它等于 ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}$  的绝对值，即：

${\displaystyle V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|}$ 。

证毕。

最后一个表达式也可以写成以下行列式的绝对值：

${\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|}$ 。

以稜長及夾角計算

若 ${\displaystyle a}$  、${\displaystyle b}$  及 ${\displaystyle c}$  是三條兩兩相鄰的稜長，且${\displaystyle \alpha }$  、 ${\displaystyle \beta }$  及 ${\displaystyle \gamma }$  是三條稜邊的夾角，則平行六面体的体积為：

${\displaystyle V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )}}}$  。

證明

從上面可知，平行六面体的体积可表示為：

${\displaystyle V=|\det \mathbf {D} |}$ 

其中：

${\displaystyle \mathbf {D} ={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}}$ 。

因此

${\displaystyle V^{2}=\det(\mathbf {D} \mathbf {D} ^{t})=\det {\begin{bmatrix}a\cdot a&a\cdot b&a\cdot c\\b\cdot a&b\cdot b&b\cdot c\\c\cdot a&c\cdot b&c\cdot c\end{bmatrix}}}$ 

依行列式及純量積定義展開公式右手邊，即可得上述公式。

以座標計算

選取任意一頂點 ${\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})}$  以其相鄰三個頂點 ${\displaystyle (x_{2},y_{2},z_{2})}$  、 ${\displaystyle (x_{3},y_{3},z_{3})}$  及 ${\displaystyle (x_{4},y_{4},z_{4})}$  ，則體積可表示為：

${\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&z_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&z_{3}&1\\x_{4}&y_{4}&z_{4}&1\\\end{bmatrix}}\right|.}$ 

特殊情况

如果平行六面体具有对称平面，则一定是以下两种情况之一：

• 四个面是长方形；
• 两个面是菱形，而在另外四个面中，两个相邻面相等，另外两个面也相等。

长方体是六个面都是长方形的平行六面体；正方体是六个面都是正方形的平行六面体。

菱面体是六个面都是菱形的平行六面体；三方偏方面体是所有菱形面都全等的菱面体。

完美平行六面體

完美平行六面體指棱長、面對角線和體對角線都是整數的平行六面體。在2009年，發現了數十個完美平行六面體的例子^[1]，包括棱長271、106及103，劣面對角線長101、 266及255，優面角線長183、 312及323,以及體對角線長374、 300、 278及272的平行六面體。

超平行体

平行六面体在高维空间的推广称为超平行体。

特别地，n维空间中的超平行体称为n维超平行体。因此，平行四边形就是2维超平行体，平行六面体就是3维超平行体。

n维超平行体的所有对角线相交于一点，并被这个点所平分。

位于${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ 空间中的n维超平行体的n维体积（${\displaystyle m\geq n}$ ），可以用格拉姆行列式的方法来计算。

参考文献

• Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, p. 122, 1973.

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. 平行六面体. MathWorld. 
• 埃里克·韦斯坦因. 超平行体. MathWorld. 

1. Sawyer, Jorge F.; Reiter, Clifford A. Perfect parallelepipeds exist. Mathematics of Computation. 2011, 80: 1037–1040. arXiv:0907.0220  . doi:10.1090/s0025-5718-2010-02400-7. .