格拉姆矩阵

在线性代数中，内积空间中一族向量 ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$ 的格拉姆矩阵（Gramian matrix、Gram matrix 或 Gramian）是内积的埃尔米特矩阵，其元素由 ${\displaystyle G_{ij}=\langle v_{i},v_{j}\rangle }$ 给出。

一个重要的应用是计算線性獨立：一組向量彼此線性獨立当且仅当格拉姆行列式（格拉姆矩阵的行列式）不等于零。

格拉姆矩阵以丹麦数学家约尔根·佩尔森·格拉姆（英语：Jørgen Pedersen Gram）命名。

例子

最常见地，向量是欧几里得空间中元素，或 L² 空间中函数，比如闭区间 [a, b] 上的连续函数（是 L ²（[a, b]）的子集）。

给定区间 ${\displaystyle [t_{0},t_{f}]}$  上的实数值函数 ${\displaystyle \{\ell _{i}(\cdot ),\,i=1,\dots ,n\}}$ ，格拉姆矩阵${\displaystyle G=[G_{ij}]}$ ，由函数的标准内积给出：

${\displaystyle G_{ij}=\int _{t_{0}}^{t_{f}}\ell _{i}(\tau )\ell _{j}(\tau )\,d\tau .}$ 

给定一个实矩阵 A，矩阵 A^TA 是 A 的列向量的格拉姆矩阵，而矩阵 AA^T 是 A 的行向量的格拉姆矩阵。

对一般任何域上的有限维向量空间上的双线性形式 B，我们可对一组向量 ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$  定义一个格拉姆矩阵 G 为 ${\displaystyle G_{i,j}=B(v_{i},v_{j})\,}$  。如果双线性形式 B 对称则该格拉姆矩阵对称。

应用

• 如果向量是随机变量，所得格拉姆矩阵是协方差矩阵。
• 在量子化学中，一组基向量的格拉姆矩阵是重叠矩阵（Overlap matrix）。
• 在控制论（或更一般的系统理论中），可控制性格拉姆矩阵、可观测性格拉姆矩阵及交叉格拉姆矩陣确定了线性系统的性质。
• 格拉姆矩阵出现在协方差结构模型中（比如可参见 Jamshidian & Bentler (1993)）。
• 在有限元方法中，格拉姆矩阵出现在从有限维空间逼近函数时；格拉姆矩阵的元素是有限维子空间的基函数的内积。

性质

半正定

格拉姆矩阵是半正定的，反之每个半正定矩阵是某些向量的格拉姆矩阵。这组向量一般不是惟一的：任何正交基的格拉姆矩阵是单位矩阵。

这个命题无穷维类比是Mercer定理（英语：Mercer's theorem））。

基变换

在一个由可逆矩阵 P 表示的基变换下，格拉姆矩阵是用 P 做一个矩阵合同变为 P^TGP。

格拉姆行列式

格拉姆行列式（Gram determinant 或 Gramian）是格拉姆矩阵的行列式：

${\displaystyle G(x_{1},\dots ,x_{n})={\begin{vmatrix}\langle x_{1},x_{1}\rangle &\langle x_{1},x_{2}\rangle &\dots &\langle x_{1},x_{n}\rangle \\\langle x_{2},x_{1}\rangle &\langle x_{2},x_{2}\rangle &\dots &\langle x_{2},x_{n}\rangle \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\langle x_{n},x_{1}\rangle &\langle x_{n},x_{2}\rangle &\dots &\langle x_{n},x_{n}\rangle \end{vmatrix}}.}$ 

在几何上，格拉姆行列式是这些向量形成的平行多面体的体积之平方。特别地，这些向量线性无关当且仅当格拉姆行列式不为零（当且仅当格拉姆矩阵非奇异）。

外部链接

• Jamshidian; Bentler, Applied Psychological Measurement 18: 79 – 94, 1993 

• Barth, Nils. . Journal of Young Investigators. 1999, 2. （原始内容存档于2008年11月22日）. 

• Volumes of parallelograms （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Frank Jones