可控制性格拉姆矩陣

控制理论中，可控制性格拉姆矩阵（Controllability Gramian）是用來判斷線性動態系統是否可控制的格拉姆矩阵。

若針對以下的線性時變系統

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)}$

${\displaystyle y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)\,}$

可控制性格拉姆矩阵為

${\displaystyle W_{c}(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\Phi (\tau ,t_{0})B(\tau )B^{T}(\tau )\Phi ^{T}(\tau ,t_{0})d\tau }$ ,

其中${\displaystyle \Phi }$為狀態轉換矩陣

系統在${\displaystyle t\in [t_{0},t_{1}]}$具有可控制性，若且唯若${\displaystyle W_{c}(t_{0},t_{1})}$為非奇異矩陣。

連續時間，線性非時變系統

若在連續時間的線性非時變系統中，也可以定義可控制性格拉姆矩阵（不過也有其他判斷可观测性的方法）。

若考慮以下的系統

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)}$ 

${\displaystyle y(t)=Cx(t)+Du(t)\,}$ 

其可控制性格拉姆矩阵是以下${\displaystyle n\times n}$ 的方陣

${\displaystyle {\boldsymbol {W_{c}}}(t)=\int _{0}^{t}e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {B^{T}}}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }d\tau }$ 

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ 若穩定（所有的特徵值實部均為負），可控制性格拉姆矩阵也是以下李亞普諾夫方程的唯一解

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}_{c}+{\boldsymbol {W}}_{c}{\boldsymbol {A^{T}}}=-{\boldsymbol {BB^{T}}}}$ 

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ 若穩定（所有的特徵值實部均為負），而且${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c}}$ 也是正定矩陣，則此系統具有可控制性，也就是${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})}$ 矩陣對具有可控制性。

此一定義也和以下其他可控制性的定義等效：

1. ${\displaystyle n\times np}$ 的可控制性矩陣

${\displaystyle {\mathcal {C}}=[{\begin{array}{ccccc}{\boldsymbol {B}}&{\boldsymbol {AB}}&{\boldsymbol {A^{2}B}}&...&{\boldsymbol {A^{n-1}B}}\end{array}}]}$ 

的秩為n。

2. ${\displaystyle n\times (n+p)}$ 矩陣

${\displaystyle [{\begin{array}{cc}{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {-\lambda }}{\boldsymbol {I}}&{\boldsymbol {B}}\end{array}}]}$ 

對於每個${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ 的特徵值${\displaystyle \lambda }$ ，都有滿秩。

和李亞普諾夫方程的關係

可控制性格拉姆矩陣是以下李亞普諾夫方程的解

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}_{c}+{\boldsymbol {W}}_{c}{\boldsymbol {A^{T}}}=-{\boldsymbol {BB^{T}}}}$ 

假若令

${\displaystyle {\boldsymbol {W_{c}}}=\int _{0}^{\infty }e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {BB^{T}}}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }d\tau }$ 

為一個解，可得：

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}_{c}+{\boldsymbol {W}}_{c}{\boldsymbol {A^{T}}}&=&\int _{0}^{\infty }{\boldsymbol {A}}e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {BB^{T}}}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }d\tau &+&\int _{0}^{\infty }e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {BB^{T}}}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }{\boldsymbol {A^{T}}}d\tau \\&=&\int _{0}^{\infty }{\frac {d}{d\tau }}(e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {B}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau })d\tau &=&e^{{\boldsymbol {A}}t}{\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {B}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}|_{t=0}^{\infty }\\&=&{\boldsymbol {0}}-{\boldsymbol {BB^{T}}}\\&=&{\boldsymbol {-BB^{T}}}\end{array}}}$ 

其中用到了對於穩定${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ，在${\displaystyle t=\infty }$ 時，${\displaystyle e^{{\boldsymbol {A}}t}=0}$ 的事實（所有的特徵值實部均為負），因此${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c}}$ 確實是李亞普諾夫方程的解。

格拉姆矩陣的性質

因為 ${\displaystyle {\boldsymbol {BB^{T}}}}$  是對稱矩陣，因此${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c}}$ 也是對稱矩陣。

若${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ 是穩定矩陣（所有的特徵值實部均為負），可以證明${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c}}$ 是唯一的。利甪反證法，先假設以下方程有二個不同解

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}_{c}+{\boldsymbol {W}}_{c}{\boldsymbol {A^{T}}}=-{\boldsymbol {BB^{T}}}}$ 

分別是${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c1}}$ 和${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c2}}$ ，因此可得：

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {(W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2})+{\boldsymbol {(W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2}){\boldsymbol {A^{T}}}={\boldsymbol {0}}}$ 

在左右分別乘以${\displaystyle e^{{\boldsymbol {A}}t}}$ 和${\displaystyle e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}}$ ，可得：

${\displaystyle e^{{\boldsymbol {A}}t}[{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {(W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2})+{\boldsymbol {(W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2}){\boldsymbol {A^{T}}}]e^{{\boldsymbol {A^{T}}}t}={\frac {d}{dt}}[e^{{\boldsymbol {A}}t}[({\boldsymbol {W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2})e^{{\boldsymbol {A^{T}}}t}]={\boldsymbol {0}}}$ 

從${\displaystyle 0}$ 積分到${\displaystyle \infty }$ ：

${\displaystyle [e^{{\boldsymbol {A}}t}[({\boldsymbol {W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2})e^{{\boldsymbol {A^{T}}}t}]|_{t=0}^{\infty }={\boldsymbol {0}}}$ 

再利用此一事實，當${\displaystyle t\rightarrow \infty }$ 時，${\displaystyle e^{{\boldsymbol {A}}t}\rightarrow 0}$ ：

${\displaystyle {\boldsymbol {0}}-({\boldsymbol {W}}_{c1}-{\boldsymbol {W}}_{c2})={\boldsymbol {0}}}$ 

因此，${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c}}$ 是唯一的。

也可以看出

${\displaystyle {\boldsymbol {x^{T}W_{c}x}}=\int _{0}^{\infty }{\boldsymbol {x}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}t}{\boldsymbol {BB^{T}}}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}{\boldsymbol {x}}dt=\int _{0}^{\infty }\left\Vert {\boldsymbol {B^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}{\boldsymbol {x}}}}\right\Vert _{2}^{2}dt}$ 

在任何t時都為正，因此${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c}}$ 是正定矩陣。

可控制性系統的其他特性在^[1]中，以及可控制性中都有描述。

離散時間，線性非時變系統

若考慮以下的離散時間系統

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\boldsymbol {x}}[k+1]{\boldsymbol {=Ax}}[k]+{\boldsymbol {Bu}}[k]\\{\boldsymbol {y}}[k]={\boldsymbol {Cx}}[k]+{\boldsymbol {Du}}[k]\end{array}}}$ 

其離散可控制性格拉姆矩阵是以下${\displaystyle n\times n}$ 的方陣

${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{dc}=\sum _{m=0}^{\infty }{\boldsymbol {A}}^{m}{\boldsymbol {BB}}^{T}({\boldsymbol {A}}^{T})^{m}}$ 

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ 若穩定（所有的特徵值絕對值均小於1），也是以下離散李亞普諾夫方程的解

${\displaystyle W_{dc}-{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}_{dc}{\boldsymbol {A^{T}}}={\boldsymbol {BB^{T}}}}$ 

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ 若穩定（所有的特徵值絕對值均小於1），而且${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{dc}}$ 也是正定矩陣，則此系統有可控制性。

更多相關的性質及證明在^[2]。

線性時變系統（LTV）

考慮以下的線性時變系統（LTV）：

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\dot {\boldsymbol {x}}}(t){\boldsymbol {=A}}(t){\boldsymbol {x}}(t)+{\boldsymbol {B}}(t){\boldsymbol {u}}(t)\\{\boldsymbol {y}}(t)={\boldsymbol {C}}(t){\boldsymbol {x}}(t)\end{array}}}$ 

其中矩陣${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ , ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ 和${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$ 的元素會隨時間而變化。其可控制性格拉姆矩陣為${\displaystyle n\times n}$ 矩陣，定義如下：

${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c}(t_{0},t_{1})=\int _{_{0}}^{^{\infty }}{\boldsymbol {\Phi }}(t_{1},\tau ){\boldsymbol {B}}(\tau ){\boldsymbol {B}}^{T}(\tau ){\boldsymbol {\Phi }}^{T}(t_{1},\tau )d\tau }$ 

其中${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(t,\tau )}$ 為${\displaystyle {\boldsymbol {\dot {x}}}={\boldsymbol {A}}(t){\boldsymbol {x}}}$ 的狀態轉移矩陣。

系統${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}(t),{\boldsymbol {B}}(t))}$ 有可控制性的充份必要條是存在${\displaystyle t_{1}>t_{0}}$ ，使得可控制性格拉姆矩陣${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c}(t_{0},t_{1})}$ 為非奇異矩陣。

格拉姆矩陣的性質

可控制性格拉姆矩陣${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c}(t_{0},t_{1})}$ 有以下的性質：

${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c}(t_{0},t_{1})={\boldsymbol {W}}_{c}(t_{0},t)+{\boldsymbol {\Phi }}(t,t_{0}){\boldsymbol {W}}_{c}(t,t_{0}){\boldsymbol {\Phi }}^{T}(t,t_{0})}$ 

可以由${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c}(t_{0},t_{1})}$ 的定義，以及以下的狀態轉移矩陣性質來推導：

${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(t_{0},t_{1})={\boldsymbol {\Phi }}(t_{1},\tau ){\boldsymbol {\Phi }}(\tau ,t_{0})}$ 

其他有關可控制性格拉姆矩陣的性質可以參考^[3]。

相關條目

• 可控制性
• 可观测性格拉姆矩阵
• 格拉姆矩阵
• 最小能量控制

參考資料

1. Chen, Chi-Tsong. Linear System Theory and Design Third Edition. New York, New York: Oxford University Press. 1999: 145. ISBN 0-19-511777-8. 
2. Chen, Chi-Tsong. Linear System Theory and Design Third Edition. New York, New York: Oxford University Press. 1999: 169. ISBN 0-19-511777-8. 
3. Chen, Chi-Tsong. Linear System Theory and Design Third Edition. New York, New York: Oxford University Press. 1999: 176. ISBN 0-19-511777-8. 

外部連結

• Mathematica function to compute the controllability Gramian （页面存档备份，存于互联网档案馆）