最小能量控制

最小能量控制（minimum energy control）是控制理论的一種，是指讓線性非時變系統以最小能量到達理想狀態的控制${\displaystyle u(t)}$。

令線性非時變（LTI）系統為

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)}$

其初始條件${\displaystyle x(t_{0})=x_{0}}$。可以找到輸入${\displaystyle u(t)}$使得系統在時間${\displaystyle t_{1}}$的狀態為${\displaystyle x_{1}}$，而且任何其他也可以讓系統在時間${\displaystyle t_{1}}$的的狀態推進到${\displaystyle x_{1}}$的輸入 ${\displaystyle {\bar {u}}(t)}$，其需要的能量都會比最小能量控制的能量要大。

${\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{1}}{\bar {u}}^{*}(t){\bar {u}}(t)dt\ \geq \ \int _{t_{0}}^{t_{1}}u^{*}(t)u(t)dt.}$

要找到此一控制輸入，先計算可控制性格拉姆矩阵

${\displaystyle W_{c}(t)=\int _{t_{0}}^{t}e^{A(t-\tau )}BB^{*}e^{A^{*}(t-\tau )}d\tau .}$

假設${\displaystyle W_{c}}$為為非奇異矩陣（若且唯若系統有可控制性），最小能量控制為

${\displaystyle u(t)=-B^{*}e^{A^{*}(t_{1}-t)}W_{c}^{-1}(t_{1})[e^{A(t_{1}-t_{0})}x_{0}-x_{1}].}$

代入其解中

${\displaystyle x(t)=e^{A(t-t_{0})}x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}e^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau }$

可以驗證系統在時間${\displaystyle t_{1}}$時的狀態為${\displaystyle x_{1}}$。

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