雙四角錐柱 是指以四邊形為基底的雙角錐柱 ，其可以由四角柱在兩端各連接一個底面大小相同的四角錐來構成。若雙四角錐柱的基底為正方形 ，且側面都是正多邊形的話，則這個立體是一種全部由正多邊形組成的立體，為92種詹森多面體 中的其中一個，其索引為J15 [1] 凸多面體 ，面皆由正多邊形組成但不屬於均勻多面體，共有92種。這些立體最早在1966年由諾曼·詹森 [2]
雙四角錐柱因其形似鉛筆 又稱為鉛筆立方體 （pencil cube ）或12面鉛筆立方體 （12-faced pencil cube） [3] :46-47 [4]
性質 编辑 雙四角錐柱共由12個面 、20條邊 和10個頂點 組成[5] [6] [7] 三角形 面和4個正方形 面[5] 4 ]來表示[8] [7] 2 ,42 ]來表示[8] [7]
體積與表面積 编辑 若一個雙四角錐柱邊長為 L {\displaystyle L} V {\displaystyle V} A {\displaystyle A} [9]
V = L 3 ⋅ ( 1 + 2 3 ) ≈ L 3 ⋅ 1.471404521 {\displaystyle V=L^{3}\cdot \left(1+{\frac {\sqrt {2}}{3}}\right)\approx L^{3}\cdot 1.471404521} A = L 2 ⋅ ( 4 + 2 3 ) ≈ L 2 ⋅ 7.464101615 {\displaystyle A=L^{2}\cdot \left(4+2{\sqrt {3}}\right)\approx L^{2}\cdot 7.464101615} 這樣的雙四角錐柱整體的高 H {\displaystyle H} [9]
H = L ⋅ ( 1 + 2 ) ≈ L ⋅ 2.414213562 {\displaystyle H=L\cdot \left(1+{\sqrt {2}}\right)\approx L\cdot 2.414213562} 二面角 编辑 雙四角錐柱共有3種二面角 ，分別為三角形和正方形的二面角、三角形和三方形的二面角以及正方形和正方形的二面角[8] [8]
∠ {\displaystyle \angle } , {\displaystyle ,} = 90 ∘ {\displaystyle \,=90^{\circ }} 而三角形和正方形的二面角為負根號三分之二的反餘弦值，約為144.7356度：[8]
∠ {\displaystyle \angle } , {\displaystyle ,} = arccos ( − 2 3 ) ≈ 2.52611294 ≈ 144.735610 ∘ {\displaystyle \,=\arccos \left(-{\sqrt {\frac {2}{3}}}\right)\approx 2.52611294\approx 144.735610^{\circ }} 三角形和三方形的二面角為負三分之一的反餘弦值，約為109.471度：[8]
∠ {\displaystyle \angle } , {\displaystyle ,} = arccos ( − 1 3 ) ≈ 1.9106332 ≈ 109.471221 ∘ {\displaystyle \,=\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)\approx 1.9106332\approx 109.471221^{\circ }} 頂點座標 编辑 若一個雙四角錐柱邊長為單位長，且幾何中心位於原點，則其頂點座標為：[10] [8]
( ± 1 2 , ± 1 2 , ± 1 2 ) {\displaystyle \left(\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}}\right)} ( 0 , 0 , ± 1 + 2 2 ) {\displaystyle \left(0,\,0,\,\pm {\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\right)} 相關多面體 编辑 一種非正多邊形面的雙四角錐柱的特例是空間填充多面體 。這種雙四角錐柱的三角形面不是正三角形，三角形的邊長比為 2 : 3 : 3 {\displaystyle 2:{\sqrt {3}}:{\sqrt {3}}} [3]
其可以被認為是立方體堆砌 和菱形十二面體堆砌 [3] :46-47 。其胞在下圖中根據它們在空間中的方向被著色為白色、紅色和藍色。其四角錐帽具有的面是較短的等腰三角形 面，其中6個四角錐帽會聚在一起形成一個立方體 。這種堆砌體的對偶是由兩種八面體（正八面體 和三角反棱柱 ）組成的，由八面體疊加到截半的立方體堆砌的中的截半立方體 中形成。兩種堆砌體都具有 [ [ 4 , 3 , 4 ] ] {\displaystyle \left[\left[4,3,4\right]\right]}
雙四角錐柱可以視為二側錐的四角柱，也就是底面為四邊形之柱體對應的二側錐柱體，其他的二側錐柱體有：
參見 编辑 參考文獻 编辑 ^ Weisstein, Eric W. (编). Elongated Square Dipyramid. at MathWorld Wolfram Research, Inc. （英语） . ^ Johnson, Norman W., Convex polyhedra with regular faces, Canadian Journal of Mathematics 18 : 169–200, MR 0185507 , Zbl 0132.14603 , doi:10.4153/cjm-1966-021-8 ^ 3.0 3.1 3.2 Keith Critchlow. Order in Space: A design source book. Thames & Hudson. ISBN 978-0500340332 ^ Goldberg, Michael. On the space-filling octahedra. Geometriae Dedicata. 1981-01, 10 (1): 323–335 [2022-09-07 ] . doi:10.1007/BF01447431 . （原始内容于2017-12-22）. ^ 5.0 5.1 David I. McCooey. Johnson Solids: Elongated Square Dipyramid. [2022-09-07 ] . （原始内容于2022-09-07）. ^ The Elongated Square Bipyramid. qfbox.info. [2022-09-07 ] . （原始内容于2022-09-07）. ^ 7.0 7.1 7.2 Elongated square bipyramid. polyhedra.tessera.li. [2022-09-07 ] . （原始内容于2022-09-07）. ^ 8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 Richard Klitzing. elongated square dipyramid, esquidpy. bendwavy.org. [2022-09-07 ] . （原始内容于2022-11-14）. ^ 9.0 9.1 Sapiña, R. Area and volume of the Johnson solid J15 . Problemas y ecuaciones. [2020-09-09 ] . ISSN 2659-9899 . （原始内容于2022-08-22） （西班牙语） . ^ David I. McCooey. Data of Elongated Square Dipyramid. [2022-09-07 ] . （原始内容于2022-09-07）.
雙四角錐柱, 是指以四邊形為基底的雙角錐柱, 其可以由四角柱在兩端各連接一個底面大小相同的四角錐來構成, 若的基底為正方形, 且側面都是正多邊形的話, 則這個立體是一種全部由正多邊形組成的立體, 為92種詹森多面體中的其中一個, 其索引為j15, 詹森多面體是凸多面體, 面皆由正多邊形組成但不屬於均勻多面體, 共有92種, 這些立體最早在1966年由諾曼, 詹森, 英语, norman, johnson, mathematician, norman, johnson, 命名並給予描述, 類別詹森多面體, j16對偶. 雙四角錐柱是指以四邊形為基底的雙角錐柱 其可以由四角柱在兩端各連接一個底面大小相同的四角錐來構成 若雙四角錐柱的基底為正方形 且側面都是正多邊形的話 則這個立體是一種全部由正多邊形組成的立體 為92種詹森多面體中的其中一個 其索引為J15 1 詹森多面體是凸多面體 面皆由正多邊形組成但不屬於均勻多面體 共有92種 這些立體最早在1966年由諾曼 詹森 英语 Norman Johnson mathematician Norman Johnson 命名並給予描述 2 雙四角錐柱類別詹森多面體 J14 J15 J16對偶多面體雙四角錐台 英语 Square bifrustum 識別名稱雙四角錐柱參考索引J15鮑爾斯縮寫 verse and dimensions的wikia Bowers acronym esquidpy性質面12邊20頂點10歐拉特徵數F 12 E 20 V 10 x 2 組成與佈局面的種類8個三角形4個正方形頂點圖2個 34 8個 32 42 對稱性對稱群D4h 4 2 422 旋轉對稱群 英語 Rotation groups D4 4 2 422 圖像雙四角錐台 英语 Square bifrustum 對偶多面體 展開圖 查论编雙四角錐柱因其形似鉛筆又稱為鉛筆立方體 pencil cube 或12面鉛筆立方體 12 faced pencil cube 3 46 47 4 目录 1 性質 1 1 體積與表面積 1 2 二面角 1 3 頂點座標 2 相關多面體 3 參見 4 參考文獻性質 编辑雙四角錐柱共由12個面 20條邊和10個頂點組成 5 6 7 在其12個面中 有8個三角形面和4個正方形面 5 在其10個頂點中 有兩種頂點 一種頂點為4個三角形的公共頂點 在頂點圖中可以用 34 來表示 8 這種頂點有2個 7 另外一種頂點為2個三角形和2個正方形的公共頂點 在頂點圖中可以用 32 42 來表示 8 這種頂點有8個 7 體積與表面積 编辑 若一個雙四角錐柱邊長為L displaystyle L nbsp 則其體積V displaystyle V nbsp 與表面積A displaystyle A nbsp 為 9 V L 3 1 2 3 L 3 1 471404521 displaystyle V L 3 cdot left 1 frac sqrt 2 3 right approx L 3 cdot 1 471404521 nbsp A L 2 4 2 3 L 2 7 464101615 displaystyle A L 2 cdot left 4 2 sqrt 3 right approx L 2 cdot 7 464101615 nbsp 這樣的雙四角錐柱整體的高H displaystyle H nbsp 為 9 H L 1 2 L 2 414213562 displaystyle H L cdot left 1 sqrt 2 right approx L cdot 2 414213562 nbsp 二面角 编辑 雙四角錐柱共有3種二面角 分別為三角形和正方形的二面角 三角形和三方形的二面角以及正方形和正方形的二面角 8 其中正方形和正方形的二面角為直角 即90度角 8 displaystyle angle nbsp 正方形 displaystyle nbsp 正方形 90 displaystyle 90 circ nbsp 而三角形和正方形的二面角為負根號三分之二的反餘弦值 約為144 7356度 8 displaystyle angle nbsp 三角形 displaystyle nbsp 正方形 arccos 2 3 2 52611294 144 735610 displaystyle arccos left sqrt frac 2 3 right approx 2 52611294 approx 144 735610 circ nbsp 三角形和三方形的二面角為負三分之一的反餘弦值 約為109 471度 8 displaystyle angle nbsp 三角形 displaystyle nbsp 三方形 arccos 1 3 1 9106332 109 471221 displaystyle arccos left frac 1 3 right approx 1 9106332 approx 109 471221 circ nbsp 頂點座標 编辑 若一個雙四角錐柱邊長為單位長 且幾何中心位於原點 則其頂點座標為 10 8 1 2 1 2 1 2 displaystyle left pm frac 1 2 pm frac 1 2 pm frac 1 2 right nbsp 0 0 1 2 2 displaystyle left 0 0 pm frac 1 sqrt 2 2 right nbsp 相關多面體 编辑一種非正多邊形面的雙四角錐柱的特例是空間填充多面體 這種雙四角錐柱的三角形面不是正三角形 三角形的邊長比為2 3 3 displaystyle 2 sqrt 3 sqrt 3 nbsp 3 nbsp nbsp 其可以被認為是立方體堆砌和菱形十二面體堆砌 之間的過渡立體 3 46 47 其胞在下圖中根據它們在空間中的方向被著色為白色 紅色和藍色 其四角錐帽具有的面是較短的等腰三角形面 其中6個四角錐帽會聚在一起形成一個立方體 這種堆砌體的對偶是由兩種八面體 正八面體和三角反棱柱 組成的 由八面體疊加到截半的立方體堆砌的中的截半立方體中形成 兩種堆砌體都具有 4 3 4 displaystyle left left 4 3 4 right right nbsp 對稱性 nbsp 雙四角錐柱堆砌 nbsp 一半的堆砌 nbsp 倒角正方形鑲嵌雙四角錐柱可以視為二側錐的四角柱 也就是底面為四邊形之柱體對應的二側錐柱體 其他的二側錐柱體有 二側錐柱體 側錐方式 3 4 5 6 7 8鄰 nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp nbsp 二側錐三角柱 鄰二側錐四角柱 鄰二側錐五角柱 鄰二側錐六角柱 鄰二側錐七角柱 鄰二側錐八角柱間 nbsp nbsp nbsp nbsp 間二側錐五角柱 間二側錐六角柱 間二側錐七角柱 間二側錐八角柱對 nbsp nbsp nbsp 對二側錐四角柱 對二側錐六角柱 對二側錐八角柱1 4 nbsp nbsp 1 4 二側錐七角柱 1 4 二側錐八角柱參見 编辑詹森多面體 正多面體 正四角錐 正六面體參考文獻 编辑 Weisstein Eric W 编 Elongated Square Dipyramid at MathWorld A Wolfram Web Resource Wolfram Research Inc 英语 Johnson Norman W Convex polyhedra with regular faces Canadian Journal of Mathematics 英语 Canadian Journal of Mathematics 1966 18 169 200 MR 0185507 Zbl 0132 14603 doi 10 4153 cjm 1966 021 8 3 0 3 1 3 2 Keith Critchlow Order in Space A design source book Thames amp Hudson ISBN 978 0500340332 Goldberg Michael On the space filling octahedra Geometriae Dedicata 1981 01 10 1 323 335 2022 09 07 doi 10 1007 BF01447431 原始内容存档于2017 12 22 5 0 5 1 David I McCooey Johnson Solids Elongated Square Dipyramid 2022 09 07 原始内容存档于2022 09 07 The Elongated Square Bipyramid qfbox info 2022 09 07 原始内容存档于2022 09 07 7 0 7 1 7 2 Elongated square bipyramid polyhedra tessera li 2022 09 07 原始内容存档于2022 09 07 8 0 8 1 8 2 8 3 8 4 8 5 8 6 Richard Klitzing elongated square dipyramid esquidpy bendwavy org 2022 09 07 原始内容存档于2022 11 14 9 0 9 1 Sapina R Area and volume of the Johnson solid J15 Problemas y ecuaciones 2020 09 09 ISSN 2659 9899 原始内容存档于2022 08 22 西班牙语 David I McCooey Data of Elongated Square Dipyramid 2022 09 07 原始内容存档于2022 09 07 取自 https zh wikipedia org w index php title 雙四角錐柱 amp oldid 75727391, 维基百科，wiki ，书籍，书籍，图书馆，
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