二側錐三角柱

二側錐三角柱（英文：Biaugmented triangular prism）屬於詹森多面體之一（J₅₀）^[1]。形如其名地，它可由兩個正四角錐（J₁）以底面黏合在一個正三角柱的兩個側面上組合而成，這與側錐三角柱（J₄₉）和三側錐三角柱（J₅₁）有著極為相似的構造。這92種詹森多面體最早在1966年由詹森·諾曼（英语：Norman Johnson (mathematician)）命名並予以觀察描述。^[2]在化學中，部分分子呈二側錐三角柱形狀，例如N₂H₆ZrF₆。^[3]

二側錐三角柱

類別	詹森多面體 J49 - J50 - J51
對偶多面體	見#對偶多面體一節
識別
名稱	二側錐三角柱 Biaugmented triangular prism
別名	二側錐三角柱
參考索引	J50
鮑爾斯縮寫 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	bautip
性質
面	11
邊	17
頂點	8
歐拉特徵數	F=11, E=17, V=8 （χ=2）
組成與佈局
組合幾何體種類	2個四角錐 1個三角柱
結合方式	四角錐的底面與三角錐側面貼合
面的種類	10個三角形 1個正方形
頂點的種類	2個(3^5) 2個(3^4) 4個(3^3.4)
對稱性
對稱群	C2v群
特性
凸
圖像
見#對偶多面體一節 （對偶多面體） （展開圖）
查 论 编

性質

二側錐三角柱共由11個面、17條邊和8個頂點組成。^[4]在其11個面中有10個三角形面和1個正方形面。二側錐三角柱可以視為三角柱與2個正四角錐的組合^[5]:86，因此在二側錐三角柱的10個三角形面又可以分成兩組，一組為側錐的側面，每個側錐有4個正三角形，共8個正三角形；以及三角柱的兩個三角形底面。^[6]

體積與表面積

若二側錐三角柱邊長為單位長，則其體積${\displaystyle V}$ 與表面積${\displaystyle A}$ 為：^[6]

${\displaystyle V={\frac {4{\sqrt {2}}+3{\sqrt {3}}}{12}}\approx 0.904417}$ ^[6]

${\displaystyle A=1+{\frac {5{\sqrt {3}}}{2}}\approx 5.33013}$ ^[7]

頂點座標

若二側錐三角柱邊長為單位長，則其頂點座標為：^[8]

${\displaystyle \left(\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}},\,{\frac {\sqrt {3}}{6}}\right)}$ 

${\displaystyle \left(0,\,\pm {\frac {1}{2}},\,-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\right)}$ 

${\displaystyle \left(\pm {\frac {1+{\sqrt {6}}}{4}},\,0,\,-{\frac {3{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}{12}}\right)}$ 

二面角

二側錐三角柱有5種二面角，其中分別是2種三角形-正方形交角和3種三角形-三角形交角。^[9]

其中一種三角形-正方形交角來自於三角柱底面和側面的交稜，二面角為90度^[9]；另一種三角形-正方形交角則來自側錐側面的三角形與三角柱側面的交稜，其角度約為114.73561度：

${\displaystyle \cos ^{-1}{\left(-{\frac {3{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}{6}}\right)}\approx 114.73561^{\circ }}$ ^[6]

另外三個二面角分別為兩側錐側面的交稜約169.47122度、側錐側面與三角柱底面的交稜約144.73561度、以及同個側錐中兩側面的交稜約109.47122度。^[9]

兩側錐側面稜的交角${\displaystyle =\cos ^{-1}{\left(-{\frac {1+2{\sqrt {6}}}{6}}\right)}\approx 169.47122^{\circ }}$ ^[6]

側錐側面與三角柱底面稜的交角${\displaystyle =\cos ^{-1}{\left(-{\frac {\sqrt {6}}{3}}\right)}\approx 144.73561^{\circ }}$ ^[6]

同個側錐中兩側面稜的交角${\displaystyle =\cos ^{-1}{\left(-{\frac {1}{3}}\right)}\approx 109.47122^{\circ }}$ ^[6]

對偶多面體

根據對偶多面體的定義，多面體的對偶多面體其面將會是原始多面體的頂點圖，^[10]而二側錐三角柱的由6個四面角（其中4個是3個三角形和1個正方形的公共角、2個是4個三角形的公共角）和2個五面角（3個三角形的公共角）組成^[11]，因此對應的對偶多面體會有6個四邊形和2個五邊形面，為截去2個非頂角頂點的雙三角錐。

•  
  二側錐三角柱
•  
  二側錐三角柱的對偶多面體

相關多面體

二側錐三角柱是2個側面被四角錐取代的三角柱。其他也是側面被取代的三角柱結構有側錐三角柱和三側錐三角柱。^[5]:86

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  側錐三角柱
•  
  二側錐三角柱
•  
  三側錐三角柱

二側錐三角柱是底面為三角形之柱體對應的二側錐柱體，其他的二側錐柱體有：

二側錐柱體

側錐方式	3	4	5	6	7	8
鄰
	二側錐三角柱	鄰二側錐四角柱	鄰二側錐五角柱	鄰二側錐六角柱	鄰二側錐七角柱	鄰二側錐八角柱
間	-	-
			間二側錐五角柱	間二側錐六角柱	間二側錐七角柱	間二側錐八角柱
對	-		-		-
		對二側錐四角柱		對二側錐六角柱		對二側錐八角柱
1,4	-	-	-	-
					1,4-二側錐七角柱	1,4-二側錐八角柱

參見

• 詹森多面體
• 正四角錐
• 側錐三角柱
• 三側錐三角柱
• 多面體

參考文獻

1. Weisstein, Eric W. (编). Biaugmented Triangular Prism. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
2. Johnson, Norman W., Convex polyhedra with regular faces, Canadian Journal of Mathematics, 1966, 18: 169–200, MR 0185507, Zbl 0132.14603, doi:10.4153/cjm-1966-021-8 .
3. Deza, Antoine and Deza, Michel and Grishukhin, Viatcheslav. Fullerenes and coordination polyhedra versus half-cube embeddings. Discrete mathematics (Elsevier). 1998, 192 (1-3): 41–80. 
4. Vladimir Bulatov. biaugmented triangular prism. [2021-09-06]. （原始内容于2020-11-05）.  （页面存档备份，存于互联网档案馆）
5. Rajwade, A.R. Convex Polyhedra with Regularity Conditions and Hilbert's Third Problem. Texts and Readings in Mathematics. Hindustan Book Agency. 2001. ISBN 9789386279064. 
6. David I. McCooey. Johnson Solids : Biaugmented Triangular Prism. dmccooey.com. [2021-09-05]. （原始内容于2021-09-12）.  （页面存档备份，存于互联网档案馆）
7. Wolfram, Stephen. "Biaugmented Triangular Prism". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）. 
8. David I. McCooey. Data of Biaugmented Triangular Prism. dmccooey.com. [2021-09-05]. （原始内容于2021-09-12）.  （页面存档备份，存于互联网档案馆）
9. Richard Klitzing. biaugmented triangular prism, bautip. bendwavy.org. [2021-09-12]. （原始内容于2021-09-21）.  （页面存档备份，存于互联网档案馆）
10. Weisstein, Eric W. (编). Dual Polyhedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
11. Biaugmented triangular prism. polyhedra.tessera.li. [2021-09-12]. （原始内容于2021-09-12）.  （页面存档备份，存于互联网档案馆）

外部連結

• 埃里克·韦斯坦因. Johnson Solid. MathWorld. 
• 埃里克·韦斯坦因. 二側錐三角柱. MathWorld.