Moler, Cleve; Van Loan, Charles F., Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix, Twenty-Five Years Later (PDF), SIAM Review, 2003, 45 (1): 3–49 [2008-08-14], ISSN 1095-7200, (原始内容 (PDF)于2008-12-08).
矩阵指数, matrix, exponential, 是方块矩阵的一种矩阵函数, 与指数函数类似, 给出了矩阵李代数与对应的李群之间的关系, 设x为n, n的实数或复数矩阵, x的指数, 用ex或exp, 来表示, 是由以下幂级数所给出的n, n矩阵, displaystyle, infty, over, 以上的级数总是收敛的, 因此x的指数是定义良好的, 注意, 如果x是1, 1的矩阵, 则x的就是由x的元素的指数所组成的1, 1矩阵, 目录, 性质, 基本性质, 线性微分方程, 的行列式, 指数相加, 李乘积公. 矩阵指数 matrix exponential 是方块矩阵的一种矩阵函数 与指数函数类似 矩阵指数给出了矩阵李代数与对应的李群之间的关系 设X为n n的实数或复数矩阵 X的指数 用eX或exp X 来表示 是由以下幂级数所给出的n n矩阵 e X k 0 1 k X k displaystyle e X sum k 0 infty 1 over k X k 以上的级数总是收敛的 因此X的指数是定义良好的 注意 如果X是1 1的矩阵 则X的矩阵指数就是由X的元素的指数所组成的1 1矩阵 目录 1 性质 1 1 基本性质 1 2 线性微分方程 1 3 矩阵指数的行列式 1 4 指数相加 1 5 李乘积公式 1 6 贝克尔 坎贝尔 豪斯多夫公式 1 7 指数映射 2 矩阵指数的计算 2 1 可对角化矩阵 2 2 幂零矩阵 2 3 推广 3 计算 4 应用 4 1 线性微分方程 4 1 1 例子 齐次 4 1 2 非齐次的情况 参数变换 4 1 3 例子 非齐次 5 註釋 6 参考文献 7 参閱 8 外部链接性质 编辑基本性质 编辑 设X和Y为n n的复数矩阵 并设a和b为任意的复数 我们把n n的单位矩阵记为I 把零矩阵记为0 我们可以从指数级数的定义直接得到矩阵指数的如下性质 1 e0 I exp XT exp X T 其中XT表示X的转置 从中可以推出 如果X是对称矩阵 则eX也是对称矩阵 如果X是斜对称矩阵 则eX是正交矩阵 exp X exp X 其中X 表示X的共轭转置 可以推出 如果X是埃尔米特矩阵 则eX也是埃尔米特矩阵 如果X是斜埃尔米特矩阵 则eX是酉矩阵 如果Y 是可逆矩阵 那么 eYXY 1 YeXY 1接下来是一个关键性质 如果X Y Y X displaystyle XY YX 那么 e X e Y e X Y displaystyle e X e Y e X Y 由此导出的推论有 eaXebX e a b X eXe X I线性微分方程 编辑 矩阵指数的一个重要性 是它可以用来解微分方程 从 1 可知 以下微分方程 d d t y t A y t y 0 y 0 displaystyle frac d dt y t Ay t quad y 0 y 0 其中A是矩阵 具有解 y t e A t y 0 displaystyle y t e At y 0 矩阵指数也可以用来解非齐次方程 d d t y t A y t z t y 0 y 0 displaystyle frac d dt y t Ay t z t quad y 0 y 0 参见以下的例子 当A不是常数时 以下形式的微分方程没有闭式解 d d t y t A t y t y 0 y 0 displaystyle frac d dt y t A t y t quad y 0 y 0 但马格努斯级数可以给出无穷级数形式的解 矩阵指数的行列式 编辑 根据雅可比公式 对任意复矩阵 下列迹等式成立 2 det e A e tr A displaystyle det e A e operatorname tr A 除了提供一种额外的计算工具 这个等式还表明矩阵指数总是可逆矩阵 这点可以如下证明 因为上述等式的右边恒不等于0 所以左边det eA 0 从而eA 必可逆 指数相加 编辑 我们知道 对于任何实数 标量 x和y 指数函数都满足公式ex y exey 类似的等式对于可交换矩阵也成立 如果矩阵X和Y是可交换的 即XY YX 则 e X Y e X e Y displaystyle e X Y e X e Y 但是 如果它们不是可交换的 则以上的等式不一定成立 这个命题反过来不成立 eX Y eXeY并不一定就意味着X和Y是可交换的 但是 如果X和Y只含有代数数 而且它们的大小至少为2 2 则反过来也成立 3 X和Y不可交换的情况可以用以下方法计算 李乘积公式 编辑 即使X displaystyle X 和Y displaystyle Y 不可交换 e X Y displaystyle e X Y 可以用李乘积公式来计算 4 e X Y lim n e X n e Y n n displaystyle e X Y lim n rightarrow infty e X n e Y n n 贝克尔 坎贝尔 豪斯多夫公式 编辑 从另一个方向讲 如果X displaystyle X 和Y displaystyle Y 是元素足够小 但不一定可交换 的矩阵 我们有 e X e Y e Z displaystyle e X e Y e Z 其中Z displaystyle Z 可以通过X displaystyle X 和Y displaystyle Y 的交换子的级数 贝克尔 坎贝尔 豪斯多夫公式 来计算 5 Z X Y 1 2 X Y 1 12 X X Y displaystyle Z X Y frac 1 2 X Y frac 1 12 X X Y cdots 其中余项均为与X displaystyle X 和Y displaystyle Y 相关的迭代交换子 指数映射 编辑 注意矩阵的指数总是非奇异方阵 eX的逆矩阵由e X给出 这与复数的指数总是非零的事实类似 这样 矩阵指数就给出了一个映射 exp M n C GL n C displaystyle exp colon M n mathbb C to mbox GL n mathbb C 这是从所有n n矩阵的空间到一般线性群 所有非奇异方阵所组成的群 的映射 实际上 这个映射是满射 就是说每一个非奇异方阵都可以写成某个矩阵的指数 矩阵对数就是这个映射的逆映射 对于任何两个矩阵X和Y 我们有 e X Y e X Y e X e Y displaystyle e X Y e X leq Y e X e Y 其中 表示任意的矩阵范数 从中可以推出 指数映射在Mn C 的紧子集内是连续和利普希茨连续的 以下的映射 t e t X t R displaystyle t mapsto e tX qquad t in mathbb R 定义了一般线性群中的一条光滑曲线 当t 0时穿过单位元 实际上 这给出了一般线性群的一个单参数子群 这是由于 e t X e s X e t s X displaystyle e tX e sX e t s X 这条曲线在点t的导数 或切向量 由以下等式给出 d d t e t X X e t X 1 displaystyle frac d dt e tX Xe tX qquad 1 t 0时的导数就是矩阵X 所以我们可以说 X是这个单参数子群的推广 更加一般地 d d t e X t 0 1 e 1 a X t d X t d t e a X t d a displaystyle frac d dt e X t int 0 1 e 1 alpha X t frac dX t dt e alpha X t d alpha 矩阵指数的计算 编辑寻找计算矩阵指数的可靠和准确的方法是困难的 目前在数学和数值分析领域中仍然是一个正在研究的话题 有些方法列举如下 可对角化矩阵 编辑 如果矩阵是对角的 A a 1 0 0 0 a 2 0 0 0 a n displaystyle A begin bmatrix a 1 amp 0 amp ldots amp 0 0 amp a 2 amp ldots amp 0 vdots amp vdots amp ddots amp vdots 0 amp 0 amp ldots amp a n end bmatrix 则把主对角线上的所有元素取指数 就是原矩阵的指数 e A e a 1 0 0 0 e a 2 0 0 0 e a n displaystyle e A begin bmatrix e a 1 amp 0 amp ldots amp 0 0 amp e a 2 amp ldots amp 0 vdots amp vdots amp ddots amp vdots 0 amp 0 amp ldots amp e a n end bmatrix 这也允许了我们计算可对角化矩阵的指数 如果A U D U 1 displaystyle A UDU 1 且D是对角矩阵 则e A U e D U 1 displaystyle e A Ue D U 1 用西尔维斯特公式 也可以得到相同的结果 幂零矩阵 编辑 如果对于某个整数q 有Nq 0 则矩阵N称为幂零矩阵 在这种情况下 矩阵指数eN可以直接从级数展开式来计算 这是因为级数在有限个项后就终止了 e N I N 1 2 N 2 1 6 N 3 1 q 1 N q 1 displaystyle e N I N frac 1 2 N 2 frac 1 6 N 3 cdots frac 1 q 1 N q 1 推广 编辑 当矩阵X的最小多项式可以分解为一次多项式的积时 它就可以表示为以下的和 X A N displaystyle X A N 其中 A是可对角化矩阵 N是幂零矩阵 A与N是可交换的 也就是说 AN NA 这称为Dunford分解 这就是说 我们可以通过化为前两种情况 来计算X的指数 e X e A N e A e N displaystyle e X e A N e A e N 注意为了让最后一步成立 A和N必须是可交换的 另外一个密切相关的方法 是利用X的若尔当标准型 假设X PJP 1 其中J是X的若尔当标准型 那么 e X P e J P 1 displaystyle e X Pe J P 1 另外 由于 J J a 1 l 1 J a 2 l 2 J a n l n displaystyle J J a 1 lambda 1 oplus J a 2 lambda 2 oplus cdots oplus J a n lambda n e J exp J a 1 l 1 J a 2 l 2 J a n l n exp J a 1 l 1 exp J a 2 l 2 exp J a k l k displaystyle begin aligned e J amp exp big J a 1 lambda 1 oplus J a 2 lambda 2 oplus cdots oplus J a n lambda n big amp exp big J a 1 lambda 1 big oplus exp big J a 2 lambda 2 big oplus cdots oplus exp big J a k lambda k big end aligned 因此 我们只需要知道怎样计算若尔当块的矩阵指数 但是 每一个若尔当块都具有形式 J a l l I N displaystyle J a lambda lambda I N 其中N是幂零矩阵 则这个区块的矩阵指数由下式给出 e l I N e l e N displaystyle e lambda I N e lambda e N 计算 编辑假设我们想要计算以下矩阵的指数 B 21 17 6 5 1 6 4 4 16 displaystyle B begin bmatrix 21 amp 17 amp 6 5 amp 1 amp 6 4 amp 4 amp 16 end bmatrix 它的若尔当型为 J P 1 B P 4 0 0 0 16 1 0 0 16 displaystyle J P 1 BP begin bmatrix 4 amp 0 amp 0 0 amp 16 amp 1 0 amp 0 amp 16 end bmatrix 其中矩阵P由下式给出 P 1 4 2 5 4 1 4 2 1 4 0 4 0 displaystyle P begin bmatrix frac 1 4 amp 2 amp frac 5 4 frac 1 4 amp 2 amp frac 1 4 0 amp 4 amp 0 end bmatrix 我们首先来计算exp J 我们有 J J 1 4 J 2 16 displaystyle J J 1 4 oplus J 2 16 1 1矩阵的指数仅仅是该矩阵的元素的指数 因此exp J1 4 e4 J 2 16 displaystyle J 2 16 的指数可以用以上提到的公式exp lI displaystyle I N el exp N 来算出 exp 16 1 0 16 e 16 exp 0 1 0 0 e 16 1 0 0 1 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 e 16 e 16 0 e 16 displaystyle exp left begin bmatrix 16 amp 1 0 amp 16 end bmatrix right e 16 exp left begin bmatrix 0 amp 1 0 amp 0 end bmatrix right e 16 left begin bmatrix 1 amp 0 0 amp 1 end bmatrix begin bmatrix 0 amp 1 0 amp 0 end bmatrix 1 over 2 begin bmatrix 0 amp 0 0 amp 0 end bmatrix cdots right begin bmatrix e 16 amp e 16 0 amp e 16 end bmatrix 因此 原矩阵B的指数为 exp B P exp J P 1 P e 4 0 0 0 e 16 e 16 0 0 e 16 P 1 1 4 13 e 16 e 4 13 e 16 5 e 4 2 e 16 2 e 4 9 e 16 e 4 9 e 16 5 e 4 2 e 16 2 e 4 16 e 16 16 e 16 4 e 16 displaystyle exp B P exp J P 1 P begin bmatrix e 4 amp 0 amp 0 0 amp e 16 amp e 16 0 amp 0 amp e 16 end bmatrix P 1 1 over 4 begin bmatrix 13e 16 e 4 amp 13e 16 5e 4 amp 2e 16 2e 4 9e 16 e 4 amp 9e 16 5e 4 amp 2e 16 2e 4 16e 16 amp 16e 16 amp 4e 16 end bmatrix 应用 编辑线性微分方程 编辑 矩阵指数在解线性微分方程时十分有用 前面曾提到 以下形式的微分方程 y C y displaystyle mathbf y C mathbf y 具有解eCty 0 如果我们考虑以下向量 y t y 1 t y n t displaystyle mathbf y t begin bmatrix y 1 t vdots y n t end bmatrix 我们就可以把线性微分方程表示为 y t A y t b t displaystyle mathbf y t A mathbf y t mathbf b t 如果我们作一个猜想 把两边乘以一个积分因子 e At 便得到 e A t y e A t A y e A t b displaystyle e At mathbf y e At A mathbf y e At mathbf b d d t e A t y e A t b displaystyle frac d dt e At mathbf y e At mathbf b 如果我们可以计算eAt 那么就得到了微分方程的解 例子 齐次 编辑 假设我们有以下的微分方程组 x 2 x y z y 3 y 1 z z 2 x y 3 z displaystyle begin matrix x amp amp 2x amp y amp z y amp amp amp 3y amp 1z z amp amp 2x amp y amp 3z end matrix 相关的矩阵为 M 2 1 1 0 3 1 2 1 3 displaystyle M begin bmatrix 2 amp 1 amp 1 0 amp 3 amp 1 2 amp 1 amp 3 end bmatrix 在以上的例子中 我们计算了矩阵指数 e t M 2 e t 2 t e 2 t 2 t e 2 t 0 2 e t 2 t 1 e 2 t 2 t 1 e 2 t 0 2 t e 2 t 2 t e 2 t 2 e t displaystyle e tM begin bmatrix 2e t 2te 2t amp 2te 2t amp 0 2e t 2 t 1 e 2t amp 2 t 1 e 2t amp 0 2te 2t amp 2te 2t amp 2e t end bmatrix 因此微分方程组的通解为 x y z C 1 2 e t 2 t e 2 t 2 e t 2 t 1 e 2 t 2 t e 2 t C 2 2 t e 2 t 2 t 1 e 2 t 2 t e 2 t C 3 0 0 2 e t displaystyle begin bmatrix x y z end bmatrix C 1 begin bmatrix 2e t 2te 2t 2e t 2 t 1 e 2t 2te 2t end bmatrix C 2 begin bmatrix 2te 2t 2 t 1 e 2t 2te 2t end bmatrix C 3 begin bmatrix 0 0 2e t end bmatrix 也就是说 x C 1 2 e t 2 t e 2 t C 2 2 t e 2 t y C 1 2 e t 2 t 1 e 2 t C 2 2 t 1 e 2 t z C 1 C 2 2 t e 2 t 2 C 3 e t displaystyle begin aligned x amp C 1 2e t 2te 2t C 2 2te 2t y amp C 1 2e t 2 t 1 e 2t C 2 2 t 1 e 2t z amp C 1 C 2 2te 2t 2C 3 e t end aligned 非齐次的情况 参数变换 编辑 对于非齐次的情况 我们可以用积分因子的方法 类似于参数变换的方法 我们找到形为yp t exp tA z t 一个特解 y p e t A z t e t A z t displaystyle mathbf y p e tA mathbf z t e tA mathbf z t A e t A z t e t A z t displaystyle Ae tA mathbf z t e tA mathbf z t A y p t e t A z t displaystyle A mathbf y p t e tA mathbf z t 为了让yp为方程的解 必须有 e t A z t b t displaystyle e tA mathbf z t mathbf b t z t e t A 1 b t displaystyle mathbf z t e tA 1 mathbf b t z t 0 t e u A b u d u c displaystyle mathbf z t int 0 t e uA mathbf b u du mathbf c 因此 y p e t A 0 t e u A b u d u e t A c 0 t e t u A b u d u e t A c displaystyle begin aligned mathbf y p amp e tA int 0 t e uA mathbf b u du e tA mathbf c amp int 0 t e t u A mathbf b u du e tA mathbf c end aligned 其中c由问题的初始条件决定 例子 非齐次 编辑 假设我们有以下的微分方程组 x 2 x y z e 2 t y 3 y 1 z z 2 x y 3 z e 2 t displaystyle begin matrix x amp amp 2x amp y amp z amp e 2t y amp amp amp 3y amp 1z amp z amp amp 2x amp y amp 3z amp e 2t end matrix 那么我们有 M 2 1 1 0 3 1 2 1 3 displaystyle M begin bmatrix 2 amp 1 amp 1 0 amp 3 amp 1 2 amp 1 amp 3 end bmatrix 以及 b e 2 t 1 0 1 displaystyle mathbf b e 2t begin bmatrix 1 0 1 end bmatrix 用前面的方法 我们可以得出齐次微分方程的解 由于齐次方程的通解与非齐次方程的特解的和就是非齐次方程的通解 因此我们只需要找到一个特解 用参数变换法 我们有 y p e t 0 t e u M e 2 u 0 e 2 u d u e t M c displaystyle mathbf y p e t int 0 t e u M begin bmatrix e 2u 0 e 2u end bmatrix du e tM mathbf c y p e t 0 t 2 e u 2 u e 2 u 2 u e 2 u 0 2 e u 2 u 1 e 2 u 2 u 1 e 2 u 0 2 u e 2 u 2 u e 2 u 2 e u e 2 u 0 e 2 u d u e t M c displaystyle mathbf y p e t int 0 t begin bmatrix 2e u 2ue 2u amp 2ue 2u amp 0 2e u 2 u 1 e 2u amp 2 u 1 e 2u amp 0 2ue 2u amp 2ue 2u amp 2e u end bmatrix begin bmatrix e 2u 0 e 2u end bmatrix du e tM mathbf c y p e t 0 t e 2 u 2 e u 2 u e 2 u e 2 u 2 e u 2 1 u e 2 u 2 e 3 u 2 u e 4 u e t M c displaystyle mathbf y p e t int 0 t begin bmatrix e 2u 2e u 2ue 2u e 2u 2e u 2 1 u e 2u 2e 3u 2ue 4u end bmatrix e tM mathbf c y p e t 1 24 e 3 t 3 e t 4 t 1 16 1 24 e 3 t 3 e t 4 t 4 16 1 24 e 3 t 3 e t 4 t 1 16 2 e t 2 t e 2 t 2 t e 2 t 0 2 e t 2 t 1 e 2 t 2 t 1 e 2 t 0 2 t e 2 t 2 t e 2 t 2 e t c 1 c 2 c 3 displaystyle mathbf y p e t begin bmatrix 1 over 24 e 3t 3e t 4t 1 16 1 over 24 e 3t 3e t 4t 4 16 1 over 24 e 3t 3e t 4t 1 16 end bmatrix begin bmatrix 2e t 2te 2t amp 2te 2t amp 0 2e t 2 t 1 e 2t amp 2 t 1 e 2t amp 0 2te 2t amp 2te 2t amp 2e t end bmatrix begin bmatrix c 1 c 2 c 3 end bmatrix 进一步简化 就可以得到原方程的特解 註釋 编辑 Hall 2015harvnb error no target CITEREFHall2015 help Proposition 2 3 Hall 2015harvnb error no target CITEREFHall2015 help Theorem 2 12 Horn amp Johnson 1991 pp 435 437 Hall 2015harvnb error no target CITEREFHall2015 help Theorem 2 11 Hall 2015harvnb error no target CITEREFHall2015 help Chapter 5参考文献 编辑Horn Roger A Johnson Charles R Topics in Matrix Analysis Cambridge University Press 1991 ISBN 978 0 521 46713 1 Moler Cleve Van Loan Charles F Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix Twenty Five Years Later PDF SIAM Review 2003 45 1 3 49 2008 08 14 ISSN 1095 7200 原始内容存档 PDF 于2008 12 08 参閱 编辑矩阵对数 指数函数 指数映射 向量流 高登 湯普森不等式 位相型分布外部链接 编辑埃里克 韦斯坦因 Matrix Exponential MathWorld 矩阵指数的教程 取自 https zh wikipedia org w index php title 矩阵指数 amp oldid 67860958, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,