指數映射 (李群)

在微分幾何中，指數映射是微積分中定義的指數函數在任意黎曼流形上的推廣。李群上的指數映射是一類重要的情形。

定義

設 ${\displaystyle M}$  為微分流形，${\displaystyle \nabla :TM\to T^{*}M\otimes TM}$  為其上的仿射聯絡。給定任一點 ${\displaystyle p\in M}$ 。根據常微分方程的基本理論，存在切空間 ${\displaystyle T_{p}M}$  中的開子集 ${\displaystyle U\ni p}$  及光滑映射 ${\displaystyle \gamma :U\times [0,2]\to M}$ ，使得：

• ${\displaystyle \gamma (0,-)=p}$ 
• 對每個 ${\displaystyle v\in U}$ ，映射 ${\displaystyle \gamma (v,-):[0,2]\to M}$  是測地線。
• 承上，${\displaystyle {\frac {d}{dt}}|_{t=0}\gamma (v,t)=v}$ 。

對夠小的 ${\displaystyle U}$ ，映射 ${\displaystyle \gamma }$  是唯一的。定義點 ${\displaystyle p}$  的指數映射為

${\displaystyle \exp(w)=\gamma (w,1)\quad (w\in U)}$ 

由於常微分方程解的存在性只是局部性的，指數映射一般不能定義在整個 ${\displaystyle T_{p}M}$  上，在黎曼流形的情形，霍普夫-里諾定理給出了充要條件。此外，指數映射通常也不是滿映射，而是 ${\displaystyle p}$  的一個鄰域。黎曼流形上由指數映射給出的坐標系稱作測地法坐標。

从几何上看，指数映射exp(p,v)是把切丛中的一个切向量v，映射到以(p,v)为初始条件的测地线从点p量起弧长等于|v|的点。

李群的情形

設 ${\displaystyle G}$  為李群，取定左、右不變之仿射聯絡，可得在整個李代數上定義的指數映射 ${\displaystyle \exp :{\mathfrak {g}}\to g}$ 。這是聯繫李代數與李群的主要工具。李群的指數映射滿足下述性質：

• 若 ${\displaystyle [X,Y]=0}$ ，則 ${\displaystyle \exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y)}$ ；對一般情形，左式可由 Campbell-Baker-Hausdorff 公式給出。
• ${\displaystyle \exp({\mathfrak {g}})}$  在群論的意義下生成 ${\displaystyle G}$ 。
• 設 ${\displaystyle \phi \colon G\to H}$  為李群同態，${\displaystyle \phi _{*}}$  為它在單位元處的拉回作用，則我们有一交換圖

 

• 重要的特例是 ${\displaystyle G=H}$  而 ${\displaystyle \phi =\mathrm {Ad} _{g}}$ （伴隨作用），此時有
  • ${\displaystyle g(\exp X)g^{-1}=\exp(\mathrm {Ad} _{g}X)\,}$ 
  • ${\displaystyle \mathrm {Ad} _{\exp X}=\exp(\mathrm {ad} _{X})\,}$ 

取 ${\displaystyle G=(\mathbb {R} ^{\times },\cdot )}$ ，相應者便是尋常的指數函數 ${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$ 。取 ${\displaystyle G=(\mathbb {R} ^{n},+)}$ ，相應者是恆等映射 ${\displaystyle \mathrm {id} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ 。

事實上，對複李群及任何完備域上的解析李群都能定義指數映射。

文獻

• Manfredo P. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser (1992). ISBN 0-8176-3490-8. See Chapter 3.
• Jeff Cheeger and David G. Ebin, Comparison Theorems in Riemannian Geometry, Elsevier (1975).