雅可比公式

在矩阵微积分中，雅可比公式（Jacobi's formula）把矩阵 ${\displaystyle \mathbf {A} }$ 的行列式的导数表达为 ${\displaystyle \mathbf {A} }$ 的伴随矩阵与 ${\displaystyle \mathbf {A} }$ 本身导数的乘积的跡。

若 ${\displaystyle \mathbf {A} }$ 是从实数到 ${\displaystyle n\times n}$ 矩阵的可微映射，则

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\det \mathbf {A} \left(t\right)=\operatorname {tr} \left(\operatorname {adj} \left(\mathbf {A} \left(t\right)\right)\,{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} \left(t\right)}{\mathrm {d} t}}\right)}$。

其中 ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {X} \right)}$ 為矩阵 ${\displaystyle \mathbf {X} }$ 的跡。

參考資料

1. Magnus & Neudecker (1999, pp. 149–150), Part Three, Section 8.3