若尔当矩阵

在数学中，特别是矩阵论裡，若尔当矩阵是矩阵的一种，又称若尔当块（作为另一个矩阵的一部分时）。当系数取在某个环${\displaystyle \displaystyle R}$ 上时（其中的零元和乘法单位元分别记为0和1），若尔当矩阵可以写成如下形式：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&\lambda \\\end{bmatrix}}}$

其对角线上全都是同一个元素${\displaystyle \displaystyle \lambda \in R}$，而对角线上一排（即所有第${\displaystyle \scriptstyle k}$行第${\displaystyle \scriptstyle k+1}$列）都是1，其余位置上都是0。

可以看到只要确定了对角线上的系数${\displaystyle \scriptstyle \lambda }$ 和矩阵的大小${\displaystyle \scriptstyle n}$，就确定了一个若尔当矩阵。这样一个若尔当矩阵被记为${\displaystyle \displaystyle J_{\lambda ,n}}$。

如果一个分块对角矩阵的每一个分块都是若尔当块，那么这个矩阵叫做若尔当形矩阵，或若尔当标准型。例如以下矩阵：

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}J_{\lambda _{1},m_{1}}&0&0&\cdots &0\\0&J_{\lambda _{2},m_{2}}&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&J_{\lambda _{s-1},m_{s-1}}&0\\0&0&0&0&J_{\lambda _{s},m_{s}}\\\end{bmatrix}}}$

以上的若尔当形矩阵也可以记成${\displaystyle J=J_{\lambda _{1},m_{1}}\oplus J_{\lambda _{2},m_{2}}\oplus \ldots \oplus J_{\lambda _{N},m_{N}}}$

给定的一个若尔当矩阵${\displaystyle \displaystyle J_{\lambda ,n}}$ 可以分解为：

${\displaystyle J_{\lambda ,n}=\lambda I_{n}+N}$

其中${\displaystyle I_{n}}$ 是n 维的单位矩阵，而N 则是一个幂零矩阵：

${\displaystyle N={\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\\\end{bmatrix}}}$

矩阵N 满足${\displaystyle \displaystyle N^{n}=0}$。

参见

• 若尔当-谢瓦列分解
• 若尔当标准型
• 全纯函数
• 矩阵指数
• 矩阵对数
• 动态系统
• 分歧理论
• 状态空间

参考来源

• 金朝嵩、段正敏、王汉明. 线性代数. 清华大学出版社. 2006年.