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极限集合

数学领域,特别是对于动力系统的研究中,极限集合(或称极限集极限点集)是一个动力系统在时间趋于无穷的时候的极限点集合。极限集合有两种,分别是时间正向流动至正无穷时的极限点集合和时间反向流动回溯至负无穷时的极限点集合。在动力系统研究中,极限集合可以用来理解动力系统的长期性态。动力系统中的极限集合的种类包括有奇点周期轨线,极限环吸引子

一般情况下的极限集合可能随着奇异吸引子的出现而变得非常复杂,但是在二维的动力系统中,庞加莱-本迪克松定理提供了一个极限集合的简洁的刻画:这时的动力系统的极限集合只可能是不动点或周期轨线。

对于迭代函数的定义 编辑

  为一个度量空间,并令   为一个连续函数。集合  元素   关于   -极限集合是其经过函数   迭代后得到的序列   的所有极限点的集合,记作  。依此定义,某元素 当且仅当存在严格递增的自然数列   使得 当   的时候  。用纯数学语言也可以表示为:

 

极限集合内的点称为回归点.

如果   是一个同胚映射(即一个本身和其反函数都连续的函数),那么还可以定义 集合  元素   关于   -极限集合: ,这是将   关于   做反向迭代后得到的序列的极限点集合。

以上定义的两个集合都对函数   保持不变,并且如果集合  紧集的话,那么它们也是非空的紧集。

对动力系统的定义 编辑

给定一个实数值动力系统  ,其中 为时间,

 

为描述方程,  是以点 初始值的解(由  所确定的)。

一个点 y 被称为   (关于动力系统)的ω-极限点,如果存在实数序列   使得:

 ,并且
 

  (关于动力系统)的ω-极限集合是所有  的ω-极限点的集合,记为 

类似地,称 y  (关于动力系统)的α-极限点,存在实数序列   使得:

 ,且
 

  (关于动力系统)的α-极限集合是所有  的α-极限点的集合,记为 

对于一个非空集合  ,类似地定义   的ω-极限集合  里的所有元素的极限集合之并集,记为 

 

同样可以定义   的α-极限集合

 

如果某点的ω-极限集合跟以此点为初始值的半轨线(流)的交集空集,则称相应的极限集合为一个ω-极限环 。同样地,如果某点α-极限集合跟以此点为初始值的半轨线(流)的交集为空集,则称相应的极限集合为一个α-极限环

参见 编辑

参考来源 编辑

  • Claude Viterbo, Équations différentielles et systèmes dynamiques, Les Éditions de l'École Polytechnique,2008.
  • Robert Devaney, Morris W. Hirsch, Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos, Second Edition,2007
  • Emmanuel Hainry,Computing omega-limit Sets in Linear Dynamical Systems.
  • Fabio Celani, Omega-limit Sets of Nonlinear Systems that are Semiglobally Practically Stabilized, Washington University, St. Louis, USA

极限集合, 在数学领域, 特别是对于动力系统的研究中, 或称极限集, 极限点集, 是一个动力系统在时间趋于无穷的时候的极限点的集合, 有两种, 分别是时间正向流动至正无穷时的极限点集合和时间反向流动回溯至负无穷时的极限点集合, 在动力系统研究中, 可以用来理解动力系统的长期性态, 动力系统中的的种类包括有奇点, 周期轨线, 极限环和吸引子, 一般情况下的可能随着奇异吸引子的出现而变得非常复杂, 但是在二维的动力系统中, 庞加莱, 本迪克松定理提供了一个的简洁的刻画, 这时的动力系统的只可能是不动点或周期轨线, 目录. 在数学领域 特别是对于动力系统的研究中 极限集合 或称极限集 极限点集 是一个动力系统在时间趋于无穷的时候的极限点的集合 极限集合有两种 分别是时间正向流动至正无穷时的极限点集合和时间反向流动回溯至负无穷时的极限点集合 在动力系统研究中 极限集合可以用来理解动力系统的长期性态 动力系统中的极限集合的种类包括有奇点 周期轨线 极限环和吸引子 一般情况下的极限集合可能随着奇异吸引子的出现而变得非常复杂 但是在二维的动力系统中 庞加莱 本迪克松定理提供了一个极限集合的简洁的刻画 这时的动力系统的极限集合只可能是不动点或周期轨线 目录 1 对于迭代函数的定义 2 对动力系统的定义 3 参见 4 参考来源对于迭代函数的定义 编辑设 X displaystyle X nbsp 为一个度量空间 并令 f X X displaystyle f X rightarrow X nbsp 为一个连续函数 集合 X displaystyle X nbsp 中元素 x X displaystyle x in X nbsp 关于 f displaystyle f nbsp 的w displaystyle omega nbsp 极限集合是其经过函数 f displaystyle f nbsp 迭代后得到的序列 f n x n N displaystyle f n x n in mathbb N nbsp 的所有极限点的集合 记作 w x f displaystyle omega x f nbsp 依此定义 某元素y w x f displaystyle y in omega x f nbsp 当且仅当存在严格递增的自然数列 n k k N displaystyle n k k in mathbb N nbsp 使得 当 k displaystyle k rightarrow infty nbsp 的时候 f n k x y displaystyle f n k x rightarrow y nbsp 用纯数学语言也可以表示为 w x f n N f k x k gt n displaystyle omega x f bigcap n in mathbb N overline f k x k gt n nbsp 极限集合内的点称为回归点 如果 f displaystyle f nbsp 是一个同胚映射 即一个本身和其反函数都连续的函数 那么还可以定义 集合 X displaystyle X nbsp 中元素 x X displaystyle x in X nbsp 关于 f displaystyle f nbsp 的a displaystyle alpha nbsp 极限集合 a x f w x f 1 displaystyle alpha x f omega x f 1 nbsp 这是将 x displaystyle x nbsp 关于 f displaystyle f nbsp 做反向迭代后得到的序列的极限点集合 以上定义的两个集合都对函数 f displaystyle f nbsp 保持不变 并且如果集合 X displaystyle X nbsp 是紧集的话 那么它们也是非空的紧集 对动力系统的定义 编辑给定一个实数值动力系统 T X f displaystyle T X varphi nbsp 其中T displaystyle T nbsp 为时间 x t X t x t 1 displaystyle x t X t x t 1 nbsp 为描述方程 f t 0 t x 0 ϕ t 0 t x 0 displaystyle varphi t 0 t x 0 rightarrow phi t 0 t x 0 nbsp 是以点x 0 displaystyle x 0 nbsp 初始值的解 由 1 displaystyle 1 nbsp 和 x 0 displaystyle x 0 nbsp 所确定的流 一个点 y 被称为 x 0 displaystyle x 0 nbsp 关于动力系统 的w 极限点 如果存在实数序列 t n n N displaystyle t n n in mathbb N nbsp 使得 lim n t n displaystyle lim n to infty t n infty nbsp 并且 lim n f t 0 t n x y displaystyle lim n to infty varphi t 0 t n x y nbsp x 0 displaystyle x 0 nbsp 关于动力系统 的w 极限集合是所有x 0 displaystyle x 0 nbsp 的w 极限点的集合 记为L w x 0 displaystyle L omega x 0 nbsp 类似地 称 y 为 x 0 displaystyle x 0 nbsp 关于动力系统 的a 极限点 存在实数序列 t n n N displaystyle t n n in mathbb N nbsp 使得 lim n t n displaystyle lim n to infty t n infty nbsp 且 lim n f t 0 t n x y displaystyle lim n to infty varphi t 0 t n x y nbsp x 0 displaystyle x 0 nbsp 关于动力系统 的a 极限集合是所有x 0 displaystyle x 0 nbsp 的a 极限点的集合 记为L a x 0 displaystyle L alpha x 0 nbsp 对于一个非空集合 Z displaystyle Z nbsp 类似地定义 Z displaystyle Z nbsp 的w 极限集合是 Z displaystyle Z nbsp 里的所有元素的极限集合之并集 记为L w Z displaystyle L omega Z nbsp L w Z z Z L w z displaystyle L omega Z bigcup z in Z L omega z nbsp 同样可以定义 Z displaystyle Z nbsp 的a 极限集合 L a Z z Z L a z displaystyle L alpha Z bigcup z in Z L alpha z nbsp 如果某点的w 极限集合跟以此点为初始值的正半轨线 流 的交集为空集 则称相应的极限集合为一个w 极限环 同样地 如果某点a 极限集合跟以此点为初始值的负半轨线 流 的交集为空集 则称相应的极限集合为一个a 极限环 参见 编辑Julia集 稳定集 极限环 周期点 非游荡集参考来源 编辑Claude Viterbo Equations differentielles et systemes dynamiques Les Editions de l Ecole Polytechnique 2008 Robert Devaney Morris W Hirsch Differential Equations Dynamical Systems and an Introduction to Chaos Second Edition 2007 Emmanuel Hainry Computing omega limit Sets in Linear Dynamical Systems Fabio Celani Omega limit Sets of Nonlinear Systems that are Semiglobally Practically Stabilized Washington University St Louis USA 取自 https zh wikipedia org w index php title 极限集合 amp oldid 76161249, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,

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