周期点

在数学中，特别是在迭代函数和动态系统领域，周期点是指被多次迭代后又映射到自身的点。这里的迭代次数叫做周期。周期为1的周期点被称为不动点。

迭代函数

设${\displaystyle f}$ 是集合${\displaystyle X}$ 上的自同态函数

${\displaystyle f:X\to X}$ 

若存在${\displaystyle n}$ ，使得

${\displaystyle \ f^{n}(x)=x}$ 

则${\displaystyle x}$ 是周期为${\displaystyle n}$ 的周期点。这里，${\displaystyle \ f^{n}}$ 是${\displaystyle f}$ 的${\displaystyle n}$ 次迭代。使得上式成立的最小正整数被称为最小周期。

设${\displaystyle p}$ 是函数${\displaystyle f(x)}$ 的以${\displaystyle n}$ 为周期的周期点，若

${\displaystyle |(f^{n})^{\prime }|\neq 1}$ 

则${\displaystyle p}$ 是双曲周期点。若

${\displaystyle |(f^{n})^{\prime }|<1}$ 

则称周期点p为吸引子；若

${\displaystyle |(f^{n})^{\prime }|>1}$ 

则称周期点p为排斥子。

若该周期点的稳定流形的维数为0，则称其为源点；若不稳定流形的维数为0，则称其为汇点；若稳定流形和不稳定流形的维数均不为0，则称其为鞍点。

动态系统

给定一个连续时间动态系统${\displaystyle (\mathbb {R} ,X,\Phi )}$ ，其中${\displaystyle X}$ 是相空间，${\displaystyle \Phi }$ 是状态转移函数，

${\displaystyle \Phi :\mathbb {R} \times X\to X}$ 

若存在${\displaystyle t>=0}$ ，${\displaystyle x\in X}$ ，使得

${\displaystyle \Phi (t,x)=x\,}$ 

则${\displaystyle x}$ 被称为以${\displaystyle t}$ 为周期的周期点，使上式成立的最小正数${\displaystyle t}$ 被称为最小周期。

性质

设${\displaystyle x}$ 是以${\displaystyle t}$ 为周期的周期点，则对于任意实数${\displaystyle s}$ ，${\displaystyle \Phi (s,x)=\Phi (s+t,x)\,}$ 都成立。 设轨迹${\displaystyle \gamma _{x}}$ 经过周期点${\displaystyle x}$ ，则该轨迹上的所有点均为周期点，且最小周期与${\displaystyle x}$ 的最小周期相等。

参见

• 极限环
• 极限集合
• 稳定集合
• 沙可夫斯基定理（英语：Sharkovskii's theorem）
• 驻点
• 不动点