八面半八面體

在幾何學中，八面半八面體是一種非凸多面體（英语：Nonconvex polyhedron），屬於星形多面體及均勻多面體^[1]，也可以歸類在非凸均勻多面體，其索引為U₃。八面半八面體由8個正三角形和4個正六邊形組成，且每個頂點對應的角皆相等，因此也可以被歸類為擬正多面體^[2]，然而由於這個立體同時具備半多面體的特性，因此被部分學者分成一類新的立體，即擬正半多面體（Versi-Regular Polyhedra），這類立體共有九個，最早在1881年由亞伯特·巴杜羅（Albert Badoureau）發現並描述^[3]。特別地，這個立體的邊長與外接球半徑相等^[4]。八面半八面體可以與星形八面體共同堆砌填滿空間，因此曾應用於建築結構中。^[5]

八面半八面體

類別	星形均勻多面體
對偶多面體	八面半無窮星形八面體
識別
名稱	八面半八面體
參考索引	U3, C37, W68
鮑爾斯縮寫 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	oho
數學表示法
考克斯特符號 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
威佐夫符號 （英语：Wythoff symbol）	^3/2 3 | 3
性質
面	12
邊	24
頂點	12
歐拉特徵數	F=12, E=24, V=12 （χ=0）
虧格	-1
組成與佈局
面的種類	8個三角形{3} 4個六邊形{6} 存在半三角形{3/2} 一種抽象多胞形（英语：Abstract_polytope）
面的佈局 （英语：Face configuration）	8{3}+4{6}
頂點圖	3.6.^3/2.6
對稱性
對稱群	Oh, [4,3], *432
特性
均勻
圖像
3.6.^3/2.6 （頂點圖） 八面半無窮星形八面體 （對偶多面體） （展開圖）
查 论 编

性質

八面半八面體共有12個面、24條邊和12個頂點^[6][7]，是一種十二面體，每個頂點都是2個正三角形和2個六邊形的公共頂點。^[6]

定向性

八面半八面體是唯一可定向且歐拉示性數為零的半多面體，^[8]這意味著其具有拓撲環面的性質。^[9]

八面半八面體

八面半八面體在拓樸上的展開圖可以排佈為分割成8個正三角形和4個正六邊形的菱形。所有頂點的角虧為零

這個展開圖是截半六邊形鑲嵌的一部份，在威佐夫符號（英语：Wythoff symbol）中計為3 3 | 3、考克斯特-狄肯記號（英语：Coxeter-Dynkin diagram）計為

二面角

八面半八面體僅有一種二面角，為三角形和六邊形的棱之交角，其值為三分之一的反餘弦值^[10][11]：

${\displaystyle \cos ^{-1}({\frac {1}{3}})\approx 1.230959417\approx 70.5287^{\circ }}$ 

其值約為70度31分43.6秒

頂點座標

由於其凸包為截半立方體，因此其12頂點會與截半立方體相同，為(0, ±1, ±1),(±1, 0, ±1),(±1, ±1, 0)，若邊長為a，則座標要縮放${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}a}$ 倍。^[12]

作為簡單多面體

八面半八面體具有抽象多胞形半三角形面和互相相交的六邊形面，但若去除相交的面作為一個簡單多面體，則其可以視為由32個正三角形組成的凹多面體^[13][14]。這種多面體共有32個面、48條邊和13個頂點，其結構與四角化截半立方體拓樸同構，不過四角化截半立方體有18個頂點而這種多面體僅有13個頂點是因為有6個頂點在中心共用。另一方面，這個立體也可以視為由8個正四面體組合而成。^[15]:103

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  四角化截半立方體

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  截半立方體

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  倒四角化截半立方體
  八面半八面體

對偶多面體

八面半無窮星形八面體

類別	無窮星形多面體
對偶多面體	八面半八面體
識別
名稱	八面半無窮星形八面體
參考索引	DU3
數學表示法
考克斯特符號 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
性質
面	12
邊	24
頂點	12
歐拉特徵數	F=12, E=24, V=12 （χ=0）
組成與佈局
面的種類	12個四條稜的抽象多胞形（英语：Abstract_polytope）
頂點圖	每個頂點周圍都有3個面
對稱性
對稱群	Oh, [4,3], *432
圖像
八面半八面體 （對偶多面體）
查 论 编

八面半八面體的對偶多面體是八面半無窮星形八面體。其外觀與立方半無窮星形八面體相同^[16]。

從定義上來看，對偶多面體的面會與原始立體的頂點圖相同，同時頂點周圍之面的排列方式會和原始立體的面之邊相同，也就是說對偶多面體的頂點圖為原始立體的面^[17]。由於八面半無窮星形八面體是八面半八面體的對偶多面體，而八面半八面體的12個頂點皆為4個面的公共頂點，因此八面半無窮星形八面體的面理應具有12個面，每個面由4個邊組成^[7]。然而八面半八面體有部分面幾何中心落在整個立體的幾何中心上，因此其對偶多面體的頂點會落在無窮遠處，即無窮实射影平面上的點。^[18]一般來說，這樣的立體無法被具象化^[7]。為了具像化這種立體，溫尼爾在著作《對偶模型》中將其描述為由無限高的柱體組合構成的立體，在這樣的視覺化方式下，八面半八面體外觀為由4個無限高的六角柱構成的立體^[18]。

相關多面體

八面半八面體可以被切割重新拼湊成星形八面體^[19]。

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  八面半八面體

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  星形八面體

八面半八面體可透過截去皮特里立方體的所有頂點來構造，也就是說，八面半八面體可以視為截半的皮特里立方體。^[20][21]

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  八面半八面體

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  皮特里立方體

八面半八面體可以視為是截半立方體經過刻面後的結果^[4]，而立方半八面體也可以視為是刻面的截半立方體^[22]。

截半立方體		立方半八面體	八面半八面體
八面體對稱	四面體對稱		八面體對稱	四面體對稱
2 | 3 4	3 3 | 2	4/3 4 | 3		3/2 3 | 3

中心八面半八面體數

中心八面半八面體數是一種排列成八面半八面體的有形數。第n個中心八面半八面體數可以表示為${\displaystyle {\tfrac {4n^{3}+24n^{2}+8n+3}{3}}}$ ^[23]。由於八面半八面體數與截半立方體共用相同的頂點排列方式，因此數列前兩項與中心截半立方體數（OEIS數列A005902）相同，第三項開始少去了八面半八面體數相對於截半立方體缺少的6個四角錐^[23]

前幾個中心八面半八面體數為：

1, 13, 49, 117, 225, 381, 593, 869, 1217, 1645, 2161, 2773, 3489, 4317, 5265, 6341....（OEIS數列A274974）

參見

• 五複合八面半八面體（英语：Compound of five octahemioctahedra）

參考文獻

1. Wolfram, Stephen. "Octahemioctahedron". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）. 
2. George W. Hart. Quasi-Regular Polyhedra. 1996 [2021-09-05]. （原始内容于2021-08-30）. 
3. Jean Paul Albert Badoureau. Mémoire sur les Figures Isocèles. Journal de l'École polytechnique. 1881, (49): 47-172. 
4. Weisstein, Eric W. (编). Octahemioctahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
5. Hisarligil, Hakan and Hisarligil, Beyhan Bolak. The Geometry of Cuboctahedra in Medieval Art in Anatolia. Nexus Network Journal (Springer). 2018, 20 (1): 125–152. 
6. Uniform Polyhedra 03: Octahemioctahedron. mathconsult. [2016-08-31]. （原始内容于2020-02-17）. 
7. Vladimir Bulatov. octahemioctacron. Polyhedra Collection, bulatov.org. [2021-07-30]. （原始内容于2020-02-23）. 
8. The Octahemioctahedron. 西密西根大學. [2016-08-31]. （原始内容于2016-03-14）. 
9. David A. Richter. The Octahemioctahedron. [2016-08-31]. （原始内容于2016-03-14）. 
10. Jean Paul Albert Badoureau, Mémoire sur les Figures Isocèles, Journal de l'École polytechnique 49 (1881), 47-172.
11. Versi-Regular Polyhedra: Octahemioctahedron. dmccooey.com. [2016-08-31]. （原始内容于2019-10-03）. 
12. Klitzing, Richard. octahemioctahedron, oho. bendwavy.org. [2021-09-06]. （原始内容于2021-01-23）. 
13. Gijs Korthals Altes. (PDF). korthalsaltes.com. [2016-08-31]. （原始内容 (PDF)存档于2016-06-15）. 
14. Robert Webb. Octahemioctahedron. software3d.com. [2021-09-07]. （原始内容于2021-07-29）. 
15. Wenninger, M.J. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974 [2021-09-06]. ISBN 9780521098595. LCCN 69010200. （原始内容于2021-08-31）. 
16. Weisstein, Eric W. (编). Octahemioctacron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
17. Weisstein, Eric W. (编). Dual Polyhedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
18. Wenninger, Magnus, Dual Models, Cambridge University Press, 2003 [1983], ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208, doi:10.1017/CBO9780511569371  (Page 101, Duals of the (nine) hemipolyhedra)
19. HİSARLIGİL, Hakan and HİSARLIGİL, Beyhan BOLAK. The third dimension of the Magdouh Mosaic in Antioch. Journal of Mosaic Research. 2019, (12): 107-118},. 
20. {6,3}_(2,2), Petrie dual of the cube. Regular Map database - map details. [2021-07-30]. 
21. octahemioctahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-30]. （原始内容于2021-07-25）. 
22. Weisstein, Eric W. (编). Cubohemioctahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
23. Sloane, N.J.A. (编). Sequence A274974 (Centered octahemioctahedral numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 

外部連結

• 埃里克·韦斯坦因. 八面半八面體. MathWorld. 
• 埃里克·韦斯坦因. 八面半無窮星形八面體. MathWorld.