電磁波方程式

在電磁學裏，電磁波方程式（英語：Electromagnetic wave equation）乃是描述電磁波傳播於介質或真空的二階微分方程式。電磁波的波源是局域化的含時電荷密度和電流密度，假若波源為零，則電磁波方程式約化為二階齊次微分方程式（英语：homogeneous differential equation）。這方程式的形式，以電場${\displaystyle \mathbf {E} \,\!}$和磁場${\displaystyle \mathbf {B} \,\!}$來表達為

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {E} \ =\ 0\,\!}$、

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {B} \ =\ 0\,\!}$；

其中，${\displaystyle \nabla ^{2}\,\!}$是拉普拉斯算符，${\displaystyle c\,\!}$是電磁波在真空或介質中傳播的速度，${\displaystyle t\,\!}$是時間。

由於光波就是電磁波，${\displaystyle c\,\!}$也是光波傳播的速度，稱為光速。在真空裏，${\displaystyle c=c_{0}=299,792,458\,\!}$ ［公尺／秒］，是電磁波傳播於自由空間的速度。

歷史

参见：麦克斯韦方程组的历史

在詹姆斯·麦克斯韦的1864年論文《電磁場的動力學理論》內，麦克斯韦將位移電流與其它已成立的電磁方程式合併，因而得到了描述電磁波的波動方程式。最令人振奮的是，這方程式所描述的波動的波速等於光波的速度。他這樣說^[1] ：

這些殊途一致的結果，似乎意味著光波與電磁波都是同樣物質的屬性，並且，光波是按照著電磁定律傳播於電磁場的電磁擾動。——詹姆斯·麦克斯韦

理論推導

在真空裏，麦克斯韦方程組的四個微分方程式為

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =0\,\!}$ 、(1)

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,\!}$ 、(2)

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0\,\!}$ 、(3)

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,\!}$ ；(4)

其中，${\displaystyle \mu _{0}\,\!}$ 是真空磁導率，${\displaystyle \varepsilon _{0}\,\!}$ 是真空電容率。

分別取公式(2)、(4)的旋度，

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {E} )=-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times \mathbf {B} )=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}\,\!}$ 、

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times \mathbf {E} )=-\mu _{o}\varepsilon _{o}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}\,\!}$ 。

應用一則向量恆等式（這裏，${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {V} }$ 應被理解爲對V的每個分量取拉普拉斯算子，卽拉普拉斯–德拉姆算子）

${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {V} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {V} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {V} \,\!}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {V} \,\!}$ 是任意向量函數。

將公式(1)、(3)代入，即可得到亥姆霍茲方程形式的波動方程式：

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {E} \ =\ 0\,\!}$ 、(5)

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {B} \ =\ 0\,\!}$ ；(6)

其中，${\displaystyle c=c_{0}={1 \over {\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}=2.99792458\times 10^{8}\,\!}$  ［公尺／秒］是電磁波傳播於自由空間的速度。

齊次的波動方程式的協變形式

電磁四維勢${\displaystyle A^{\mu }\,\!}$ 是由電勢${\displaystyle \phi \,\!}$ 與矢量勢${\displaystyle \mathbf {A} \,\!}$ 共同形成的，定義為

${\displaystyle A^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ (\phi /c,\,\mathbf {A} )\,\!}$ 。

採用勞侖次規範：

${\displaystyle {\frac {\partial A^{\mu }}{\partial x^{\mu }}}=0\,\!}$ 。

前述那些齊次的波動方程式(5)、(6)，可以按照反變形式寫為

${\displaystyle \ \Box A^{\mu }=0\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle \Box =\partial ^{\nu }\partial _{\nu }={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{\nu }\partial x^{\nu }}}={\frac {1}{{c}^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\nabla ^{2}\,\!}$ 是達朗貝爾算子，又稱為四維拉普拉斯算子。

彎曲時空中的齊次的波動方程式

主条目：彎曲時空中的麥克斯韋方程組

齊次的电磁波方程式在弯曲时空中需要做两处修正，分别是將偏导数替换为协变导数，以及增加了一项有关时空曲率的项。假设洛伦茨规范在弯曲时空中的推广为

${\displaystyle {A^{\mu }}_{;\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\partial A^{\mu }}{\partial x^{\mu }}}=0\,\!}$ 。

那麼，彎曲時空中的齊次的波動方程式為

${\displaystyle -{A^{\alpha ;\beta }}_{\beta }+{R^{\alpha }}_{\beta }A^{\beta }=0\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle {R^{\alpha }}_{\beta }\,\!}$ 是里奇曲率张量。

非齊次的電磁波方程式

主条目：非齊次的電磁波方程

追根究底，局域化的含時電荷密度和電流密度是電磁波的波源。在有波源的情形下，馬克士威方程組可以寫成一個非齊次的電磁波方程式的形式。正是因為波源的存在，使得偏微分方程式變為非齊次。

波動方程式的解

主条目：波動方程式

在齊次的電磁波方程式中，電場和磁場的每一個分量都滿足純量波動方程式

${\displaystyle {\frac {1}{{c}^{2}}}{\partial ^{2}f \over \partial t^{2}}-\nabla ^{2}f\ =\ 0\,\!}$ ；(7)

其中，${\displaystyle f\,\!}$ 是任意良態函數，

純量波動方程式的一般解的形式為

${\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)=g(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle g(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)\,\!}$ 是任意良態函數，${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 是位置向量，${\displaystyle t\,\!}$ 是時間，${\displaystyle \mathbf {k} \,\!}$ 是波向量，${\displaystyle \omega \,\!}$ 是角頻率。

函數${\displaystyle g(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)\,\!}$ 描述一個波動，隨著時間的演化，朝著${\displaystyle \mathbf {k} \,\!}$ 的方向傳播於空間。將函數${\displaystyle g(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)\,\!}$ 代入純量波動方程式(7)，可得到角頻率與波數的色散關係：

${\displaystyle \omega ^{2}=c^{2}k^{2}\,\!}$ ，

或者，角頻率一定大於零，但波數可以是負值：

${\displaystyle \omega =c|k|\,\!}$ 。

正弦波

 

正弦函數和餘弦函數的曲線是不同相位的正弦曲線。

假設，函數${\displaystyle g\,\!}$ 的波形為正弦波：

${\displaystyle f=f_{0}\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\phi _{0})\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle {f}_{0}\,\!}$ 是實值波幅，${\displaystyle \phi _{0}\,\!}$ 是初相位。

根據歐拉公式，

${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \,\!}$ ，

函數${\displaystyle f\,\!}$ 也可以表達為一個複數的實值部分

${\displaystyle f=\operatorname {Re} \{f_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\phi _{0})}\}\,\!}$ 。

以上方加有波浪號的符號來標記複值變數。設定複值函數${\displaystyle {\tilde {f}}\,\!}$ 為

${\displaystyle {\tilde {f}}=f_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\phi _{0})}={\tilde {f}}_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle {\tilde {f}}_{0}=f_{0}e^{i\phi _{0}}\,\!}$ 是複值波幅。

那麼，

${\displaystyle f=\operatorname {Re} \{{\tilde {f}}\}\,\!}$ ；

純量波動方程式的正弦波解的形式為${\displaystyle {\tilde {f}}\,\!}$ 的實值部分。任意涉及實函數${\displaystyle f\,\!}$ 的線性方程式，都可以用複函數${\displaystyle {\tilde {f}}\,\!}$ 來代替${\displaystyle f\,\!}$ 。最後得到的複值答案，只要取實值部分，就可以得到描述實際物理的答案。但是，當遇到非線性方程式，必須先轉換為實值函數，才能夠確保答案的正確性。

由於指數函數比三角函數容易計算，在很多場合，都可以使用這技巧。

線性疊加

任意波動${\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)\,\!}$ 可以表達為一個無限集合的不同頻率的正弦波的線性疊加：

${\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)=\int _{0}^{\infty }{\tilde {f}}_{0}(\mathbf {r} ,\omega )e^{-i\omega t}\ d\omega \,\!}$ 。

所以，只要能得知單獨頻率的波動${\displaystyle {\tilde {f}}_{0}(\mathbf {r} ,\omega )\,\!}$ （單色波）的表達式，就可以求算整個波動${\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)\,\!}$ 的表達式。

齊次的電磁波方程式的解

單色正弦平面波的解

 

電磁波是橫波，電場方向與磁場方向相互垂直，又都垂直於傳播方向。

主条目：電磁波方程式的單色正弦平面波解

從前面的分析，可以猜到齊次的電磁波方程式的單色正弦平面波的解為：

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} ,t)={\tilde {\mathbf {E} }}_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\,\!}$ 、

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {B} }}(\mathbf {r} ,t)={\tilde {\mathbf {B} }}_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle {\tilde {\mathbf {E} }}_{0}\,\!}$ 、${\displaystyle {\tilde {\mathbf {B} }}_{0}\,\!}$ 分別為複值電場${\displaystyle {\tilde {\mathbf {E} }}}$ 和複值磁場${\displaystyle {\tilde {\mathbf {B} }}}$ 的複常數振幅向量。

這兩個方程式顯示出的正弦平面波的傳播方向是${\displaystyle \mathbf {k} \,\!}$ 的方向。由於方程式(1)和(3)，

${\displaystyle \mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} ,t)=\mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {E} }}_{0}=0\,\!}$ 、

${\displaystyle \mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} ,t)=\mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {B} }}_{0}=0\,\!}$ ，

電場和磁場垂直於波向量，波動傳播的方向。所以，電磁波是橫波。

由於法拉第電磁感應定律方程式(2)，

${\displaystyle \nabla \times {\tilde {\mathbf {E} }}=\left(\nabla e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\right)\times {\tilde {\mathbf {E} }}_{0}=i\mathbf {k} \times {\tilde {\mathbf {E} }}=-{\frac {\partial {\tilde {\mathbf {B} }}}{\partial t}}=i\omega {\tilde {\mathbf {B} }}\,\!}$ 。

將角頻率與波數的色散關係式${\displaystyle \omega =ck\,\!}$ 帶入：

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {B} }}={\frac {\mathbf {k} }{\omega }}\times {\tilde {\mathbf {E} }}={\frac {1}{c}}{\hat {\mathbf {k} }}\times {\tilde {\mathbf {E} }}\,\!}$ 。

所以，電場與磁場相互垂直於對方；磁場的大小等於電場的大小除以光速。

電磁波譜分解

 

電磁波譜顯示出不同種類的電磁波的頻率值域和波長值域。可見光譜只佔有寬廣的電磁波譜的一小部分。

由於馬克士威方程組在真空裡的線性性質，其解答可以分解為一集合的正弦波。將這集合的正弦波的疊加在一起，又可以形成原本的解答。這是傅立葉變換方法解析微分方程式的基礎概念。電磁波方程式的正弦波解的形式為

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\,\!}$ 、

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {B} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\,\!}$ 。

波向量與角頻率的關係為

${\displaystyle k=|\mathbf {k} |={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle \lambda \,\!}$ 是波長。

按照波長長短，從長波開始，電磁波可以分類為電能、無線電波、微波、紅外線、可見光、紫外線、X-射線和伽馬射線等等。普通實驗使用的光譜儀就足以分析從2  奈米到2500 奈米波長的電磁波。使用這種儀器，可以得知物體、氣體或甚至恆星的詳細物理性質。這是天文物理學的必備儀器。例如，氫原子會發射波長為21.12公分的無線電波。

圓柱對稱性解

 

原柱對稱形共軸傳輸線

如圖右，思考一條由半徑為${\displaystyle a\,\!}$ 的無窮長的直導線，和半徑為${\displaystyle b\,\!}$ 的無窮長的圓柱導電管，所組成的共軸傳輸線。假設這傳輸線與z-軸平行。由於共軸傳輸線的內部有一條直導線，不是空心的，它可以傳輸${\displaystyle E_{z}=0\,\!}$ 和${\displaystyle B_{z}=0\,\!}$ 的電磁橫波，採用圓柱坐標${\displaystyle (s,\phi ,z)\,\!}$ ，在傳輸線的內部空間，電場和磁場分別為^[2]

${\displaystyle {\mathbf {E} }(\mathbf {r} ,t)={\frac {{\mathbf {E} }_{0}}{s}}\cos(kz-\omega t){\hat {s}}\,\!}$ 、

${\displaystyle {\mathbf {B} }(\mathbf {r} ,t)={\frac {\mathbf {E} _{0}}{cs}}\cos(kz-\omega t){\hat {\phi }}\,\!}$ 。

這一組方程式顯示出電磁波方程式的圓柱對稱性解的一種形式。

球對稱性解

思考一個位於原點的振盪中的磁偶極矩${\displaystyle m=m_{0}\cos(\omega t)\,\!}$ 。這磁偶極矩會發射出電磁波，從原點往無窮遠輻射出去。採用球坐標${\displaystyle (r,\theta ,\phi )\,\!}$ ，則在離原點很遠的位置${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ ，電場和磁場分別為^[2]

${\displaystyle {\mathbf {E} }(\mathbf {r} ,t)={\frac {\mathbf {E} _{0}\sin \theta }{r}}\left[\cos(kr-\omega t)-{\frac {1}{kr}}[\sin(kr-\omega t)\right]{\hat {\phi }}\,\!}$ 、

${\displaystyle {\mathbf {B} }(\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\mathbf {E} _{0}\sin \theta }{cr}}\left[\cos(kr-\omega t)-{\frac {1}{kr}}[\sin(kr-\omega t)\right]{\hat {\theta }}\,\!}$ 。

這是一組滿足電磁波方程式的球面波方程式。

參閱

理論與實驗

電磁模型（英语：electromagnetic modeling） 電磁輻射 電磁場的數學表述 偏導 光學

推遲勢 傑斐緬柯方程式 相對論 量子電動力學 雙縫實驗中光子的動力學

應用領域

彩虹 宇宙微波背景輻射 雷射 核融合 X-射線 雷達

天線 光子學 微波爐 全像攝影 顯微鏡 望遠鏡

參考文獻

1. 馬克士威, 詹姆斯, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field (PDF): pp. 499, 1864 [2009-12-15], （原始内容 (PDF)于2011-07-28）  引文格式1维护：冗余文本 (link)
2. Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 411–412, 451–453. ISBN 0-13-805326-X.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Tipler, Paul. Physics for Scientists and Engineers: Electricity, Magnetism, Light, and Elementary Modern Physics (5th ed.). W. H. Freeman. 2004. ISBN 0-7167-0810-8. 
• Jackson, John D. Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley. 1998. ISBN 0-471-30932-X. 
• Landau, L. D., The Classical Theory of Fields (Course of Theoretical Physics: Volume 2), (Butterworth-Heinemann: Oxford, 1987). ISBN 0-08-018176-7.
• Maxwell, James C. A Treatise on Electricity and Magnetism. Dover. 1954. ISBN 0-486-60637-6.