电流密度

在電磁學裏，電流密度（current density）是電荷流動的密度，即每單位截面面積電流量。電流密度是一種向量，一般以符號${\displaystyle \mathbf {J} }$表示。採用國際單位制，電流密度的單位是安培／米²（ampere/meter²，A/m²）。

定義

电流密度 J 可以简单地定义为通过单位面积 A（国际单位：m²）的电流 I（国际单位：A）。它的量值由极限给出：^[1]

${\displaystyle J=\lim \limits _{A\rightarrow 0}{\frac {I(A)}{A}}}$ 

当电流密度作为向量 J 时，在曲面 S 上进行曲面积分后，再对持续时间 t₁ 到 t₂ 积分，得到 (t₂ − t₁) 这段时间流过该面的电荷总量：

${\displaystyle q=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\iint _{S}\mathbf {J} \cdot \mathbf {\hat {n}} {\rm {d}}A{\rm {d}}t}$ 

计算通量所用到的面积可实可虚，可平可曲，可为截面也可为表面。例如，对于通过导体的载流子来说，这里遇到的面积是导体的截面。

重要性

對於電力系統和電子系統的設計而言，電流密度是很重要的。電路的性能與電流量緊密相關，而電流密度又是由導體的物體尺寸決定。例如，隨著積體電路的尺寸越變越小，雖然較小的元件需要的電流也較小，為了要達到晶片內含的元件數量密度增高的目標，電流密度會趨向於增高。更詳盡細節，請參閱摩爾定律。

在高頻頻域，由於趨膚效應，傳導區域會更加侷限於表面附近，因而促使電流密度增高。

電流密度過高會產生不理想後果。大多數電導體的電阻是有限的正值，會以熱能的形式消散功率。為了要避免電導體因過熱而被熔化或發生燃燒，並且防止絕緣材料遭到損壞，電流密度必須維持在過高值以下。假若電流密度過高，材料與材料之間的互連部分會開始移動，這現象稱為電遷移（electromigration）。在超導體里，過高的電流密度會產生很強的磁場，這會使得超導體自發地喪失超導性質。

對於電流密度所做的分析和觀察，可以用來探測固體內在的物理性質，包括金屬、半導體、絕緣體等等。在這科學領域，材料學家已經研究發展出一套非常詳盡的理論形式論，來解釋很多機要的實驗觀察^[2]。

安培力定律描述電流密度與磁場之間的關係。電流密度是安培力定律的一個重要參數，

計算电流密度

自由电流

大自然有很多種載有電荷的粒子，稱為「帶電粒子」，例如，導電體內可移動的電子、電解液內的離子、電漿內的電子和離子、強子內的夸克^[3]。這些帶電粒子的移動，形成了電流。電荷流動的分佈可以由電流密度來描述：

${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)=qn(\mathbf {r} ,t)\;\mathbf {v} _{d}(\mathbf {r} ,t)=\rho (\mathbf {r} ,t)\;\mathbf {v} _{d}(\mathbf {r} ,t)}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)}$ 是在位置${\displaystyle \mathbf {r} }$ 、在時間${\displaystyle t}$ 的電流密度向量，${\displaystyle q}$ 是帶電粒子的電荷量，${\displaystyle n(\mathbf {r} ,t)}$ 是帶電粒子密度，是單位體積的帶電粒子數量，${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)}$ 是電荷密度，${\displaystyle \mathbf {v} _{d}(\mathbf {r} ,t)}$ 是帶電粒子的平均漂移速度。

電流密度時常可以近似為與電場成正比，以方程式表達為

${\displaystyle \mathbf {J} =\sigma \mathbf {E} }$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {E} }$ 是电场，${\displaystyle \mathbf {J} }$ 是电流密度，${\displaystyle \sigma }$ 是电导率，是電阻率的倒數。

推导

欧姆定律示意图 电阻公式闡明，一個均勻截面的物體的電阻與電阻率和導體長度成正比，與截面面積成反比。以方程式表達， ${\displaystyle R=\rho {\frac {\ell }{A}}}$ ； 其中，${\displaystyle R}$ 是電阻，${\displaystyle \ell }$ 是物體长度，${\displaystyle A}$ 是物體的截面面积，${\displaystyle \rho }$ 是电阻率。 根據歐姆定律，電壓${\displaystyle V}$ 等於電流${\displaystyle I}$ 乘以電阻： ${\displaystyle V=IR}$ 。 所以， ${\displaystyle V=I\rho {\frac {\ell }{A}}}$ 。 注意到在物體內，電場與電壓的關係為 ${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {V}{\ell }}{\hat {z}}}$ ； 其中，${\displaystyle {\hat {z}}}$ 是電流方向。 所以， ${\displaystyle \mathbf {E} =\rho {\frac {I}{A}}{\hat {z}}=\rho \mathbf {J} }$ 。 電導率為電阻率的倒數，${\displaystyle \sigma =1/\rho }$ 。電流密度與電場的關係為 ${\displaystyle \mathbf {J} =\sigma \mathbf {E} }$ 。

採用更基礎性的方法來計算電流密度。這方法建立於方程式

${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)=\int _{-\infty }^{t}\mathrm {d} t'\int \mathrm {d} ^{3}r'\;\sigma (\mathbf {r} -\mathbf {r} ',t-t')\;\mathbf {E} (\mathbf {r} ',\ t')}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {r} '}$ 和${\displaystyle t'}$ 分別是位置積分變數和時間積分變數。

這方式顯示出電導率${\displaystyle \sigma }$ 在時間方面的滯後響應，和在空間方面的非局域響應屬性。原則上，通過微觀量子分析，才能推導出來電導率函數。例如，對於足夠弱小的電場，可以從描述物質的電導性質的線性響應函數（linear response function）推導^[4]。經過一番沉思，可以了解，這電導率和其伴隨的電流密度反映出，在時間方面和在空間方面，電荷傳輸於介質的基本機制。

假設每當${\displaystyle \Delta t<0}$ 時，${\displaystyle \varepsilon _{r}(\Delta t)=0}$ ，則這積分的上限可以延伸至無窮大：

${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} t'\int \mathrm {d} ^{3}r'\;\sigma (\mathbf {r} -\mathbf {r} ',t-t')\;\mathbf {E} (\mathbf {r} ',\ t')}$ 。

做一個對於時間與空間的傅立葉變換，根據摺積定理，可以得到

${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {k} ,\omega )=\sigma (\mathbf {k} ,\omega )\;\mathbf {E} (\mathbf {k} ,\omega )}$ ；

其中，${\displaystyle \sigma (\mathbf {k} ,\omega )}$ 是參數為波向量${\displaystyle \mathbf {k} }$ 和角頻率${\displaystyle \omega }$ 的電導率複函數。

許多物質的電導率是張量，電流可能不會與施加的電場同方向。例如，晶體物質這是這樣的物質。磁場的施加也可能會改變電導行為。

穿過曲面的電流

 

电流和电流密度之间的关系

穿過曲面${\displaystyle \mathbb {S} }$ 的電流${\displaystyle I}$ 可以用面積分計算為

${\displaystyle I=\int _{\mathbb {S} }{\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} }}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {J} }$ 是電流密度，${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {a} }$ 是微小面元素。

連續方程式

主条目：連續方程式

由於電荷守恆，從某設定體積流出的電流的淨流量，等於在這體積內部的電荷量的淨變率。以方程式表達，

${\displaystyle \int _{\mathbb {S} }{\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} }=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathbb {V} }{\rho \ \mathrm {d} r^{3}}=-\ \int _{\mathbb {V} }{\left({\frac {\partial \rho }{\partial t}}\right)\mathrm {d} r^{3}}}$ ；

其中，${\displaystyle \rho }$ 是電荷密度，${\displaystyle \mathrm {d} r^{3}}$ 是微小體元素，${\displaystyle \mathbb {V} }$ 是閉曲面${\displaystyle \mathbb {S} }$ 所包圍的體積。

這方程式左邊的面積分表示電流從閉曲面${\displaystyle \mathbb {S} }$ 所包圍的體積${\displaystyle \mathbb {V} }$ 流出來，中間和右邊的體積分的負號表示，隨著時間的前進，體積內部的電荷量逐漸減少。

根據散度定理，

${\displaystyle \int _{\mathbb {S} }{\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} }=\int _{\mathbb {V} }\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} \ \mathrm {d} r^{3}}$ 。

所以，

${\displaystyle \int _{\mathbb {V} }\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} \ \mathrm {d} r^{3}=-\int _{\mathbb {V} }{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\ \mathrm {d} r^{3}}$ 。

注意到對於任意體積${\displaystyle \mathbb {V} }$ ，上述方程式都成立。所以，兩個被積式恆等：

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} =-\ {\frac {\partial \rho }{\partial t}}}$ 。

稱這方程式為連續方程式^[5]。

參閱

• 霍爾效應
• 量子霍爾效應
• 超導現象
• 漂移速度

參考文獻

1. Essential Principles of Physics, P.M. Whelan, M.J. Hodgeson, 2nd Edition, 1978, John Murray, ISBN 0-7195-3382-1
2. Richard P Martin, Electronic Structure:Basic theory and practical methods, Cambridge University Press: pp. 369ff, 2004, ISBN 0521782856  引文格式1维护：冗余文本 (link)
3. Anthony C. Fischer-Cripps, The electronics companion, CRC Press: pp. 13, 2004, ISBN 9780750310123  引文格式1维护：冗余文本 (link)
4. Jørgen Rammer, Quantum Field Theory of Non-equilibrium States, Cambridge University Press: pp. 158ff, 2007, ISBN 9780521874991  引文格式1维护：冗余文本 (link)
5. Griffiths, D.J., Introduction to Electrodynamics 3rd Edition, Pearson/Addison-Wesley: pp. 213, 1999, ISBN 013805326X  引文格式1维护：冗余文本 (link)