庫侖規範有幾點值得注意之處。第一點,解析電勢很簡單,這電勢方程式的形式為帕松方程式。第二點,解析磁矢勢很困難,這是庫侖規範的一大缺點。第三點,庫侖規範與狹義相對論不很相容,當轉換參考系時,勞侖茲變換會撤除原本參考系的庫侖規範。每做一次勞侖茲變換,就要再重新做一次庫侖規範。第四點比較令人困惑,隨著在某一局域的源電荷的改變,在任何位置的電勢的改變是瞬時的,這現象稱為超距作用(Action at a distance)。
^Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 326–331. ISBN 0-13-805326-X. 引文格式1维护:冗余文本 (link)
^對於加速度中電荷的處理,仍舊存在問題,尚未得到圓滿答案: "Special relativity and Maxwell's equations. 互联网档案馆的,存档日期2008-01-01."
^Jackson, John David. Classical Electrodynamic 3rd. USA: John Wiley & Sons, Inc. 1999: pp, 553–558. ISBN 978-0-471-30932-1.
行進 28, 2023
電磁場的數學表述, 在這篇文章內, 向量與标量分別用粗體與斜體顯示, 例如, 位置向量通常用, displaystyle, mathbf, 表示, 而其大小則用, displaystyle, 來表示, 在電磁學裏, 有幾種, 這篇文章會講述其中三種表述, 目录, 向量場表述, 勢場表述, 張量場表述, 馬克士威方程組的張量標記, 參閱, 參考文獻向量場表述, 编辑物理學家時常會用三維的向量場來表達電場和磁場, 這些向量場在時空的每一點都有一個定義值, 被認為是空間坐標和時間坐標的函數, 電場和磁場分別寫為, dis. 在這篇文章內 向量與标量分別用粗體與斜體顯示 例如 位置向量通常用 r displaystyle mathbf r 表示 而其大小則用 r displaystyle r 來表示 在電磁學裏 有幾種電磁場的數學表述 這篇文章會講述其中三種表述 目录 1 向量場表述 2 勢場表述 3 張量場表述 3 1 馬克士威方程組的張量標記 4 參閱 5 參考文獻向量場表述 编辑物理學家時常會用三維的向量場來表達電場和磁場 這些向量場在時空的每一點都有一個定義值 被認為是空間坐標和時間坐標的函數 電場和磁場分別寫為 E x y z t displaystyle mathbf E x y z t 和 B x y z t displaystyle mathbf B x y z t 假設只有電場存在 而且不含時間 則電場稱為靜電場 類似地 假設只有磁場存在 而且不含時間 則電場稱為靜磁場 但是 假若其中任何一個場是含時的 則電場和磁場都必須一起以耦合的電磁場來計算 自由空間的電場和磁場 不論是在靜電學裏 靜磁學裏或電動力學裏 都遵守馬克士威方程組 1 自由空間的馬克士威方程組 名稱 微分形式 積分形式高斯定律 E r e 0 displaystyle nabla cdot mathbf E frac rho varepsilon 0 S E d a Q e 0 displaystyle oint mathbb S mathbf E cdot mathrm d mathbf a frac Q varepsilon 0 高斯磁定律 B 0 displaystyle nabla cdot mathbf B 0 S B d a 0 displaystyle oint mathbb S mathbf B cdot mathrm d mathbf a 0 法拉第感應定律 E B t displaystyle nabla times mathbf E frac partial mathbf B partial t L E d ℓ d F B d t displaystyle oint mathbb L mathbf E cdot mathrm d boldsymbol ell frac mathrm d Phi B mathrm d t 馬克士威 安培定律 B m 0 J m 0 e 0 E t displaystyle nabla times mathbf B mu 0 mathbf J mu 0 varepsilon 0 frac partial mathbf E partial t L B d ℓ m 0 I m 0 e 0 d F E d t displaystyle oint mathbb L mathbf B cdot mathrm d boldsymbol ell mu 0 I mu 0 varepsilon 0 frac mathrm d Phi E mathrm d t 以下表格給出每一個符號所代表的物理意義 和其單位 物理意義和單位 符號 物理意義 國際單位 E displaystyle mathbf E 電場 伏特 公尺 牛頓 庫侖 B displaystyle mathbf B 磁場 特斯拉 韋伯 公尺2 伏特 秒 公尺2 displaystyle nabla cdot 散度算符 公尺 displaystyle nabla times 旋度算符 t displaystyle frac partial partial t 對於時間的偏導數 秒 S displaystyle mathbb S 曲面積分的運算曲面 公尺2 L displaystyle mathbb L 路徑積分的運算路徑 公尺 d a displaystyle mathrm d mathbf a 微小面元素向量 公尺2 d ℓ displaystyle mathrm d boldsymbol ell 微小線元素向量 公尺 e 0 displaystyle varepsilon 0 真空電容率 又稱為電常數 法拉 公尺 m 0 displaystyle mu 0 真空磁導率 又稱為磁常數 亨利 公尺 牛頓 安培2 r displaystyle rho 總電荷密度 庫侖 公尺3 Q displaystyle Q 在閉曲面 S displaystyle mathbb S 裏面的總電荷 庫侖 J displaystyle mathbf J 總電流密度 安培 公尺2 I displaystyle I 穿過閉迴路 L displaystyle mathbb L 所包圍的曲面的總電流 安培 F B S B d a displaystyle Phi B int mathbb S mathbf B cdot mathrm d mathbf a 穿過閉迴路 L displaystyle mathbb L 所包圍的曲面 S displaystyle mathbb S 的磁通量 特斯拉 公尺2 F E S E d a displaystyle Phi E int mathbb S mathbf E cdot mathrm d mathbf a 穿過閉迴路 L displaystyle mathbb L 所包圍的曲面 S displaystyle mathbb S 的電通量 庫侖 公尺2對於線性物質 馬克士威方程組內的電常數和磁常數 必須分別改換為線性物質的電容率和磁導率 有些更複雜的物質 由於電磁場的作用 會給出更複雜的響應 這些性質可以用張量來表示 假若電磁場變化很快 張量可能會含時間 假若電磁場的場振幅很大 張量也可能會跟電磁場有關 顯示出非線性或非局域的物質響應 更詳盡細節 請參閱光的色散和非線性光學 1865年 詹姆斯 馬克士威發表了馬克士威方程組的完整形式於論文 電磁場的動力學理論 後來 物理學家發現這組方程式居然與狹義相對論相容 2 更令人驚訝的是 兩個處於不同參考系的觀察者 所觀察到的由兩個不同物理現象產生的明顯的巧合 按照狹義相對論 可以推論出並不是巧合 這論點非常重要 阿爾伯特 愛因斯坦的1905年講述狹義相對論的論文 論動體的電動力學 用了大半篇幅解釋怎樣轉換馬克士威方程組 當從一個參考系S1轉換至另外一個以相對速度 v displaystyle mathbf v 移動的參考系S2時 可以用勞侖茲變換來變換電場和磁場 其方程式為 E g E v B g 1 v 2 E v v displaystyle bar mathbf E gamma left mathbf E mathbf v times mathbf B right left frac gamma 1 v 2 right mathbf E cdot mathbf v mathbf v B g B v E c 2 g 1 v 2 B v v displaystyle bar mathbf B gamma left mathbf B frac mathbf v times mathbf E c 2 right left frac gamma 1 v 2 right mathbf B cdot mathbf v mathbf v 其中 E displaystyle bar mathbf E 和 B displaystyle bar mathbf B 是參考系S2的電場和磁場 g 1 1 v 2 c 2 displaystyle gamma 1 sqrt 1 v 2 c 2 是勞侖茲因子 c displaystyle c 是光速 假設相對運動是沿著x 軸 v v x displaystyle mathbf v v hat mathbf x 則每一個分量的轉換方程式分別為 E x E x displaystyle bar E x E x E y g E y v B z displaystyle bar E y gamma left E y vB z right E z g E z v B y displaystyle bar E z gamma left E z vB y right B x B x displaystyle bar B x B x B y g B y v c 2 E z displaystyle bar B y gamma left B y frac v c 2 E z right B z g B z v c 2 E y displaystyle bar B z gamma left B z frac v c 2 E y right 很值得注意的一點是 假設對於某一個參考系 電場或磁場其中有一個場是零 這並不意味著 對於所有其他參考系 這個場都等於零 這可以從方程式看出 假設 E 0 displaystyle mathbf E 0 則 E x 0 displaystyle bar E x 0 E y g v B z displaystyle bar E y gamma vB z E z g v B y displaystyle bar E z gamma vB y B x B x displaystyle bar B x B x B y g B y displaystyle bar B y gamma B y B z g B z displaystyle bar B z gamma B z 除非 B y B z 0 displaystyle B y B z 0 電場 E displaystyle bar mathbf E 絕對不會等於零 導線移動於不均勻磁場 這並不意味分別處於兩個不同參考系的觀察者 所觀察到的是兩種完全不同的事件 它們所觀察到的是以兩種不同方式描述的同樣的事件 愛因斯坦在他的1905年論文裏所提到的移動中的磁鐵與導體問題 是個經典例子 如圖右所示 假若環狀導線固定不動 而磁鐵以等速移動 則穿過環狀導線的磁通量會隨著時間而改變 按照法拉第電磁感應定律 會產生感應電動勢和伴隨的電場 因而造成電流流動於環狀導線 可是 假若磁鐵固定不動 改由環狀導線以等速移動 則在環狀導線內部的電荷會因為感受到勞倫茲力而產生動生電動勢和伴隨的電場 因而造成電流流動於環狀導線 假設 對於這兩個案例 移動的速率相等 而方向相反 則感應出的電流是一樣的 勢場表述 编辑在解析有些電磁學問題時 物理學家會暫時不計算電場或磁場 而先計算伴隨的電勢或磁勢 電勢 V displaystyle V 為純量 又被稱為純勢 磁勢 A displaystyle mathbf A 為向量 又被稱為向量勢 或磁矢勢 從這些位勢 可以得到電場和磁場 E V A t displaystyle mathbf E nabla V frac partial mathbf A partial t B A displaystyle mathbf B nabla times mathbf A 將這兩個方程式代入馬克士威方程式 法拉第電磁感應定律和高斯磁定律的方程式都會約化為恆等式 另外兩個馬克士威方程式變得比較複雜 2 V t A r e 0 displaystyle nabla 2 V frac partial partial t left nabla cdot mathbf A right frac rho varepsilon 0 2 A m 0 e 0 2 A t 2 A m 0 e 0 V t m 0 J displaystyle left nabla 2 mathbf A mu 0 varepsilon 0 frac partial 2 mathbf A partial t 2 right nabla left nabla cdot mathbf A mu 0 varepsilon 0 frac partial V partial t right mu 0 mathbf J 這兩個勢場方程式組合起來 具有與馬克士威方程組同樣的功能和完整性 原本的馬克士威方程組需要解析六個分量 因為電場和磁場各有三個分量 勢場表述只需要解析四個分量 因為電勢只有一個分量 磁矢勢有三個分量 可是 勢場表述涉及了二次微分 方程式也比較冗長 值得慶幸地是有一種方法可以簡化這兩個勢場方程式 由於勢場不是唯一定義的 只要最後計算得到正確的電場和磁場就行 這性質稱為規範自由 對於這兩個勢場方程式 選擇參數為位置和時間的任意函數 l r t displaystyle lambda mathbf r t 勢場可以改變為 A A l displaystyle mathbf A mathbf A nabla lambda V V l t displaystyle V V frac partial lambda partial t 電場和磁場不變 B A A l A B displaystyle mathbf B nabla times mathbf A nabla times mathbf A nabla times nabla lambda nabla times mathbf A mathbf B E V A t V l t A t l t V A t E displaystyle mathbf E nabla V frac partial mathbf A partial t nabla V frac partial nabla lambda partial t frac partial mathbf A partial t frac partial nabla lambda partial t nabla V frac partial mathbf A partial t mathbf E 這規範自由可以用來簡化方程式 最常見的規範自由有兩種 一種是庫侖規範 Coulomb gauge 選擇 l r t displaystyle lambda mathbf r t 的值來使得 A 0 displaystyle nabla cdot mathbf A 0 這對應於靜磁學案例 這選擇導致兩個勢場方程式分別變為 2 V r e 0 displaystyle nabla 2 V frac rho varepsilon 0 2 A m 0 e 0 2 A t 2 m 0 J m 0 e 0 V t displaystyle nabla 2 mathbf A mu 0 varepsilon 0 frac partial 2 mathbf A partial t 2 mu 0 mathbf J mu 0 varepsilon 0 nabla left frac partial V partial t right 庫侖規範有幾點值得注意之處 第一點 解析電勢很簡單 這電勢方程式的形式為帕松方程式 第二點 解析磁矢勢很困難 這是庫侖規範的一大缺點 第三點 庫侖規範與狹義相對論不很相容 當轉換參考系時 勞侖茲變換會撤除原本參考系的庫侖規範 每做一次勞侖茲變換 就要再重新做一次庫侖規範 第四點比較令人困惑 隨著在某一局域的源電荷的改變 在任何位置的電勢的改變是瞬時的 這現象稱為超距作用 Action at a distance 例如 假使於下午一時 在紐約的電荷稍微移動了一下 那麼在完全同樣時間 一位假想觀察者在上海會測量出電勢有所改變 這現象似乎違背了狹義相對論 因為狹義相對論禁止以超過光速之速度來傳輸資訊 信號或任何實體 然而 由於沒有任何觀察者曾經測量到電勢 他們只能測量到電場 而電場是由電勢和磁矢勢共同決定的 所以 由於磁矢勢方程式為含時的 電場遵守狹義相對論要求的速度限制 所有可觀測量都與相對論一致 另外一種常見的規範自由是勞侖次規範 選擇 l r t displaystyle lambda mathbf r t 的值來使得 A m 0 e 0 V t displaystyle nabla cdot mathbf A mu 0 varepsilon 0 frac partial V partial t 這選擇導致兩個勢場方程式分別變為 2 A m 0 e 0 2 A t 2 2 A m 0 J displaystyle nabla 2 mathbf A mu 0 varepsilon 0 frac partial 2 mathbf A partial t 2 Box 2 mathbf A mu 0 mathbf J 2 V m 0 e 0 2 V t 2 2 V r e 0 displaystyle nabla 2 V mu 0 varepsilon 0 frac partial 2 V partial t 2 Box 2 V frac rho varepsilon 0 算符 2 displaystyle Box 2 稱為達朗白算符 這兩個勢場方程式為非齊次波動方程式 其右邊項目是波源函數 勢場方程式有兩種解答 一種是源頭組態為未來時間 源電荷或源電流是設定於未來時間 的超前勢 另外一種是源頭組態為過去時間 源電荷或源電流是設定於過去時間 的推遲勢 因為不符合物理的因果關係 不具有任何物理意義 物理學家時常會刪除第一種解答 偏好選擇第二種解答 值得強調的是 勞侖次規範並不比其它規範更正確 勢場本身是無法觀測到的 當然 不考慮像阿哈诺夫 波姆效应的例外 勢場展示的任何非因果關係都會消失於可觀測到的電場或磁場 只有電場或磁場是具有物理意義的物理量 張量場表述 编辑主条目 電磁張量 電場和磁場可以綜合起來 形成一個反對稱性二階協變張量 稱為電磁張量 寫為 F a b displaystyle F alpha beta 電磁張量將電場和磁場聚集在一起 以方程式表達 F a b 0 E x c E y c E z c E x c 0 B z B y E y c B z 0 B x E z c B y B x 0 displaystyle F alpha beta left begin matrix 0 amp E x c amp E y c amp E z c E x c amp 0 amp B z amp B y E y c amp B z amp 0 amp B x E z c amp B y amp B x amp 0 end matrix right 使用閔考斯基度規 h displaystyle eta h a b diag 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 displaystyle eta alpha beta operatorname diag 1 1 1 1 left begin matrix 1 amp 0 amp 0 amp 0 0 amp 1 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 1 end matrix right 將 F a b displaystyle F alpha beta 的下標拉高為上標 可以得到反變張量 F m n displaystyle F mu nu 採用愛因斯坦求和約定 這程序表達為 F m n h a m h b n F a b 0 E x c E y c E z c E x c 0 B z B y E y c B z 0 B x E z c B y B x 0 displaystyle F mu nu eta alpha mu eta beta nu F alpha beta left begin matrix 0 amp E x c amp E y c amp E z c E x c amp 0 amp B z amp B y E y c amp B z amp 0 amp B x E z c amp B y amp B x amp 0 end matrix right 給予一個 n displaystyle n 階反對稱協變張量 F i 1 i 2 i n displaystyle F i 1 i 2 dots i n 則其 m displaystyle m 階對偶張量 dual tensor G j 1 j 2 j m m lt n displaystyle G j 1 j 2 dots j m quad m lt n 是一個反對稱反變張量 G j 1 j 2 j m 1 n ϵ j 1 j 2 j m i 1 i 2 i n F i 1 i 2 i n displaystyle G j 1 j 2 dots j m frac 1 n epsilon j 1 j 2 dots j m i 1 i 2 dots i n F i 1 i 2 dots i n 其中 ϵ j 1 j 2 j m i 1 i 2 i n displaystyle epsilon j 1 j 2 dots j m i 1 i 2 dots i n 是 m n displaystyle m n 維列維 奇維塔符號 根據這定義 F a b displaystyle F alpha beta 的二階對偶張量 G m n displaystyle G mu nu 是 G m n 0 B x B y B z B x 0 E z c E y c B y E z c 0 E x c B z E y c E x c 0 displaystyle G mu nu left begin matrix 0 amp B x amp B y amp B z B x amp 0 amp E z c amp E y c B y amp E z c amp 0 amp E x c B z amp E y c amp E x c amp 0 end matrix right 換一種方法 將 F m n displaystyle F mu nu 的項目做以下替換 E c B displaystyle mathbf E c to mathbf B B E c displaystyle mathbf B to mathbf E c 也可以得到二階對偶張量 G m n displaystyle G mu nu 給予兩個慣性參考系 S displaystyle mathcal S S displaystyle bar mathcal S 相對於參考系 S displaystyle mathcal S 參考系 S displaystyle bar mathcal S 以速度 v v x displaystyle mathbf v v hat mathbf x 移動 對於這兩個參考系 相關的勞侖茲變換矩陣 L n m displaystyle Lambda nu mu 是 L n m g g b 0 0 g b g 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 displaystyle Lambda nu mu left begin matrix gamma amp gamma beta amp 0 amp 0 gamma beta amp gamma amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 1 end matrix right 其中 g 1 1 v c 2 displaystyle gamma cfrac 1 sqrt 1 left frac v c right 2 是勞侖茲因子 b v c displaystyle beta frac v c 是貝他因子 對於這兩個參考系 一個事件的四維位置分別標記為 x m displaystyle x mu x m displaystyle bar x mu 那麼 這兩個四維位置之間的關係為 x m L n m x n displaystyle bar x mu Lambda nu mu x nu 在相對論裏 使用勞侖茲變換 可以將電磁張量和其對偶張量從一個參考系變換到另外一個參考系 以方程式表達 F a b L m a L n b F m n displaystyle bar F alpha beta Lambda mu alpha Lambda nu beta F mu nu G a b L m a L n b G m n displaystyle bar G alpha beta Lambda mu alpha Lambda nu beta G mu nu 馬克士威方程組的張量標記 编辑 主条目 經典電磁理論的協變形式 使用張量標記 馬克士威方程組的形式為 3 F a b a m 0 J b displaystyle F alpha beta alpha mu 0 J beta G a b a 0 displaystyle G alpha beta alpha 0 其中 F a b a displaystyle F alpha beta alpha 和 G a b a displaystyle G alpha beta alpha 分別是 F a b displaystyle F alpha beta 和 G a b displaystyle G alpha beta 對於曲線坐標 curvilinear coordinates x a displaystyle x alpha 的協變導數 J b r c J x J y J z displaystyle J beta begin pmatrix rho c amp J x amp J y amp J z end pmatrix 是四維電流密度 假設 x a displaystyle x alpha 為直角坐標 x a c t x y z displaystyle x alpha ct x y z 則協變導數 F a b a displaystyle F alpha beta alpha 和 G a b a displaystyle G alpha beta alpha 分別以方程式表達為 F a b a F a b x a displaystyle F alpha beta alpha frac partial F alpha beta partial x alpha G a b a G a b x a displaystyle G alpha beta alpha frac partial G alpha beta partial x alpha 仔細分析 設定 b 0 displaystyle beta 0 則可從 F a b displaystyle F alpha beta 的馬克士威方程式得到高斯定律的方程式 F a 0 a 1 c E x x E y y E z z m 0 J 0 m 0 c r displaystyle F alpha 0 alpha frac 1 c left frac partial E x partial x frac partial E y partial y frac partial E z partial z right mu 0 J 0 mu 0 c rho 又可從 G a b displaystyle G alpha beta 的馬克士威方程式得到高斯磁定律的方程式 G a 0 a 1 c B x x B y y B z z 0 displaystyle G alpha 0 alpha frac 1 c left frac partial B x partial x frac partial B y partial y frac partial B z partial z right 0 另外 b 1 2 3 displaystyle beta 1 2 3 的 F a b displaystyle F alpha beta 的三條馬克士威方程式 對應於馬克士威 安培定律的方程式 F a 1 a 1 c 2 E x t B z y B y z m 0 J 1 m 0 J x displaystyle F alpha 1 alpha frac 1 c 2 frac partial E x partial t frac partial B z partial y frac partial B y partial z mu 0 J 1 mu 0 J x F a 2 a 1 c 2 E y t B z x B x z m 0 J 2 m 0 J y displaystyle F alpha 2 alpha frac 1 c 2 frac partial E y partial t frac partial B z partial x frac partial B x partial z mu 0 J 2 mu 0 J y F a 3 a 1 c 2 E z t B y x B x y m 0 J 3 m 0 J z displaystyle F alpha 3 alpha frac 1 c 2 frac partial E z partial t frac partial B y partial x frac partial B x partial y mu 0 J 3 mu 0 J z 而 G a b displaystyle G alpha beta 的三條馬克士威方程式 對應於法拉第電磁感應定律的方程式 G a 1 a B x t E z c y E y c z 0 displaystyle G alpha 1 alpha frac partial B x partial t frac partial E z c partial y frac partial E y c partial z 0 G a 2 a B y t E z c x E x c z 0 displaystyle G alpha 2 alpha frac partial B y partial t frac partial E z c partial x frac partial E x c partial z 0 G a 3 a B z t E y c x E x c y 0 displaystyle G alpha 3 alpha frac partial B z partial t frac partial E y c partial x frac partial E x c partial y 0 參閱 编辑電磁波方程式 電磁場 量子電動力學參考文獻 编辑 Griffiths David J Introduction to Electrodynamics 3rd ed Prentice Hall 1998 pp 326 331 ISBN 0 13 805326 X 引文格式1维护 冗余文本 link 對於加速度中電荷的處理 仍舊存在問題 尚未得到圓滿答案 Special relativity and Maxwell s equations 互联网档案馆的存檔 存档日期2008 01 01 Jackson John David Classical Electrodynamic 3rd USA John Wiley amp Sons Inc 1999 pp 553 558 ISBN 978 0 471 30932 1 取自 https zh wikipedia org w index php title 電磁場的數學表述 amp oldid 64701702, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,