^ 1.01.1Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 1–2, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1 引文格式1维护:冗余文本 (link)
Einstein, A. Relativity: The Special and General Theory. New York: Crown. 1961. ISBN 0-517-02961-8.
Misner, Charles; Thorne, Kip S. & Wheeler, John Archibald. Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman. 1973. ISBN 0-7167-0344-0.
Landau, L. D. and Lifshitz, E. M. Classical Theory of Fields (Fourth Revised English Edition). Oxford: Pergamon. 1975. ISBN 0-08-018176-7.
R. P. Feynman, F. B. Moringo, and W. G. Wagner. Feynman Lectures on Gravitation. Addison-Wesley. 1995. ISBN 0-201-62734-5.
一月 31, 2023
经典电磁理论的协变形式, 是指将经典的电磁学定律, 主要包括馬克士威方程組和洛伦兹力, 纳入狭义相对论的框架, 利用洛伦兹协变的四维矢量和四维张量写成, 外在协变, 的形式, 这种形式的好处在于, 经典的电磁学定律在任意惯性坐标系下具有相同的形式, 并能够使场和力在不同惯性系下的变换更加容易表述, 在本文中, 闵可夫斯基度规的形式被规定为d, displaystyle, diag, 这是参考了john, david, jackson, 所编写的, 经典电动力学, 中所采用的形式, 并且从头彻尾都使用了经典的张量代数. 经典电磁理论的协变形式是指将经典的电磁学定律 主要包括馬克士威方程組和洛伦兹力 纳入狭义相对论的框架 利用洛伦兹协变的四维矢量和四维张量写成 外在协变 的形式 这种形式的好处在于 经典的电磁学定律在任意惯性坐标系下具有相同的形式 并能够使场和力在不同惯性系下的变换更加容易表述 在本文中 闵可夫斯基度规的形式被规定为d i a g 1 1 1 1 displaystyle diag 1 1 1 1 这是参考了John David Jackson 所编写的 经典电动力学 中所采用的形式 并且从头彻尾都使用了经典的张量代数以及爱因斯坦求和约定 1 544 目录 1 协变量 1 1 电磁张量 1 2 四维电流密度 1 3 电磁四维势 1 4 电磁应力 能量张量 1 5 其他非电磁学协变量 2 馬克士威方程組 2 1 其他符号记法 3 连续性方程 4 洛伦兹力 5 电磁应力 能量张量的微分方程 6 洛伦茨规范条件 6 1 洛伦茨规范下的麦克斯韦方程组 7 介质中麦克斯韦方程组的协变形式 8 拉格朗日量 9 广义相对论中的推广 10 参见 11 参考文献协变量 编辑电磁张量 编辑 主条目 电磁张量 将电场和磁场统一起来可写成一个反对称张量 即电磁张量 当单位为伏特 秒 米2 其协变形式为 1 553 558 F a b 0 E x c E y c E z c E x c 0 B z B y E y c B z 0 B x E z c B y B x 0 displaystyle F alpha beta left begin matrix 0 amp frac E x c amp frac E y c amp frac E z c frac E x c amp 0 amp B z amp B y frac E y c amp B z amp 0 amp B x frac E z c amp B y amp B x amp 0 end matrix right 通过张量代数可以得到反变形式为 F m n d e f h m a F a b h b n 0 E x c E y c E z c E x c 0 B z B y E y c B z 0 B x E z c B y B x 0 displaystyle F mu nu stackrel mathrm def eta mu alpha F alpha beta eta beta nu left begin matrix 0 amp frac E x c amp frac E y c amp frac E z c frac E x c amp 0 amp B z amp B y frac E y c amp B z amp 0 amp B x frac E z c amp B y amp B x amp 0 end matrix right 其中E displaystyle mathbf E 是电场强度 B displaystyle mathbf B 是磁感应强度 c displaystyle c 是真空中的光速 如果采用高斯单位制 光速这个因子将不会出现 四维电流密度 编辑 主条目 四维电流密度 四维电流密度是统一了电流密度和电荷密度的四维矢量 当单位为安培 米2 其反变形式为 J a c r J displaystyle J alpha c rho mathbf J 其中r displaystyle rho 是电荷密度 J displaystyle mathbf J 是电流密度 电磁四维势 编辑 主条目 电磁四维势 电磁四维势是统一了电标势和磁矢势的四维矢量 当单位为伏特 秒 米时 其协变形式为 A a ϕ c A displaystyle A alpha left phi c mathbf A right 电磁张量和四维势之间的关系为 F a b a A b b A a displaystyle F alpha beta partial alpha A beta partial beta A alpha 其中 a x a 1 c t displaystyle partial alpha frac partial partial x alpha left frac 1 c frac partial partial t mathbf nabla right 电磁应力 能量张量 编辑 主条目 电磁应力 能量张量 电磁应力 能量张量是一个对称张量 描述了电磁场对全部应力 能量张量的贡献 当单位为焦耳 米3 它的反变形式为 T a b 1 2 ϵ 0 E 2 1 m 0 B 2 S x c S y c S z c S x c s x x s x y s x z S y c s y x s y y s y z S z c s z x s z y s z z displaystyle T alpha beta begin bmatrix frac 1 2 epsilon 0 E 2 frac 1 mu 0 B 2 amp S x c amp S y c amp S z c S x c amp sigma xx amp sigma xy amp sigma xz S y c amp sigma yx amp sigma yy amp sigma yz S z c amp sigma zx amp sigma zy amp sigma zz end bmatrix 其中ϵ 0 displaystyle epsilon 0 是真空电容率 m 0 displaystyle mu 0 是真空磁导率 坡印亭矢量为 S 1 m 0 E B displaystyle mathbf S frac 1 mu 0 mathbf E times mathbf B 而馬克士威應力張量為 s i j ϵ 0 E i E j 1 m 0 B i B j 1 2 ϵ 0 E 2 1 m 0 B 2 d i j displaystyle sigma ij epsilon 0 E i E j frac 1 mu 0 B i B j tfrac 1 2 epsilon 0 E 2 frac 1 mu 0 B 2 delta ij 电磁应力 能量张量与电磁场张量之间的关系由下面方程给出 T a b 1 m 0 F a g h g n F n b 1 4 h a b F g n F g n displaystyle T alpha beta frac 1 mu 0 F alpha gamma eta gamma nu F nu beta frac 1 4 eta alpha beta F gamma nu F gamma nu 其中h displaystyle eta 是闵可夫斯基度规张量 注意我们这里使用了关系 ϵ 0 m 0 c 2 1 displaystyle epsilon 0 mu 0 c 2 1 其他非电磁学协变量 编辑 除上面的电磁学量以外 我们在这里列出三个非电磁学的四维矢量 它们在本文中也有用到 位置 坐标 矢量 单位为米 x a c t x y z displaystyle x alpha ct x y z dd 四维速度矢量 单位为米 秒 u a g c u displaystyle u alpha gamma c mathbf u dd 其中u displaystyle mathbf u 是 三维 速度矢量 而g displaystyle gamma 是与u displaystyle mathbf u 有关的洛伦兹因子 四维动量矢量 单位为千克 米 秒 p a E c p m h a n u n displaystyle p alpha E c mathbf p m eta alpha nu u nu dd 其中p displaystyle mathbf p 是 三维 动量矢量 而E是能量 m是粒子的静止质量 馬克士威方程組 编辑真空中的馬克士威方程組可以写作两个张量方程的形式 F a b x a m 0 J b and 0 ϵ a b g d F a b x g displaystyle frac partial F alpha beta partial x alpha mu 0 J beta qquad hbox and qquad 0 epsilon alpha beta gamma delta frac partial F alpha beta partial x gamma 其中F ab是电磁张量 J a是四维电流密度 ye abgd是列维 奇维塔符号 所有角标满足爱因斯坦求和约定 第一个张量方程表述了两个非齐次的麦克斯韦方程 高斯定律和安培定律 第二个张量方程表述了两个齐次的麦克斯韦方程 法拉第电磁感应定律和磁场的高斯定律 在无源的情形下 麦克斯韦方程组退化为与场强有关的波方程 h g n g n F a b d e f F a b d e f 2 F a b 1 c 2 2 F a b t 2 0 displaystyle eta gamma nu partial gamma partial nu F alpha beta stackrel mathrm def Box F alpha beta stackrel mathrm def nabla 2 F alpha beta 1 over c 2 partial 2 F alpha beta over partial t 2 0 这里 displaystyle Box 是达朗贝尔算符 其他符号记法 编辑 如果不用求和约定或列维 奇维塔符号 方程组将写为 x a c t x y z F a b x a m 0 J b and 0 F a b x g F b g x a F g a x b displaystyle sum x alpha ct x y z partial F alpha beta over partial x alpha mu 0 J beta qquad hbox and qquad 0 partial F alpha beta over partial x gamma partial F beta gamma over partial x alpha partial F gamma alpha over partial x beta 其中所有的角标的范围是0到3 更具体而言 x a displaystyle x alpha 的范围是 ct x y z 第一个张量方程对应着四个标量方程 其中b displaystyle beta 的值为0到3 第二个张量方程可展开为4 3 64 displaystyle 4 3 64 个标量方程 但只有四个是独立的 为了方便可以将四维梯度写作更简洁的形式 F a b x g d e f g F a b d e f F a b g displaystyle partial F alpha beta over partial x gamma stackrel mathrm def partial gamma F alpha beta stackrel mathrm def F alpha beta gamma 从而馬克士威方程組最终的协变形式为 F a b a m 0 J b displaystyle F alpha beta alpha mu 0 J beta 以及 ϵ a b g d F a b g 0 displaystyle epsilon alpha beta gamma delta F alpha beta gamma 0 连续性方程 编辑由电荷守恒得到的连续性方程的协变形式为 J a a d e f a J a 0 displaystyle J alpha alpha stackrel mathrm def partial alpha J alpha 0 洛伦兹力 编辑主条目 洛伦兹力 电磁场通过洛伦兹力来影响其中粒子的运动 仅考虑洛伦兹力的影响时 牛顿运动定律用场强张量表示的相对论形式为 d p a d t q F a b u b displaystyle frac dp alpha d tau q F alpha beta u beta 其中p displaystyle p 是四维动量 q displaystyle q 是电荷 u displaystyle u 是四维速度 t displaystyle tau 是粒子的固有时 如果采用 普通 时间而不是固有时 方程则写为 d p a d t q F a b d x b d t displaystyle dp alpha over dt q F alpha beta frac dx beta dt 在连续性介质中 三维的力密度 空间分量 三维小体元中的洛伦兹力除以体元的体积 和一维的功率密度 时间分量 三维小体元中传播的功率除以体元的体积 合并为一个协变的力密度矢量f m displaystyle f mu 从而洛伦兹力的密度的空间分量为f r E J B displaystyle mathbf f rho mathbf E mathbf J times mathbf B 写为外在协变的形式为 f m F m n J n displaystyle f mu F mu nu J nu 电磁应力 能量张量的微分方程 编辑电磁应力 能量张量满足下面的微分方程 此方程将电磁张量和四维电流密度相联系 h a n T n b b F a b J b 0 displaystyle eta alpha nu T nu beta beta F alpha beta J beta 0 这个方程表述了电磁相互作用中动量和能量的守恒律 洛伦茨规范条件 编辑主条目 洛伦茨规范条件 洛伦茨规范是具有洛伦兹不变性的规范条件 在规范对称性下可以选取多种不同的规范条件 例如库仑规范 通常在一个惯性系下满足的规范条件将不能同时满足於另一个惯性系 洛伦茨规范用四维势表示为 h a n a A n 0 displaystyle eta alpha nu partial alpha A nu 0 洛伦茨规范下的麦克斯韦方程组 编辑 洛伦茨规范下的麦克斯韦方程组可表为 h s n A n m 0 J s displaystyle eta sigma nu Box A nu mu 0 J sigma 其中 displaystyle Box 是达朗贝尔算符 介质中麦克斯韦方程组的协变形式 编辑如果考虑介质中的麦克斯韦方程组 此时的电流J a displaystyle J alpha 可分为自由电流J a free displaystyle J alpha text free 和束缚电流J a bound displaystyle J alpha text bound J a J a free J a bound displaystyle J alpha J alpha text free J alpha text bound 其中束缚电流的部分来自介质的磁化和电极化 这两者构成一个反对称的反变磁化 极化张量 M m n 0 P x c P y c P z c P x c 0 M z M y P y c M z 0 M x P z c M y M x 0 displaystyle mathcal M mu nu begin pmatrix 0 amp P x c amp P y c amp P z c P x c amp 0 amp M z amp M y P y c amp M z amp 0 amp M x P z c amp M y amp M x amp 0 end pmatrix 根据麦克斯韦方程 束缚电流为 J m bound n M m n displaystyle J mu text bound partial nu mathcal M mu nu 将磁化 极化张量和真空中的电磁张量F m n displaystyle F mu nu 合并 我们可以得到反对称的反变电磁位移张量 其中包含了电位移矢量 D x D y D z displaystyle D x D y D z 和磁场强度矢量 H x H y H z displaystyle H x H y H z D m n 0 D x c D y c D z c D x c 0 H z H y D y c H z 0 H x D z c H y H x 0 displaystyle mathcal D mu nu begin pmatrix 0 amp D x c amp D y c amp D z c D x c amp 0 amp H z amp H y D y c amp H z amp 0 amp H x D z c amp H y amp H x amp 0 end pmatrix 它们之间的关系为 D m n 1 m 0 F m n M m n displaystyle mathcal D mu nu frac 1 mu 0 F mu nu mathcal M mu nu 这个方程等价於经典电磁学中的D ϵ 0 E P displaystyle mathbf D epsilon 0 mathbf E mathbf P 和H 1 m 0 B M displaystyle mathbf H frac 1 mu 0 mathbf B mathbf M 并进一步可以推导出介质中的安培定律 H J free D t displaystyle mathbf nabla times mathbf H mathbf J text free frac partial mathbf D partial t 和高斯定律 D r free displaystyle mathbf nabla cdot mathbf D rho text free 即 J m free n D m n displaystyle J mu text free partial nu mathcal D mu nu 束缚电流和自由电流的定义已经由上面给出 并且各自满足守恒律 m J m bound 0 displaystyle partial mu J mu text bound 0 m J m free 0 displaystyle partial mu J mu text free 0 由此 如果我们需要求解介质中的电流密度J a displaystyle J alpha 可以将其分为求解自由电流密度J a free displaystyle J alpha text free 和求解磁化 极化张量M a b displaystyle mathcal M alpha beta 的问题 例如 在低频线性介质中有 J free s E displaystyle mathbf J text free sigma mathbf E P ϵ 0 x e E displaystyle mathbf P epsilon 0 chi e mathbf E M x m H displaystyle mathbf M chi m mathbf H 其中观察者在与介质共同运动的参考系中 s displaystyle sigma 是电导率 x e displaystyle chi e 是电极化率 x m displaystyle chi m 是磁化率 拉格朗日量 编辑单位为焦耳 米3时 真空中的经典电磁拉格朗日量为 L L f i e l d L i n t 1 4 m 0 F a b F a b A a J a displaystyle mathcal L mathcal L mathrm field mathcal L mathrm int frac 1 4 mu 0 F alpha beta F alpha beta A alpha J alpha 其中包含了表示场强的项和表示相互作用的项 如果我们将自由电流和束缚电流分开 则拉格朗日量写为 L 1 4 m 0 F a b F a b A a J free a 1 2 F a b M a b displaystyle mathcal L frac 1 4 mu 0 F alpha beta F alpha beta A alpha J text free alpha frac 1 2 F alpha beta mathcal M alpha beta 对应的非相对论形式为 L 1 2 ϵ 0 E 2 1 m 0 B 2 ϕ r free A J free E P B M displaystyle mathcal L frac 1 2 epsilon 0 E 2 frac 1 mu 0 B 2 phi rho text free mathbf A cdot mathbf J text free mathbf E cdot mathbf P mathbf B cdot mathbf M 广义相对论中的推广 编辑主条目 弯曲时空中的麦克斯韦方程组 在广义相对论中 度规张量g a b displaystyle g alpha beta 不再是恒定的h a b displaystyle eta alpha beta 而有可能随时间和空间变化 度规张量则是引力场的势 真空中处于引力场中的麦克斯韦方程组为 F a b a A b b A a displaystyle F alpha beta partial alpha A beta partial beta A alpha D m n 1 m 0 g m a F a b g b n g displaystyle mathcal D mu nu frac 1 mu 0 g mu alpha F alpha beta g beta nu sqrt g J m n D m n displaystyle J mu partial nu mathcal D mu nu f m F m n J n displaystyle f mu F mu nu J nu 其中g a b displaystyle g alpha beta 是度规张量g a b displaystyle g alpha beta 的倒数 而g displaystyle g 是度规张量的行列式 A a displaystyle A alpha 是电磁场的四维势 F a b displaystyle F alpha beta 是电磁张量 D m n displaystyle D mu nu 是位移电流张量 f m displaystyle f mu 是洛伦兹力的密度 J m displaystyle J mu 是四维电流密度 尽管方程组中使用了偏导数 这些方程仍然在任意曲面坐标变换下是协变的 也就是说如果将偏导数换成协变导数 引入的附加项会自动消去从而保持形式不变 参见 编辑非齐次的电磁波方程 移動中的磁鐵與導體問題 弯曲时空中的麦克斯韦方程组参考文献 编辑 1 0 1 1 Jackson John David Classical Electrodynamic 3rd USA John Wiley amp Sons Inc pp 1 2 1999 ISBN 978 0 471 30932 1 引文格式1维护 冗余文本 link Einstein A Relativity The Special and General Theory New York Crown 1961 ISBN 0 517 02961 8 Misner Charles Thorne Kip S amp Wheeler John Archibald Gravitation San Francisco W H Freeman 1973 ISBN 0 7167 0344 0 Landau L D and Lifshitz E M Classical Theory of Fields Fourth Revised English Edition Oxford Pergamon 1975 ISBN 0 08 018176 7 R P Feynman F B Moringo and W G Wagner Feynman Lectures on Gravitation Addison Wesley 1995 ISBN 0 201 62734 5 取自 https zh wikipedia org w index php title 经典电磁理论的协变形式 amp oldid 73566627, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,