四維矢量

在這篇文章內，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 ${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 表示；而其大小則用 ${\displaystyle r\,\!}$ 來表示。四維矢量用加有標號的斜體顯示。例如，${\displaystyle {x}^{\mu }\,\!}$或${\displaystyle {x}_{\mu }\,\!}$。為了避免歧意，四維矢量的斜體與標號之間不會有括號。例如，${\displaystyle (x)^{2}\,\!}$表示${\displaystyle x\,\!}$平方；而${\displaystyle {x}^{2}\,\!}$是${\displaystyle {x}^{\mu }\,\!}$的第二個分量。

在相對論裏，四維向量（four-vector）是實值四維向量空間裏的矢量。這四維向量空間稱為閔考斯基時空。四維向量的分量分別為在某個時間點與三維空間點的四個數量。在閔考斯基時空內的任何一點，都代表一個「事件」，可以用四維向量表示。從任意慣性參考系觀察某事件所獲得的四維向量，通過勞侖茲變換，可以變換為從其它慣性參考系觀察該事件所獲得的四維向量。

本文章只思考在狹義相對論範圍內的四維向量，儘管四維向量的概念延伸至廣義相對論。在本文章內寫出的一些結果，必須加以修改，才能在廣義相對論範圍內成立。

數學性質

 

在閔考斯基時空裡，不同慣性參考系的座標軸

在閔考斯基時空內的任何一點，都可以用四維向量（一組標準基底的四個坐標） ${\displaystyle {x}^{\mu }=({x}^{0},\,{x}^{1},\,{x}^{2},\,{x}^{3})}$  來表示；其中，上標 ${\displaystyle \mu =0,\,1,\,2,\,3}$  標記時空的維數次序。稱這四維向量為「坐標四維向量」，又稱「四維坐標」，定義為

${\displaystyle {x}^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ (ct,\,x,\,y,\,z)}$  ；

其中，${\displaystyle c}$  是光速，${\displaystyle t}$  是時間，${\displaystyle (x,\,y,\,z)}$  是位置的三維直角坐標。

為了確使每一個坐標的單位都是長度單位，定義 ${\displaystyle {x}^{0}\ {\stackrel {def}{=}}\ ct}$  。

「四維位移」定義為兩個事件之間的矢量差。在時空圖裏，四維位移可以用從第一個事件指到第二個事件的箭矢來表示。當矢量的尾部是坐標系的原點時，位移就是位置。四維位移 ${\displaystyle \Delta {x}^{\mu }}$  表示為

${\displaystyle \Delta {x}^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ (\Delta ct,\ \Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)}$  。

帶有上標的四維向量 ${\displaystyle {U}^{\mu }}$  稱為反變矢量，其分量標記為

${\displaystyle {U}^{\mu }=\ ({U}^{0},\,{U}^{1},\,{U}^{2},\,{U}^{3})}$  。

假若，標號是下標，則稱四維向量 ${\displaystyle {U}_{\mu }}$  為協變矢量。其分量標記為

${\displaystyle {U}_{\mu }=\ ({U}_{0},\,{U}_{1},\,{U}_{2},\,{U}_{3})=\ ({U}^{0},\,-{U}^{1},\,-{U}^{2},\,-{U}^{3})}$  。

在這裡，閔考斯基度規 ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$  被設定為

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left({\begin{matrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{matrix}}\right)}$  。

採用愛因斯坦求和約定，則四維向量的協變坐標和反變坐標之間的關係為

${\displaystyle U_{\mu }=\eta _{\mu \nu }U^{\nu }}$  。

閔考斯基度規與它的「共軛度規張量」 ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$  相等：

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left({\begin{matrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{matrix}}\right)}$  。

勞侖茲變換

主条目：勞侖茲變換

給予兩個慣性參考系 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ 、 ${\displaystyle {\bar {\mathcal {S}}}}$  ；相對於參考系 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ，參考系 ${\displaystyle {\bar {\mathcal {S}}}}$  以速度 ${\displaystyle \mathbf {v} =v{\hat {\mathbf {x} }}}$  移動。對於這兩個參考系，相關的「勞侖茲變換矩陣」 ${\displaystyle \Lambda ^{\mu }{}_{\nu }}$  是

${\displaystyle \Lambda ^{\mu }{}_{\nu }=\ \left({\begin{matrix}\gamma &-\gamma \beta &0&0\\-\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)}$ ；

其中，${\displaystyle \gamma ={\cfrac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}}$  是勞侖茲因子，${\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}}}$ 是「貝塔因子」。

對於這兩個參考系 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ 、 ${\displaystyle {\bar {\mathcal {S}}}}$  ，假設一個事件的四維坐標分別為 ${\displaystyle {x}^{\mu }}$ 、 ${\displaystyle {\bar {x}}^{\mu }}$  。那麼，這兩個四維坐標之間的關係為

${\displaystyle {\bar {x}}^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\ x^{\nu }}$  、

${\displaystyle x^{\mu }={\bar {\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }\ {\bar {x}}^{\nu }}$  ；

其中，${\displaystyle {\bar {\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }}$  是 ${\displaystyle \Lambda ^{\mu }{}_{\nu }}$  的反矩阵，

${\displaystyle {\bar {\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }=\ \left({\begin{matrix}\gamma &\gamma \beta &0&0\\\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)}$  。

將這兩個四維坐標之間的關係式合併為一，則可得到

${\displaystyle {\bar {x}}^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\ x^{\nu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\ {\bar {\Lambda }}^{\nu }{}_{\xi }\ {\bar {x}}^{\xi }}$  。

因此，可以找到勞侖茲變換矩陣的一個特性：

${\displaystyle \Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\ {\bar {\Lambda }}^{\nu }{}_{\xi }=\delta ^{\mu }{}_{\xi }}$  ；

其中，${\displaystyle \delta ^{\mu }{}_{\xi }}$  是克羅內克函數。

另外一個很有用的特性為

${\displaystyle {\bar {\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }=\eta _{\alpha \nu }\ \eta ^{\beta \mu }\ \Lambda ^{\alpha }{}_{\beta }}$  ；

給定一個事件在某慣性參考系的四維坐標，通過勞侖茲變換，就可計算出這事件在另外一個慣性參考系的四維坐標。這是個很有用的物理性質。當研究物理現象時，所涉及的四維向量，最好都能夠具有這有用的性質。這樣，可以使得數學分析更加精緻犀利。以方程式表示，對於兩個參考系 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ 、 ${\displaystyle {\bar {\mathcal {S}}}}$ ，具有這種有用性質的四維向量 ${\displaystyle {U}^{\mu }}$  、${\displaystyle {\bar {U}}^{\mu }}$  滿足

${\displaystyle {\bar {U}}^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\ U^{\nu }}$  、

${\displaystyle U^{\mu }={\bar {\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }\ {\bar {U}}^{\nu }}$  。

在計算這四維向量對於時間的導數時，若能選擇固有時為時間變數，則求得的四維向量仍舊具有這有用的性質。因為，固有時乃是個不變量；改變慣性參考系不會改變不變量。

假設一個物體運動於閔考斯基時空。在「實驗室參考系」裡，物體運動的速度隨著時間改變。對於每瞬時刻，選擇與物體同樣運動的慣性參考系，稱為「瞬間共動參考系」（momentarily comoving reference frame）。在這瞬間共動參考系裡，物體的速度為零，因此，這參考系也是物體的「瞬間靜止參考系」。隨著物體不斷地改變運動速度與方向，新的慣性參考系也會不斷地改換為瞬間共動參考系。^[1]:41-42隨著這些不斷改換的瞬間同行坐標系所測得的時間即為固有時，標記為 ${\displaystyle \tau }$  。這就好像給物體掛戴一隻手錶，隨著物體的運動，手錶也會做同樣的運動，而手錶所紀錄的時間就是固有時。

這物體的運動可以用一條世界線 ${\displaystyle x(\tau )}$  來描述。由於時間膨脹，發生於物體的兩個本地事件的微小固有時間隔 ${\displaystyle \Delta \tau }$  與從別的慣性參考系 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$  所觀測到的微小時間間隔 ${\displaystyle \Delta t}$  的關係為

${\displaystyle \Delta t=\gamma \Delta \tau }$  。

所以，固有時 ${\displaystyle \tau }$  對於其它時間 ${\displaystyle t}$  的導數為

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \tau }{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{\gamma }}}$  。

閔考斯基內積

在閔考斯基空間裡，兩個四維向量 ${\displaystyle U^{\mu }}$  與 ${\displaystyle V_{\mu }}$  的內積，稱為閔考斯基內積，以方程式表示為：

${\displaystyle U^{\mu }V_{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ U^{0}V^{0}-U^{1}V^{1}-U^{2}V^{2}-U^{3}V^{3}}$  。

由於這內積並不具正定性，即

${\displaystyle U^{\mu }U_{\mu }=(U^{0})^{2}-(U^{1})^{2}-(U^{2})^{2}-(U^{3})^{2}}$ 

可能會是負數；而歐幾里得內積一定不是負數。

許多學者喜歡使用相反正負號的 ${\displaystyle \eta }$ ：

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left({\begin{matrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)}$  。

這樣，${\displaystyle U^{\mu }}$  與 ${\displaystyle V_{\mu }}$  的內積改變為

${\displaystyle U^{\mu }V_{\mu }=-U^{0}V^{0}+U^{1}V^{1}+U^{2}V^{2}+U^{3}V^{3}}$  。

其它相聯的量值也會因而改變正負號，但這不會改變系統的物理性質。

從參考系 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$  改換至另一參考系 ${\displaystyle {\overline {\mathcal {S}}}}$  ，${\displaystyle U^{\mu }}$  與 ${\displaystyle V_{\mu }}$  的內積為

${\displaystyle {U}^{\mu }{V}_{\mu }={\overline {\Lambda }}^{\mu }{}_{\alpha }\ {\overline {U}}^{\alpha }\ \eta _{\mu \beta }{V}^{\beta }={\overline {\Lambda }}^{\mu }{}_{\alpha }\ {\overline {U}}^{\alpha }\ \eta _{\mu \beta }\ {\overline {\Lambda }}^{\beta }{}_{\xi }\ {\overline {V}}^{\xi }={\overline {\Lambda }}^{\mu }{}_{\alpha }\ {\overline {U}}^{\alpha }\ \eta _{\mu \beta }\ {\overline {\Lambda }}^{\beta }{}_{\xi }\ \eta ^{\xi \zeta }\ {\overline {V}}_{\zeta }={\overline {\Lambda }}^{\mu }{}_{\alpha }\ {\overline {U}}^{\alpha }\ {\overline {\Lambda }}^{\zeta }{}_{\mu }\ {\overline {V}}_{\zeta }=\delta ^{\zeta }{}_{\alpha }\ {\overline {U}}^{\alpha }\ {\overline {V}}_{\zeta }={\overline {U}}^{\alpha }{\overline {V}}_{\alpha }}$  。

所以，在閔考斯基時空內，兩個四維向量的內積是個不變量：^[1]:44-46

${\displaystyle U^{\mu }V_{\mu }={\overline {U}}^{\mu }{\overline {V}}_{\mu }}$  。

四維向量可以分類為類時，類空，或類光（零矢量）：

類時矢量：${\displaystyle U^{\mu }U_{\mu }>0}$  ，

類空矢量：${\displaystyle U^{\mu }U_{\mu }<0}$  ，

類光矢量：${\displaystyle U^{\mu }U_{\mu }=0}$  。

動力學實例

四維速度

主条目：四維速度

設想一個物體運動於閔考斯基時空，則其世界線的任意事件 ${\displaystyle x^{\mu }(\tau )}$  的四維速度 ${\displaystyle U^{\mu }}$  定義為^[1]:46-48

${\displaystyle U^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} x^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}={\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \tau }}\ {\frac {\mathrm {d} x^{\mu }}{\mathrm {d} t}}=\left(\gamma c,\ \gamma \mathbf {u} \right)}$  ；

其中，${\displaystyle \mathbf {u} =\left({\frac {\mathrm {d} x^{1}}{\mathrm {d} t}},\,{\frac {\mathrm {d} x^{2}}{\mathrm {d} t}},\,{\frac {\mathrm {d} x^{3}}{\mathrm {d} t}}\right)}$  是三維速度，或經典速度矢量。

${\displaystyle U^{\mu }}$  的空間部分與經典速度 ${\displaystyle \mathbf {u} }$  的關係為

${\displaystyle \left(U^{1},\,U^{2},\,U^{3}\right)=\gamma \mathbf {u} }$  。

四維速度與自己的內積等於光速平方，是一個不變量：

${\displaystyle U^{\mu }U_{\mu }=c^{2}}$  。

在物體的瞬間共動參考系裡，物體的速度為零，因此，四維速度為

${\displaystyle \left(c,0,0,0\right)_{MCRF}}$  ，

其方向與瞬間共動參考系的第零個基底向量 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{0}=\left(1,0,0,0\right)_{MCRF}}$  同向；

其中，${\displaystyle MCRF}$  表示從瞬間共動參考系觀察得到的數據。

四維加速度

主条目：四維加速度

四維加速度 ${\displaystyle \alpha ^{\mu }}$  定義為 ^[1]:46-48

${\displaystyle \alpha ^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} U^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}=\left(\gamma {\dot {\gamma }}c,\,\gamma {\dot {\gamma }}\mathbf {u} +\gamma ^{2}{\dot {\mathbf {u} }}\right)}$  。

經過一番運算，可以得到勞侖茲因子對於時間的導數：

${\displaystyle {\dot {\gamma }}={\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t}}=\gamma ^{3}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )/c^{2}}$  ；

其中，${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} }{\mathrm {d} t}}}$  是經典加速度。

所以，四維加速度 ${\displaystyle \alpha ^{\mu }}$  可以表示為

${\displaystyle \alpha ^{\mu }=\left(\gamma ^{4}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )/c,\,\gamma ^{2}\mathbf {a} +\gamma ^{4}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {u} /c^{2}\right)}$  。

由於 ${\displaystyle U_{\mu }U^{\mu }}$  是個常數，四維加速度與四維速度相互正交；也就是說，四維速度與四維加速度的閔考斯基內積等於零：

${\displaystyle \alpha _{\mu }U^{\mu }={\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} (U_{\mu }U^{\mu })}{\mathrm {d} \tau }}=0}$  。

對於每一條世界線，這計算結果都成立。

注意到在瞬間共動參考系裡， ${\displaystyle U_{\mu }}$  只有時間分量不等於零，所以， ${\displaystyle \alpha ^{\mu }}$  為的時間分量為零：

${\displaystyle \alpha ^{\mu }=\left(0,\,\gamma ^{2}\mathbf {a} \right)_{MCRF}}$  。

四維動量

主条目：四維動量

一個靜止質量為 ${\displaystyle m}$  的粒子的四維動量 ${\displaystyle P^{\mu }}$  定義為

${\displaystyle P^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ mU^{\mu }=\left(\gamma mc,\,\gamma m\mathbf {u} \right)}$  。

經典動量 ${\displaystyle \mathbf {p} }$  定義為

${\displaystyle \mathbf {p} \ {\stackrel {def}{=}}\ m_{rel}\mathbf {u} =\gamma m\mathbf {u} }$  ；

其中，${\displaystyle m_{rel}}$  是相對論性質量。

所以，${\displaystyle P^{\mu }}$  的空間部分等於經典動量 ${\displaystyle \mathbf {p} }$  ：

${\displaystyle \left(P^{1},\,P^{2},\,P^{3}\right)=\mathbf {p} }$ 。

四維力

主条目：四維力

作用於粒子的四維力定義為粒子的四維動量對於固有時的導數：

${\displaystyle F^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} P^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}}$ 。

提出四維動量內的靜止質量因子，即可發覺四維力就是靜止質量乘以四維加速度：

${\displaystyle F^{\mu }=m{\frac {\mathrm {d} U^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}=m\alpha ^{\mu }}$  。

因此，四維力可以表示為

${\displaystyle F^{\mu }=m\left(\gamma ^{4}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )/c,\,\gamma ^{2}\mathbf {a} +\gamma ^{4}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {u} /c^{2}\right)}$  。

經典力 ${\displaystyle \mathbf {f} }$  定義為

${\displaystyle \mathbf {f} \ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}}$  。

所以，${\displaystyle F^{\mu }}$ 的空間部分等於 ${\displaystyle \gamma \mathbf {f} }$  ：

${\displaystyle \left(F^{1},\,F^{2},\,F^{3}\right)=\gamma \mathbf {f} }$  。

物理內涵

在四維向量的表述裏，存在著許多能量與物質之間的關係。從這些特別關係，可以顯示出這表述的功能與精緻。

質能方程式

假設，在微小時間間隔 ${\displaystyle \mathrm {d} t}$  ，一個運動於時空的粒子，感受到作用力 ${\displaystyle \mathbf {f} }$  的施加，而這粒子的微小位移為 ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} }$  。那麼，作用力 ${\displaystyle \mathbf {f} }$  對於這粒子所做的微小機械功 ${\displaystyle \mathrm {d} W}$  為

${\displaystyle \mathrm {d} W=\mathbf {f} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} }$  。

因此，這粒子的動能的改變 ${\displaystyle \mathrm {d} K}$  為

${\displaystyle \mathrm {d} K=\mathrm {d} W=\mathbf {f} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} }$  。

粒子的動能 ${\displaystyle K}$  對於時間的導數為

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} K}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {f} \cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }$  。

將前面經典力和經典速度的公式帶入，可以得到

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} K}{\mathrm {d} t}}=m\gamma ^{3}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )=mc^{2}{\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t}}}$  。

這公式的反微分為

${\displaystyle K=\gamma mc^{2}+K_{0}}$  。

當粒子靜止時，動能等於零。所以，

${\displaystyle K=\gamma mc^{2}-mc^{2}}$  。

這公式的右手邊第二個項目就是靜止能量 ${\displaystyle E_{0}\ {\stackrel {def}{=}}\ mc^{2}}$  。動能 ${\displaystyle K}$  加上靜止能量 ${\displaystyle E_{0}}$  等於總能量 ${\displaystyle E}$  ：

${\displaystyle E=\gamma mc^{2}}$  。

再加簡化，以相對論性質量 ${\displaystyle m_{rel}}$  表示：

${\displaystyle E=m_{rel}c^{2}}$  。

這方程式稱為質能方程式。

能量-動量關係式

使用質能方程式 ${\displaystyle E=m_{rel}c^{2}=\gamma mc^{2}}$  ，四維動量可以表示為

${\displaystyle P^{\mu }=\left({\frac {E}{c}},\,\mathbf {p} \right)}$  。

四維動量與自己的內積為

${\displaystyle P^{\mu }P_{\mu }={\frac {E^{2}}{c^{2}}}-(p)^{2}}$  。

改以四維速度來計算內積：

${\displaystyle P^{\mu }P_{\mu }=m^{2}U^{\mu }U_{\mu }=m^{2}c^{2}}$  。

所以，能量-動量關係式為

${\displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+m^{2}c^{4}}$  。

電磁學實例

四維電流密度

主条目：四維電流密度

在電磁學裏，四維電流密度 ${\displaystyle J^{\mu }}$  是一個四維向量，定義為

${\displaystyle J^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ (\rho c,\,\mathbf {j} )}$  ；

其中，${\displaystyle \rho }$  是電荷密度，${\displaystyle \mathbf {j} }$  是三維電流密度。

在瞬間共動參考系所觀測到的電荷密度，稱為固有電荷密度 ${\displaystyle \rho _{0}=\rho /\gamma }$  。四維電流密度與四維速度的關係為

${\displaystyle J^{\mu }=\rho _{0}U^{\mu }}$  。

電荷守恆定律能以三維矢量表示為

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0}$  。

這定律也能以四維電流密度表示為

${\displaystyle {\frac {\partial J^{\mu }}{\partial x^{\mu }}}=0}$  。

從這方程式，可以推論四維電流密度的四維散度等於零。

電磁四維勢

主条目：電磁四維勢

電磁四維勢是由電勢 ${\displaystyle \phi \,}$  與矢量勢 ${\displaystyle \mathbf {A} }$  共同形成的，定義為

${\displaystyle A^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ (\phi /c,\,\mathbf {A} )}$  。

黎曼-索末菲方程式表示電磁四維勢與四維電流密度之間的關係^[2]：

${\displaystyle \Box A^{\mu }=\mu _{0}J^{\mu }}$  ;

其中，${\displaystyle \mu _{0}}$  是磁常數，${\displaystyle \Box =\partial ^{2}=\partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }=\left({\frac {1}{c^{2}}}\ {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right)}$  是達朗貝爾算符，又稱為四維拉普拉斯算符。

四維頻率和四維波矢量

一個平面電磁波的四維頻率 ${\displaystyle {\nu }^{\mu }}$  定義為

${\displaystyle {\nu }^{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ (f,\,f\mathbf {n} )}$  ；

其中，${\displaystyle f}$  是電磁波的頻率，${\displaystyle \mathbf {n} }$  是朝著電磁波傳播方向的單位矢量。

四維頻率與自己的內積永遠等於零：

${\displaystyle {\nu }^{\alpha }{\nu }_{\alpha }=(f)^{2}(1-n^{2})=0}$  。

一個近單色光的波包的波動性質可以用四維波矢量 ${\displaystyle {K}^{\alpha }}$  來描述：

${\displaystyle {K}^{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left({\frac {2\pi f}{c}},\,\mathbf {k} \right)}$  。

其中，${\displaystyle \mathbf {k} }$  是三維波矢量。

四維波矢量與四維頻率之間的關係為

${\displaystyle {K}^{\alpha }={\frac {2\pi {\nu }^{\alpha }}{c}}}$  。

參閱

• 洛侖茲協變性

參考文獻

1. Bernard Schutz. A First Course in General Relativity. Cambridge University Press. 14 May 2009. ISBN 978-0-521-88705-2. 
2. Carver A. Mead. Collective Electrodynamics: Quantum Foundations of Electromagnetism. MIT Press. 2002: 37–38. ISBN 9780262632607. 

• Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 477–543. ISBN 0-13-805326-X.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Rindler, W. Introduction to Special Relativity (2nd edition). Clarendon Press Oxford. 1991. ISBN 0-19-853952-5.